河北省保定市定州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份河北省保定市定州市2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．可回收物B．厨余垃圾
C．有害垃圾D．其它垃圾物
2．（3分）方程x2﹣9＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
3．（3分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（ ）
A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）
4．（3分）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
5．（3分）已知二次函数y＝x2+2x，当自变量x＝3时，函数值为（ ）
A．y＝10B．y＝12C．y＝15D．y＝18
6．（3分）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25°B．35°C．15°D．20°
7．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
8．（3分）若M（﹣4，y1），N（﹣3，y2），P（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
9．（3分）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝9米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．6米B．米C．7米D．米
10．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28D．x（x﹣1）＝28
11．（3分）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（ ）
A．2B．4C．6D．2+
12．（3分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）写出下列一元二次方程的根（2x﹣7）（x+2）＝0 ．
14．（3分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝ ．
15．（3分）为建设美丽句容，改造老旧小区，我市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求我市改造老旧小区投入资金的年平均增长率 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 （写出一个即可）．
17．（3分）如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为 °．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（8分）解方程：
（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；
（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2+x+m＝0（m为常数）．
（1）若x＝1是该方程的一个实数根，求m的值和该方程的另一个实数根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
21．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x+5．
（1）把解析式配方成顶点式，并写出顶点坐标；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是 ．
22．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB＝AC，F是上一点，BF⊥AC于E．若∠BCF＝3∠F，求∠A的度数．
23．（10分）如图，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
（1）求线段OD的长；
（2）求∠BDC的度数．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs．
（1）用含x的式子表示：AP＝ cm，BP＝ cm，BQ＝ cm；
（2）当△PBQ的面积为32cm2时，求运动时间；
（3）当x为多少s时，△PBQ的面积有最大值，并求出这个最大值．
25．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．可回收物B．厨余垃圾
C．有害垃圾D．其它垃圾物
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）方程x2﹣9＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【解答】解：∵x2﹣9＝0
∴a＝1，b＝0，c＝﹣9，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣9）＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
3．（3分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（ ）
A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）
【分析】菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，5），
∴点C的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
【点评】本题考查的是菱形的性质，关于原点对称，掌握菱形对角线互相平分是解本题的关键．
4．（3分）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，
∴x1•x2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
5．（3分）已知二次函数y＝x2+2x，当自变量x＝3时，函数值为（ ）
A．y＝10B．y＝12C．y＝15D．y＝18
【分析】把x＝3代入解析式即可求得函数值．
【解答】解：把x＝3代入y＝x2+2x，得y＝32+2×3＝15，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．
6．（3分）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25°B．35°C．15°D．20°
【分析】根据直径得出∠ACB＝90°，进而得出∠CAB＝25°，进而解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝65°，
∴∠CAB＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．
7．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
8．（3分）若M（﹣4，y1），N（﹣3，y2），P（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，根据M，N，P三点到对称轴的距离大小求解．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
∵﹣2﹣（﹣3）＜﹣2﹣（﹣4）＜1﹣（﹣2），
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9．（3分）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝9米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．6米B．米C．7米D．米
【分析】设此圆的半径为r米，则OA＝r米，OD＝（9﹣r）米，由垂径定理得AD＝AB＝6米，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设此圆的半径为r米，则OA＝r米，OD＝（9﹣r）米，
由题意得：AB＝12米，CD⊥AB，
∴AD＝AB＝×12＝6（米）
在Rt△AOD中，由勾股定理得：r2＝（9﹣r）2+62，
解得：r＝，
即此圆的半径OA＝米，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．（3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28D．x（x﹣1）＝28
【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝4×7，
即x（x﹣1）＝28．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
11．（3分）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（ ）
A．2B．4C．6D．2+
【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案．
【解答】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，
∴水柱的最大高度是：6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确理解二次函数顶点坐标的意义是解题关键．
12．（3分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）写出下列一元二次方程的根（2x﹣7）（x+2）＝0 x1＝，x2＝﹣2 ．
【分析】利用因式分解法把方程转化为2x﹣7＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（2x﹣7）（x+2）＝0，
2x﹣7＝0或x+2＝0，
所以x1＝，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
14．（3分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
15．（3分）为建设美丽句容，改造老旧小区，我市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求我市改造老旧小区投入资金的年平均增长率 20% ．
