2024成都外国语学校高二上学期期中数学试题含解析

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（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（ ）
A. 7B. 6C. 3D. 2
2. 过点和点的直线倾斜角（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点P为椭圆C：上一点，且点和点分别为椭圆C的左、右焦点，若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 4
4. 从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A. “至少有1件正品”与“都是次品”B. “恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”
C. “至少有1件次品”与“至少有1件正品”D. “都是正品”与“都是次品”
5. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或C. 或D.
6. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（ ）
A B.
C. D.
7. 若点在圆的内部，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
8. 若点和点分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A. 设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B. 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D. 利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若数据的方差为1，则新数据，，…，的方差为1
B. 已知随机事件A和B互斥，且，，则等于0.5．
C. “”是直线与直线互相垂直的充要条件
D. 无论实数λ取何值，直线恒过定点
11. 若圆：与圆：的交点为A，B，则（ ）
A. 线段AB中垂线方程为
B. 公共弦AB所在直线方程为
C. 若实数x，y满足圆：，则的最大值为
D. 过点作圆：的切线方程为圆
12. 设，为椭圆C：的两个焦点，P为C上一点且，I为的内心，则下列正确的是（ ）
A. 内切圆半径为1
B.
C. 若点，，则
D. 若直线l与椭圆C交于M，N两点，则存在以为线段MN的中点，且直线l的方程为
三、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分．
13. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译概率分别为和，则甲与乙两人同时破译密码的概率为______．
14. 若椭圆C：短轴长为2，则椭圆C的离心率为______．
15. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.如图是根据某中学学生社团某日早6点至晚9点在某中学东、西两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据（单位:毫克/立方米）列出的茎叶图，则东、西两个校区浓度的方差较小的是____.
16. 已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知两直线：和：的交点．
（1）求经过点和点的直线的一般式方程；
（2）求经过点且与垂直的直线的斜截式方程．
18. 已知圆.
（1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若圆与圆C相切，求实数m的值.
19. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a、b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）；
20. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
21. 袋中装有大小完全相同3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2．
（1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
（2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立．
22. 已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点．
（1）求C的方程；