广东省佛山市顺德区容山中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

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命题人：叶建华 审题人：汪良清
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2.已知集合，，若，则等于（ ）
A.-1或3B.0或-1C.3D.-1
3.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4.设函数，且，则等于（ ）
A.5B.-5C.3D.-3
5.已知，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6.“”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
8.享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若且，则D.
10.下列说法中，正确的是（ ）
A.方程的所有实数根组成的集合为
B.函数与不是同一个函数
C.“”是“”的必要不充分条件
D.已知，，，则的最小值为
11.某校学习兴趣小组通过研究发现：形如（，b，d不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数的图象及性质，有（ ）
A.图象上点的纵坐标不可能为1B.图象关于点成中心对称
C.函数在区间上是减函数D.图象与轴无交点
12.下列结论正确的是（ ）
A.若命题“，成立.”是真命题，则实数的取值范围是
B.函数的最小值为2
C.若函数的定义域为，则实数的取值范围是
D.若函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为___________.
14.已知，则___________.
15.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为___________.
16.已知函数，其中，若函数的定义域和值域均为，则实数的值为______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知且，，求：
（1）；
（2）.
18.（12分）设命题p：实数x满足，其中.命题q：实数x满足.
（1）当时，命题p，q都为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
19.（12分）已知集合，，且.
（1）若，求m，a的值.
（2）若，求实数a组成的集合.
20.（12分）已知函数，.
（1）若函数值时，其解集为，求a与b的值；
（2）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，求实数a的取值范围.
21.（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：（，）.若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元.设为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和.
（1）求m的值及的表达式.
（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用达到最小，并求最小值.
22.（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求m，n的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
容山中学2023-2024学年第一学期期中考试高一年级数学答案
选择题：（第1-8题是单选题，第9-12是多项选择题）
填空题：（每题5分）
13. 14.8 15. 16.2
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【解】（1）因为，
且，
则.
（2）由（1）可知，，.
18.【解】（1）当时，由，解得：，故命题：实数满足.
由，得，故命题：实数满足.
若命题，都为真，则，∴，∴实数的取值范围是.
（2）命题：实数满足，其中.
∵，∴，由，解得，
∵是的必要不充分条件，∴，且，即是的真子集，
∴，解得，∴的取值范围是.
19.【解】（1）因为，，且；，
所以，，
所以，解得，
所以，
又所以，
所以，解得.
（2）若，所以，
因为，所以
①当，则；
②当，则；
③当，则；
综上可得.
20.【解】（1）由题意可知的解集为，
所以，
即；
（2）由，可得，
①当时，不等式的解集为，
若的解集中恰有两个整数解，则；
②当时，不等式的解集为，
若的解集中恰有两个整数解，；
③当时，不等式的解集为，不合题意；
综上所述，实数的取值范围是 .
21.【解】（1）由题设得，解得，
因为建造费用为，
所以.
（2）
当且仅当，即时，等号成立.
所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用达到最小值110万元.
22.【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得，，
经检验函数为奇函数，所以，；
（2）在上单调递增.
证明如下：设，则，
其中，，所以，即，
故函数在上单调递增；
（3）因为对任意的，总存在，使得成立，所以，
因为在上单调递增，所以，
①当时，；所以恒成立，符合题意；
②当时，在上单调递增，则，
所以，解得；
③当时，函数在上单调递减，则，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
D
C
B
D
B
ACD
BD
ABC
AD