【分析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2022年投入资金金额＝2020年投入资金金额×（1+x）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x1＝﹣2.2（不合题意，舍去），
∴该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 4（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝3，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
∴r的值可能是4，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．
17．（3分）如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为 120 °．
【分析】由A（3，0），B（0，），得出OA＝3，OB＝，利用tan∠OAB求出∠OAB＝30°，得出∠BCO＝30°，最后利用三角形内角和求出答案．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠OAB＝，
∴∠OAB＝30°，
∠BCO＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为120°．
【点评】本题考查了特殊直角三角形的性质，熟练运用特殊三角函数值是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 x＝1或x＝3 ．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（8分）解方程：
（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；
（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【分析】（Ⅰ）利用因式分解法解方程；
（Ⅱ）先移项得5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3；
（Ⅱ）5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（5x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或5x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2+x+m＝0（m为常数）．
（1）若x＝1是该方程的一个实数根，求m的值和该方程的另一个实数根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）把x＝1代入原方程，得到关于m的方程，即可求m的值，再利用根与系数的关系即可求另一根；
（2）利用根的判别式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵x＝1是该方程的一个实数根，
∴2×12+1+m＝0，
解得：m＝﹣3，
∴原方程为：2x2+x﹣3＝0，
令方程的另一实数根为y，则有：
1+y＝﹣，
解得：y＝；
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4×2m＞0，
解得：m＜．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用．
21．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x+5．
（1）把解析式配方成顶点式，并写出顶点坐标；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是 1≤y＜5 ．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）将x＝0，1，2，3分别代入y＝x2﹣4x+5求解，通过描点描线作图．
（3）结合图象求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
（2）将 x＝0，1，2，3，别代入 y＝x2﹣4x+5 得点的坐标为：（0，5），（1，2），（3，2）（4，5）．
图象如下：
（3）由图象可得0＜x＜3时，1≤y＜5．
故答案为：1≤y＜5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB＝AC，F是上一点，BF⊥AC于E．若∠BCF＝3∠F，求∠A的度数．
【分析】根据BF⊥AC和圆周角定理，可得∠ACF＝90°﹣∠A，根据等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC＝，再根据∠BCF＝3∠F＝3∠A，可得+90°﹣∠A＝3∠A，进一步求解即可．
【解答】解：由题意可知BF⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠A＝∠ACF，
∵∠F＝∠A，
∴∠ACF＝90°﹣∠A，
∵AB＝AC，
∴，
∴3 ，
∵∠BCF＝3∠F＝3∠A，
∴，
∴∠A＝40°．
∴∠A的度数是40°．
【点评】本题考查了三角形外接圆与圆心，圆周角定理，全等三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
23．（10分）如图，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
（1）求线段OD的长；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）证明△OBD为等边三角形得到OD＝BO＝4；
（2）利用△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，OD＝4，再利用旋转的性质得到CD＝AO＝3，接着根据勾股定理的逆定理证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，然后计算∠BDO+∠ODC即可．
【解答】解：（1）∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴OD＝BO＝4；
（2）∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，OD＝4，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵CD2+OD2＝32+42＝52＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs．
（1）用含x的式子表示：AP＝ 2x cm，BP＝ （12﹣2x） cm，BQ＝ 4x cm；
（2）当△PBQ的面积为32cm2时，求运动时间；
（3）当x为多少s时，△PBQ的面积有最大值，并求出这个最大值．
【分析】（1）由题意得AP＝2xcm，BQ＝4xcm，则BP＝AB﹣AP＝（12﹣2x）cm；
（2）由三角形面积公式得S△PBQ＝﹣4x2+24x，再根据△PBQ的面积为32cm2，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）由（2）可知，S△PBQ＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，再由二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝12cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2x）cm，
故答案为：2x，（12﹣2x），4x；
（2）∵BQ＝4xcm，BP＝（12﹣2x）cm，∠B＝90°，
∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（12﹣2x）•4x＝（﹣4x2+24x）（cm2），
即S△PBQ＝﹣4x2+24x，
由题意得：﹣4x2+24x＝32，
整理得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
答：当△PBQ的面积为32cm2时，运动时间是2s或4s；
（3）由（2）可知，S△PBQ＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，
∵﹣4＜0，
∴当x＝3时，△PBQ的面积有最大值为36，
答：当x为3s时，△PBQ的面积有最大值，这个最大值为36cm2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形面积公式，求出△PBQ的面积与x的关系式是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是直线x＝2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；
（2）设D（m，n），列出方程即可解决问题；
（3）因为点A与点C关于直线x＝2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x＝2的交点即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，
∴抛物线的解析式为．y＝x2﹣4x+3；
（2）设D（m，n），
由题意×2×|n|＝8，
∴n＝±8
当n＝8时，x2﹣4x+3＝8，解得x＝5或﹣1，
∴D（5，8）或（﹣1，8），
当n＝﹣8时，x2﹣4x+3＝﹣8，方程无解，
综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）．
（3）∵点A与点C关于x＝2对称，
∴连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
则直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【点评】本题考查二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
x
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0
1
2
3
4
…
y
…





…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
5
2
1
2
5
…