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山西省忻州市多校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
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这是一份山西省忻州市多校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共7页。试卷主要包含了1～24等内容，欢迎下载使用。
上册21.1～24.1
注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线的对称轴是直线（ ）
A．B．C．D．
2．国风榫卯结构积木近来深受年轻人喜爱，其中一款陀螺积木由三块部件组成（如图）．为保证陀螺旋转更加平稳且时间更长，应使陀螺最终结构呈中心对称图形，并且不为轴对称图形，则下列拼接方式合理的是（ ）
横 平衡木楔
A．B．C．D．
3．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．将抛物线向左平移1个单位长度所得新抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的半径为于点，若，则弦的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则旋转角的值不可能为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
8．关于方程，下列几位同学的说法中，正确的是（ ）
小明：当时，方程没有实数根．
小强：当时，方程有两个相等的实数根．
小新：当时，方程有两个不相等的实数根．
小宇：方程有没有根与无关．
A．小明B．小强C．小新D．小宇
9．如图，在圆形纸片中，为直径．把纸片折叠，使点与点重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点的坐标分别为，则的值为（ ）
A．30B．36C．48D．56
二、填空题（本大题共5个小题，共15分）
11．点关于原点的对称点的坐标为______．
12．如图，四边形内接于，若，则______．
第12题图
13．一元二次方程的一个根为，则常数的值为______．
14．如图，抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线，则方程的解为______．
第14题图
15．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于四点，利用刻度户量得该纸条宽为．请你帮忙计算纸杯的直径为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本大题共2个小题，每小题5分，共10分）
解方程：（1）．（2）．
17．（本题7分）
如图，是的直径，弦与相交于点．若，求直径的长．
18．（本题9分）
为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落（两面墙足够长）用篱笆围成矩形花圃，且，所用篱笆总长为，设．
（1）求花圃的面积．（用含的代数式表示）
（2）若篱笆围成的矩形的面积为，现要在花圃的对角线上修一条小道，求小道的长．
19．（本题9分）
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在正方形的格点（网格线的交点）上，每个小正方形的边长为1．
（1）与关于原点成中心对称，画出．
（2）若是内的一点，将平移后点的对应点，请画出平移后的．
（3）若上两问中的和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
20．（本题8分）
山西秧歌历史悠久，表演风格多变，其中抛手绢更是一项少数演员掌握的“绝活”，手绢从左手经过头顶抛到右手，形成一条抛物线，手绢抛出时左手与右手距地面的距离都为．左右手之间的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若演员身高为，求手绢经过头顶时距离头顶的距离．
21．（本题7分）阅读与思考
下面是莉莉同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：（1）填空：材料中的依据1是指______，依据2是指______．
（2）莉莉猜想：若将题目条件中的“直径”改为“弦”，其余条件均不变（如图3），则直径仍然为．她受原例题启发，连接并延长交于点，连接，只需说明即可求解直径的长．
图3
①依据莉莉的思路补全图形．
②请对以上猜想进行证明．
22．（本题12分）综合与实践
如图1，矩形的边，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形与交于点．
图1 图2 图3
数学思考：（1）填空：图1中______．（用含的代数式表示）
深入探究：（2）如图2，当时，求的长．
（3）如图3，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：．
23．（本题13分）综合与探究
如图，抛物线经过点，与轴另一个交点为，顶点为，连接．
备用图
（1）求抛物线对应的函数解析式．
（2）求的面积．
（3）如图，动点沿线段运动到点停止，过点作直线轴，交轴于点，当的面积为面积的时，求点的坐标．圆中转化思想的探究
例：如图1，在中，直径垂直弦于点，已知．求直径的长．
解：如图2，连接．为直径，（依据1）．
直径垂直弦于点，（依据2），．
在中，．
解题心得：本题解题关键是将转移到处，构建直角三角形求解．
图1 图2
上册21.1～24.1
注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线的对称轴是直线（ ）
A．B．C．D．
2．国风榫卯结构积木近来深受年轻人喜爱，其中一款陀螺积木由三块部件组成（如图）．为保证陀螺旋转更加平稳且时间更长，应使陀螺最终结构呈中心对称图形，并且不为轴对称图形，则下列拼接方式合理的是（ ）
横 平衡木楔
A．B．C．D．
3．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．将抛物线向左平移1个单位长度所得新抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的半径为于点，若，则弦的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则旋转角的值不可能为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
8．关于方程，下列几位同学的说法中，正确的是（ ）
小明：当时，方程没有实数根．
小强：当时，方程有两个相等的实数根．
小新：当时，方程有两个不相等的实数根．
小宇：方程有没有根与无关．
A．小明B．小强C．小新D．小宇
9．如图，在圆形纸片中，为直径．把纸片折叠，使点与点重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点的坐标分别为，则的值为（ ）
A．30B．36C．48D．56
二、填空题（本大题共5个小题，共15分）
11．点关于原点的对称点的坐标为______．
12．如图，四边形内接于，若，则______．
第12题图
13．一元二次方程的一个根为，则常数的值为______．
14．如图，抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线，则方程的解为______．
第14题图
15．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于四点，利用刻度户量得该纸条宽为．请你帮忙计算纸杯的直径为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本大题共2个小题，每小题5分，共10分）
解方程：（1）．（2）．
17．（本题7分）
如图，是的直径，弦与相交于点．若，求直径的长．
18．（本题9分）
为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落（两面墙足够长）用篱笆围成矩形花圃，且，所用篱笆总长为，设．
（1）求花圃的面积．（用含的代数式表示）
（2）若篱笆围成的矩形的面积为，现要在花圃的对角线上修一条小道，求小道的长．
19．（本题9分）
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在正方形的格点（网格线的交点）上，每个小正方形的边长为1．
（1）与关于原点成中心对称，画出．
（2）若是内的一点，将平移后点的对应点，请画出平移后的．
（3）若上两问中的和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
20．（本题8分）
山西秧歌历史悠久，表演风格多变，其中抛手绢更是一项少数演员掌握的“绝活”，手绢从左手经过头顶抛到右手，形成一条抛物线，手绢抛出时左手与右手距地面的距离都为．左右手之间的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若演员身高为，求手绢经过头顶时距离头顶的距离．
21．（本题7分）阅读与思考
下面是莉莉同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：（1）填空：材料中的依据1是指______，依据2是指______．
（2）莉莉猜想：若将题目条件中的“直径”改为“弦”，其余条件均不变（如图3），则直径仍然为．她受原例题启发，连接并延长交于点，连接，只需说明即可求解直径的长．
图3
①依据莉莉的思路补全图形．
②请对以上猜想进行证明．
22．（本题12分）综合与实践
如图1，矩形的边，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形与交于点．
图1 图2 图3
数学思考：（1）填空：图1中______．（用含的代数式表示）
深入探究：（2）如图2，当时，求的长．
（3）如图3，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：．
23．（本题13分）综合与探究
如图，抛物线经过点，与轴另一个交点为，顶点为，连接．
备用图
（1）求抛物线对应的函数解析式．
（2）求的面积．
（3）如图，动点沿线段运动到点停止，过点作直线轴，交轴于点，当的面积为面积的时，求点的坐标．圆中转化思想的探究
例：如图1，在中，直径垂直弦于点，已知．求直径的长．
解：如图2，连接．为直径，（依据1）．
直径垂直弦于点，（依据2），．
在中，．
解题心得：本题解题关键是将转移到处，构建直角三角形求解．
图1 图2
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