2023-2024学年四川省眉山市仁寿第一中学校南校区高三上学期10月月考数学（文）试题含解析

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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、1. 已知集合，若，则实数（ ）
A. 或1B. 0或1C. 1D.
【答案】B
【解析】由集合，对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足；
当时，解得，要使得，则满足，可得，
所以实数的值为或.
故选：B.
2、 已知为虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】复数，则.
故选：B.
3、已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）．
A．4B．9C．D．
【答案】A
4、某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2
【答案】B
5、已知空间中a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
6、已知命题：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则的概率为．命题：若函数，则的最小值为4，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
7、“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
8、已知，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
9、5. 把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由图所示，易知三棱锥D-ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，
计算可得BC=CD=BD=，设球心到平面的距离为，
则.
故选：A
10、若函数在内有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．2B．1C．3D．5
【答案】C
11、设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
12、已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足的单调递增区间为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】有题意可得，
由得，由于在上有三个极大值点，
所以，解得，
当，
而，故A正确，
当，
而，故B不正确，
当，，
而，故C不正确，
当，，
而，故D不正确，
故选：A.
第Ⅱ卷
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13、已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则
【答案】
14、圆C的圆心在轴正半轴上，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，直线l：与圆C相切，则直线l的斜率是
【解析】设圆C的方程，
圆C的方程，
圆心C到直线l的距离
斜率，故直线l的斜率是。
15、已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则
【答案】
16、设，均为正数，且，则下列结论：①；②；③；④；
其中正确的有 （填序号）．
【答案】②③④
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17、已知数列满足，， ()
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】（1），即．所以，即．
由，得，所以，所以．
所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列．
（2）由（1）得，即，
所以．
所以
．
18、如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，，F是垂足.
(1)求证：AFDB；
(2)求将绕AD旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比。
【详解】（1）根据圆柱性质，平面，因为平面，所以，
因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以，
又平面，故平面，
因为平面DAE，所以，
又，且平面，
故平面，因为平面，所以.
（2）将绕AD旋转一周所得几何体为圆锥，其母线为DB，半径AB，
设，则，
故该圆锥的表面积为，
又圆柱表面积为，
所以圆锥表面积和圆柱表面积之比为.
19、人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，借助人工智能和大数据技术打造一个智能化教育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年—2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用表示年份代码（年用1表示，2018年用2表示，依次类推），用表示市场规模（单位：百万元）．
附1：线性回归方程：，其中，；
附2：，．
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：
完成列联表，并判断是否有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关？
【详解】（1）由题意得，，，
，
，
则，，
所以y关于x的线性回归方程为．
（2）由题意得如下列联表：
由，
所以有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．
20、在中，．
（I）求；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值．
条件①:，边上中线的长为；
条件②:，的面积为6；
条件③:，边上的高的长为2．
注:如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（Ⅰ）在中，因为，
所以.
所以，即.
因为，所以.所以. ………………5分
（Ⅱ）选择条件 = 2 \* GB3 ②： 在中，，
解得.
所以.
解得.
在中，因为，所以. ………………12分
选择条件 = 3 \* GB3 ③：在中，因为，，
所以.
在中，=
在中，可得. …………12分
21、已知函数，．
(1)当时，求函数的极值．
(2)是否存在实数，对任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【详解】（1）当时，，
，令，解得或，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为.
（2）假设存在实数a， 对任意的，，且，都有恒成立，
不妨设， 若，即.
令.
显然只要在为增函数即成立
因为，
要使在为增函数则在恒成立，
即只需，则.
故存在满足题意．
22、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．
【答案】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，因为，所以，
所以的直角坐标方程为.
（2）将曲线的参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，整理得，
由的几何意义可设，，因为点在内，所以方程必有两个实数根，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，即，所以的普通方程为，则的极坐标方程为.
23、已知，满足．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
【答案】（1）由题意，，由二次函数知识，知上式在时，取到最小值．
（2）证明：由题目条件以及均值不等式可以得到：
，当且仅当等号成立．
x
1
2
3
4
5
y
45
56
64
68
72
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
总计
男
90
110
女
30
总计
150
满意
不满意
总计
男
90
20
110
女
60
30
90
总计
150
50
200