2024宁波金兰教育合作组织高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2024宁波金兰教育合作组织高二上学期期中联考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二年级数学学科试题
本卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
选择题部分（共60分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角是（ ）
A.B.C.D.
2.如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上且是中点，为中点，则等于（ ）
A.B.
C.D.
3.抛物线的焦点坐标是（ ）
A.B.C.D.
4.已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A.B.
C.D.
6.若方程表示双曲线，则下列方程表示椭圆时，与双曲线有相同焦点的是（ ）
A.B.
C.D.
7.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A.B.C.1D.
8.如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆。许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性。在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆。如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ）
图1 图2
A.B.C.D.
二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.如图，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.以弦为直径的圆与准线相切D.，，三点共线
10.已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A.恒过点B.若，则
C.若，则或D.若不经过第三象限，则.
11.若点是圆：上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.若点是直线上的动点，则
12.如图，是底面圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面且，，点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A.当为中点时，平面
B.记直线与平面所成角为，则
C.存在点，使得平面与平面夹角为
D.的最小值为
非选择题部分（共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为______.
14.已知点，，直线与线段相交，则的取值范围为______.
15.如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为______.
16.已知椭圆，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.若，则的值为______.
四、解答题：（本题共6个小题，其中17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线过点，且直线的一个方向向量为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程.
18.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的菱形，侧棱，.
（1）求的长；
（2）求直线与所成角的余弦值.
19.已知圆的圆心为，且圆______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①与直线相切；
②与圆：相外切；
③经过直线与直线的交点.
（1）求圆的方程；
（2）圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
20.如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，，，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.直线与椭圆交于，两点，记的面积为.
（1）当，时，求的取值范围；
（2）当，时，求直线的方程。
22.已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与，两点。点的坐标为，当点的坐标为时，点坐标为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
命题学校：柴桥中学
审题学校：龙赛中学
2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中考试
高二年级数学学科参考答案及评分标准
命题：柴桥中学
审稿：龙赛中学
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.；14.；15.；16.
四、解答题：（本题共6个小题，其中17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）因为，由，则，
直线的方程为
则，得顶点的坐标为
（2）设点，则，在上，
即，
即
的方程为
则，得的坐标为
又，所以直线的方程为
18.（1）由
（2）构成空间的一个基底，
所以直线与所成角的余弦值为
19.（1）设圆的半径为，若选条件①，圆与直线相切，
所以圆到直线的距离是圆的半径，
则
所以圆的方程为
若选条件②，与圆：相外切，圆的圆心为，半径为2，
所以，所以
所以圆的方程为
若选条件③，经过直线与直线的交点，
，得，所以
所以圆的方程为
（2）圆：的圆心为，半径为，
两个圆有公共弦，则
即，解得
由，得两圆公共弦所在直线方程为
又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为
，且，
解得，经检验符合题意
20.（1）以为原点，以，，分别为，，建立空间直角坐标系，
由，，，，，分别是，的中点，
可得：，，，，
，，，
∴，，，
设平面的的法向量为，
则有：，
令，则，，
∴，
又平面，
∴平面，
（2）设平面的的法向量为，
又，
则有：，
令，则，，所以.，
又，
设直线与平面所成角为，
∴，
∴求直线与平面所成的角的正弦值为，
21.（1）设点，
由解得，
，当时，
所以
（2）由得
，
点到直线的距离
由，，得
所以
所以，即，
所以的方程为或
或或
22.（1）设：
，，
，可得，
又因为直线：过，则，
所以：
又因为与双曲线相切，所以
，且，
即
即，（1）
又因为点在双曲线上，所以，（2）
由（1）（2）式可得，
所以双曲线的标准方程为
（2），
是双曲线与直线的唯一公共点，
所以，即，（3）
解得，
即，其中
于是过点且与垂直的直线为，
可得，，，
所以
将（3）式代入可得：
即，其中，
所以，点的轨迹方程为，
轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
D
B
C
C
B
A
题号
9
10
11
12
答案
ACD
AC
ABD
ABD