2023-2024学年北京市海淀区实验中学高三上学期期中考试数学word版含答案

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增是（）
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则（）
A. B. 0C. 5D. 7
5. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（）
A. B. 3C. 9D. 36
6. 设，则（）
A. B. C. D.
7. “”是“为第一或第三象限角”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 在中，，则（）
A. 为直角B. 为钝角C. 为直角D. 为钝角
9. 古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（）
A. 数列是等差数列，且公差为
B. 数列是等比数列，且公比为
C. 数列是等比数列，且公比为
D. 数列是等差数列，且公差为
10. 在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是______．
12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则________．
13. 已知非零向量，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数的值为________，________．
14. 已知函数的部分图象如图所示．
①函数的最小正周期为________；
②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是________．
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②当时，存最小值；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知无穷等比数列的各项均为整数，其前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）证明：对这三个数成等差数列．
17. 已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
18. 已知曲线与轴交于不同的两点（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点．
（1）若为等腰直角三角形，求的面积；
（2）记的面积为，求的最大值．
19. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）
（1）求两点之间距离；
（2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
20. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）设实数满足：存在，使直线是曲线切线，且对恒成立，求的最大值．
21. 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
（1）若，写出的值；
（2）若，求；
（3）设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．