2024届山东省“学情空间”（聊城市第一实验学校等校）高三上学期第一次阶段性测试数学试题含解析

这是一份2024届山东省“学情空间”（聊城市第一实验学校等校）高三上学期第一次阶段性测试数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算，再计算补集得到答案.
【详解】由，，可得：，
又：全集所以：
故选：A.
2．设命题甲为“”，命题乙为“”，那么甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件B．充分必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先求解出命题乙中不等式的解集，然后根据互相推出的情况判断出属于何种条件.
【详解】解不等式得，
因为可推出，但不可推出，
所以甲是乙的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，要熟记一个规则“小范围能推出大范围”，主要考查学生的理解能力，难度较易.
3．命题“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】D
【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【解析】全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数求解单调区间即可.
【详解】令，
，，，，
则在上单调递减，在上单调递增.
故选：A
5．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数
的图象，则φ的可能值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.
【详解】，
函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象解析式为：
，
所以有，
显然只有选项A符合，
故选：A
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，的正负，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】因为的定义域为，又，所以是偶函数，
因为，排除BC选项，
当时，，所以，
令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以存在，，使得，，
所以当时，，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A符合.
故选：A.
7．已知函数是奇函数，当时，，则的解集是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，根题设条件，分别求得，当和时，的解集，由此可求解不等式的解集，得到答案．
【详解】由题意，当时，令，即，解得，
又由函数是奇函数，函数的图象关于原点对称，
则当时，令，可得，
又由不等式，则满足或，解得或，即
不等式的解集为，故选A．
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求导分析单调性，进而可得的大小关系，令，求导分析单调性，进而可得的大小关系.
【详解】令得
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
则，所以
因为，
所以
令
得，
令得令得
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以即
所以则
所以，
故选：B.
二、多选题
9．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ）
A．B．弧长
C．扇形的周长为D．扇形的面积为
【答案】BC
【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案.
【详解】，所以A错；
弧长，所以B对；
扇形的周长为，所以C对；
面积为，所以D错；
故选：BC
10．已知，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由基本不等式判断A，由，，判断BD，由对数函数的性质判断C.
【详解】解：由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，但，所以，故选项A正确；
取，，可排除B，D；
∵，且函数在上为增函数，所以成立，故选项C正确，
故选：AC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．若函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】BC
【分析】根据，则函数在上单调递增，从得到不等式组，解出即可.
【详解】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是R上的增函数，
则由对数函数与一次函数单调性可知应满足，解得，
故选：BC.
12．已知函数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为
B．当时，函数的极大值点为
C．存在实数使得函数在定义域上单调递增
D．若恒成立，则实数的取值范围为
【答案】AD
【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D.
【详解】因为函数，则，其中，
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，故A正确；
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误；
假设存在实数使得函数在定义域上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，因为的值域为，
所以函数无最小值，
故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误；
若恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，令，则，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确；
故选：AD
三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为:
【答案】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由，所以时，
故在点处的切线方程为：.
故答案为：
14．已知，则 .
【答案】/
【分析】根据两角差的余弦公式可得，平方后求得，结合展开并判断正负，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
则，所以，
，
因为，所以，，所以，
故，
故答案为：
15．设函数，有下列结论：
①的图象关于点中心对称；
②的图象关于直线对称；
③在上单调递减；
④在上最小值为，
其中所有正确的结论是 ．
【答案】②③
【分析】整理化简解析式可得，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．
【详解】
，
当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；
当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；
由，得，
当即时，函数单调递减，
则当时，函数单调递减，故③正确；
当时，，可知函数在上单调递增，
∴的最小值为，故④错误．
故答案为：②③．
16．已知函数，，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为与图象有三个交点，观察图象得的取值范围.
【详解】由得，
由题意得，函数与函数的图象恰有3个公共点，
作出函数的图象，如图，

再作出直线，它始终过原点，
当时，与至多有两个交点，不满足.
当时，设直线与相切，切点为,，
由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，所以切线斜率为，
由图可得与图象有3个交点时实数的取值范围是.
故答案为: .
【点睛】方法点睛：求函数的零点个数时将其化为的形式，把函数的零点个数转化为与图象交点的个数问题.
四、解答题
17．已知函数在处有极值．
(1)求的极值；
(2)若在区间上有三个零点，求实数b的取值范围．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）利用导函数讨论单调性和极值；
（2）利用函数的极值和函数的图象性质求解.
【详解】（1）
由条件知，得
所以随x变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为.
（2）因为，
所以函数在区间上有三个零点，只需,
所以.
18．已知角的终边经过点().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先利用诱导公式对式子进行化简，再根据角的终边经过的点求出，即可求解；
（2）先根据是第二象限角，判断出的符号，进而根据三角函数定义求出，再对式子进行化简代入即可求解.
【详解】解：（1）,
,
即
.
又角的终边经过点()，
，
故；
（2）是第二象限角，
，
则，
，
.
19．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间：
(2)设函数，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，从而得到函数最小正周期，利用整体法求出函数单调递减区间；
（2）在第一问基础上，得到，求出不等式的解集.
【详解】（1）
，
故的最小正周期为，
令，解得，
故单调递减区间为；
（2），
故，即，
则，，
关于的不等式的解集为.
20．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：.
(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润利润产量）
【答案】(1)
(2)当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得.
（2）设零件的单位利润为，得到的解析式，再结合基本不等式的公式，即可
【详解】（1）当时，，
当时，，
故.
（2）设零件的单位利润为，
则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
21．已知函数（）．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程：求出导函数，计算并计算出，由点斜式得切线方程并化简；
（2）求出导函数，然后分类讨论确定和的解得单调区间．
【详解】（1）若，则，所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
22．已知函数，（e为自然对数的底数）．
(1)若函数的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，分类讨论，确定函数的单调性即可求出函数的最大值，令其为，即可求出a的值；
（2）把恒成立问题转化为恒成立，构造函数，求导，求最值即可求出a的取值范围.
【详解】（1）因为函数的定义域为，且，
当时，，所以函数为增函数，没有最大值；
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
所以当时，，
解得：.
（2）由，得，
化简得：，
所以对于任意正数x，都有恒成立，
设，则，
令，则，可得为增函数，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以的最小值为，
由可得， ，两边同时取对数，
得，
令，显然为增函数，由，
得，所以，
所以.
所以，即.
故实数a的取值范围为：.
【点睛】方法点睛：求解本题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系比较问题，即若恒成立，则；若恒成立，则.
0
1
＋
0
－
0
＋
递增
极大值
递减
极小值
递增