2024年高考数学第一轮复习精品导学案第07讲 章末检测二（学生版）+教师版

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1、（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
2、（2021·浙江高三期末）设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知方程的根为，
由韦达定理得：，，
解得，所以.
故选：B.
3、（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：D．
4、（2023·山西·统考一模）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一更经济B．方案二更经济
C．两种方案一样D．条件不足，无法确定
【答案】B
【分析】设第一次价格为，第二次价格为，进而求解两种方案的平均数，并比较大小即可.
【详解】解：设第一次价格为，第二次价格为，
方案一：若每次购买数量，则两次购买的平均价格为，
方案二：若每次购买钱数为，则两次购买的平均价格为，
所以，，即，当且仅当时，“=”号成立，
所以方案二更经济.
故选：B.
5、（2023·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
6、（山东省青岛市2020-2021学年高三模拟）“”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，可得，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，
所以“” 的充要条件是.
故选：D.
7、（2021·山东威海市·高三期末）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为不等式的解集中恰有个正整数，
即不等式的解集中恰有个正整数，
所以，所以不等式的解集为
所以这三个正整数为，所以，即
8、（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120B．200C．240D．400
【答案】D
【解析】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当时，，
当时，取得最小值240，
当 时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D
多选题
9、（2022年湖南邵阳市高三月考试卷）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为4
【答案】ABC
【解析】由题，所以有
，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，当且仅当即时取等，
又因为，所以，即无最小值，故D错误.
故选：ABC.
10、（2022年湖南湘阴县知源高级中学高三月考试卷）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
11、（2022·广东省梅江市梅州中学10月月考）已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】命题意图本题考查不等式的性质.∵，∴，
∴，A错误；，B错误；，C正确，，D正确．
故选：CD.
12、（2022年重庆市北山中学高三月考试卷）. 下列叙述不正确的是（ ）
A. 的解是
B. “”是“”的充要条件
C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
D. 函数的最小值是
【答案】AD
【解析】选项A：的解是或，故A不正确；
选项B：由得，恒成立则或，解得 ，所以“”是“”的充要条件，故B正确；
选项C：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
选项D：由均值不等式得，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以的最小值大于，故D不正确；
故选：AD
三、填空题
13、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由不等式，可得，
结合分式不等式的解法，可得，即不等式的解集为.
故答案为：.
14、（2022·湖北·一模）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.
【答案】6
【解析】设矩形空地的长为m，则宽为m，
依题意可得，试验区的总面积，
当且仅当即时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为.
故答案为：6
15、(2022·沭阳如东中学期初考试)已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则EQ \F(1,a)＋4b的最小值是_______．
【答案】9
【解析】由ab－b＋1＝0可得eq a＝\f(b－1,b)，因为eq a＝\f(b－1,b)＞0且b＞0得b＞1，所以eq \f(1,a)＋4b＝\f(b,b－1)＋4b＝\f(1,b－1)＋4(b－1)＋5，则eq \f(1,b－1)＋4(b－1)≥2EQ \R(,\F(1,b－1)·4(b－1))＝4，所以eq \f(1,a)＋4b≥9，当且仅当eq \f(1,b－1)＝4(b－1)，即eq b＝\f(3,2)，a＝\f(1,3)时等号成立，故eq \f(1,a)＋4b的最小值为9．
16、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知x＞0，y＞0，且，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
设，则，即，即，
解得或（舍去）.
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17、（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
【解析】
（1）
∵（当且仅当，即x=1时取“=”）
即的最小值为3；
（3）令，则可化为：
当且仅当t=3时取“=”
即y的最小值为10
18、(2022·江苏连云港灌云县第一中学10月月考)
已知关于的不等式的解集为或.
（1）求、的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求实数范围.
【解析】（1）因为不等式的解集为或.
所以，关于的方程有两个实根分别为，，且有，
所以得；
（2）由（1）知，不等式恒成立，则，
，
当且仅当时，取等号，
所以：，即，即.
19、(2022·江苏镇江期中)(本小题满分10分)设函数eq f(x)＝ax\s\up6(2)＋bx－3(a，b∈R，a≠0)，关于x的不等式f(x)＜k(k为常数)的解集为(－3，1)．
(1)若k＝0，求实数a，b的值；
(2)当x∈[1，3]时，f(x)＜x－2恒成立，试求a的取值范围．
【解析】
(1)当k＝0，关于x的不等式f(x)＜0，即ax2＋bx－3＜0的解集为(－3，1)，
可得－3，1是方程ax2＋bx－3＝0(a＞0)的两根，
则－3＋1＝－EQ \F(b,a)，－3×1＝－EQ \F(3,a)，
解得a＝1，b＝2；
(2)关于x的不等式f(x)＜k(k为常数)的解集为(－3，1)，
可得－3，1是方程ax2＋bx－3－k＝0(a＞0)的两根，
则－3＋1＝－EQ \F(b,a)，即有b＝2a，
当x∈[1，3]时，f(x)＜x－2恒成立，即ax2＋2ax－3＜x－2，
即有a(x2＋2x)＜x＋1，即a≤EQ \F(x＋1,x\S(2)＋2x)对1≤x≤3恒成立．
设g(x)＝EQ \F(x＋1,x\S(2)＋2x)＝EQ \F(x＋1,(x＋1)\s\up3(2)－1)＝EQ \F(1,(x＋1)－\F(1,x＋1))，
由1≤x≤3，可得2≤x+1≤4，
又y＝x＋1－EQ \F(1,x＋1)在[1，3]递增，可得x＝3时，y＝x＋1－EQ \F(1,x＋1)取得最大值EQ \F(15,4)，
所以g(x)的最小值为EQ \F(4,15)，
所以a≤EQ \F(4,15)，即a的取值范围是(－，EQ \F(4,15)]．
20、 (本小题满分12分)某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
【解析】
(1)设污水处理池的宽为米，则长为米．
总造价
（元），
当且仅，即时取等号．
∴当污水处理池的长为16．2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．
(2)由限制条件知∴
设，
在上是增函数，∴当时(此时)，
有最小值，即有最小值，
即为 (元)．
∴当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元．
21、（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0
（1）若a=－2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0
（2）若a>0解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0
【解析】
(1)时，不等式为，即，，
不等式的解集为或.
(2)当a>0时，不等式可化为(x－1)<0 ，故(x－1)<0
当01，不等式的解集为.
当a＝1时，不等式的解集为∅.
当a>1时，<1，不等式的解集为.
综上，当01时，解集.
22、 (本小题满分13分)
已知函数，对任意的，恒有．
(1)证明：当时， ；
(2)若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值．
【解析】
(1)证明 易知．由题设，对任意，即恒成立，
，从而．
于是，且，
∴．
故当时，有．
即当时， ．
(2)解 由(1)易知， ．
当时，有．
令，则．
而函数的值域是．
∴当 时，M的取值集合为．
当时，由(1)易知，．
此时或,，
从而．
综上所述，的最小值为