2024昆明呈贡区昆三中教育集团高一上学期11月期中数学试题含解析

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数学试卷
命题人：俞纲 李毅梅
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用充分必要条件的概念进行正反论证，即可得到答案.
【详解】因为当时，可得
而当时，可取，则不满足.
所以是的充分不必要条件.
故选：C
3. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可.
【详解】A：显然，，所以本选项不正确；
B：显然，，所以本选项正确；
C：因为，所以不存在，，因此本选项不正确；
D：因为，，所以本选项不正确，
故选：B
4. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为，则，所以，所以，
又，所以，
所以.
故选：D
5. 下列表示关于的函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义，逐一判断选项的正误即可
【详解】对于A，由，解得，所以不是的函数；
对于B，当时，有两个与对应，所以不是的函数；
对于C，当时，有两个与对应，所以不是的函数；
对于D，满足是的的函数.
故选：D.
6. 若命题“”为真命题，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故选：A
7. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且，
求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以，且，因为在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
当时，则，故，
当时，则，故，
综上：解集为.
故选：B
8. 某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 甲、乙一样D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，
平均价格为；
对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为，
平均价格为.
因为，所以，.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分．
9. 已知，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用指数函数图象性质，对底数进行分类讨论逐一判断选项即可求得结果.
【详解】根据题意，由指数函数性质可知
当时，函数单调递减，且，
若，则函数图象过坐标原点，此时图象为D；
当时，函数，图象可能是C；
当时，函数单调递增，且，
此时交轴正半轴，函数图象可以为B；
故选：BCD
10. 若，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于AD，当时，不成立；对于BC，用作差法比较大小即可.
【详解】当时，A错误；
因为，所以，所以，所以B正确；
因为，所以，所以C正确；
当时，D错误；
故选：BC.
11. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】判断各选项奇偶性及在上的单调性即可.
【详解】A选项，为偶函数，当时，.其在上单调递减，故A错误；
B选项，为偶函数，其在上单调递增，故B正确；
C选项，为奇函数，故C错误；
D选项，为偶函数，其在上单调递增，故D正确.
故选：BD
12. (多选)已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上任意不同的两点，则下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小即可求解.
【详解】因为是幂函数，可设，因为幂函数的图象经过点，
所以，即,解得，所以，定义域为，
设，因为，所以在上单调递增，
若，则有，即，故A不正确；
设，定义域为，
因为，所以在上单调递减，
若，则有，即，即，
故B、C正确，D不正确；
故选：BC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设，，若，则_________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据集合相等求解实数的值，即可得的值.
【详解】解：因为，若，则，所以.
故答案为：0.
14. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，然后求得.
【详解】依题意，
所以.
故答案为：
15. 函数是偶函数，若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】分析出偶函数在上单调递增，由得出，进而得出，解此不等式即可.
【详解】当时，函数，该函数在区间上为增函数，
由于函数为偶函数，由得，
，不等式两边平方得，，解得.
因此，所求的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查函数不等式的求解，结合分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中等题.
16. 已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围.
【详解】由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，
，等号成立的条件是，即x=3 ，成立，
即函数在[3.+∞)的值域是[4.+∞)，
，是增函数，当x∈[3.+∞)时，函数的值域是，
所以，解得: 1所以实数a的最大值是2.
故答案为: 2.
【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于较难题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17. （1）已知集合，求：；
（2）计算：．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据补集的运算求出，再根据并集的运算求解即可得出答案；
（2）根据指数幂的运算，化简求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，或，
所以，或.
（2）.
18. 已知函数，设．
（1）若的定义域是，求函数定义域；
（2）若，求函数解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由抽象函数定义域求法可知，解得，即可求得函数定义域为；
（2）利用方程组法求得函数的解析式为，代入计算可得.
【小问1详解】
根据题意，由的定义域是可得，
解得，
即函数定义域为.
【小问2详解】
由可知，
将替换上式中的可得，
联立两式消去可得，
所以可得
，
即函数解析式为.
19. 已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求的值；
（3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域及单调减区间.
【答案】（1）
（2）或
（3）作图见解析；值域为；单调减区间为，，
【解析】
【分析】（1）先根据已知求出，即可得出答案；
（2）分，，三种情况，分别计算求解，即可得出答案；
（3）作出函数图象，根据函数图象，直接写出函数的性质.
【小问1详解】
由已知可得，，
所以，.
【小问2详解】
当时，由，可得，解得，不满足，舍去；
当时，由，可得，
解得（舍去），或，
所以；
当时，由，可得，解得，满足.
综上所述，或.
【小问3详解】
作图
由图象可知，函数的值域为；
单调减区间为，，.
20. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的范围，去掉绝对值符号，解出不等式，即可得到结果；
（2）由（1）可知，原问题转化为，解不等式，即可求出结果.
【小问1详解】
解：∵
∴不等式等价于或或
∴或
∴不等式的解集为.
【小问2详解】
解：由（1）可知当时，，
∴关于的不等式的解集为等价于，
∴，解得.
∴实数的取值范围为.
21. 为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）
（2）年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.
【解析】
【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；
（2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式来求最大值，最后综合即可．
【小问1详解】
因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时， ，
所以.
【小问2详解】
当时，，
此时，当时，取得最大值万元，
当时，，
此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元.
综上所述，由于，最大值为15万元.
所以当年产量10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.
22. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
（2）若为定义在R上的“局部奇函数”，求函数在的最小值．
【答案】（1）为“局部奇函数”，理由见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；
（2）由方程有解，设换元后转化为关于的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值.
【小问1详解】
当时，方程，即有解，
解得，
所以为“局部奇函数”.
【小问2详解】
当时，可化为
，
令，则，
从而关于的方程在上有解即可保证为“局部奇函数”，
令，
①当时，在上有解，
由，即，解得；
②当时，在上有解等价于
此时无解
则所求实数的取值范围是.
令，因为，所以，
则，
令，对称轴为，
当时，在单调递增，所以时，取得最小值，，即时；
当时，时，取得最小值，，
即时，.
综上，当时，；
当时，.
x
1
2
3
4
y
0
0
－6
11