2024年高考数学第一轮复习精品导学案第08讲 函数的概念及其表示方法（学生版）+教师版

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1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
3．函数的表示法
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
5.常见函数的定义域：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cs x，定义域均为R.
(5)y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
(6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
【2018年新课标1卷文科】已知函数，若，则________．
【答案】-7
【解析】
【详解】
分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
1、下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
【答案】 C
【解析】 A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确.
2、下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2
C．f(x)＝eq \f(sin 2x,2cs x)，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
【答案】D
【解析】A，B，C的定义域不同，所以答案为D.
3、函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由函数，知
解之得：
故选：B
4、 (多选)(2022·雅礼中学高三月考)下列说法中，正确的有( )
A. 式子y＝ eq \r(x－1)＋ eq \r(－x－1)可表示自变量为x，因变量为y的函数
B. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C. 若f(x)＝|x－1|－|x|，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝1
D. f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数
【答案】 BCD
【解析】 对于A，对于函数y＝ eq \r(x－1)＋ eq \r(－x－1)，有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,－x－1≥0，))此不等式组无解，故A错误；对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确；对于C，因为f(x)＝|x－1|－|x|，则 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f(0)＝1，故C正确；对于D，函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t的定义域均为R，且对应关系相同，故f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数，故D正确．故选BCD.
考向一 函数的概念
例1、（1）下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
【答案】 C
【解析】 根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.
（2）(多选)下列各组函数是同一函数的为( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C.f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0))
D.f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x)
【答案】 AC
【解析】 同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.
变式1、下列各对函数中是同一函数的是( ) ．
A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝eq \r(（2x＋1）2)与g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
【答案】 BD
【解析】 ①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f(x)＝eq \r(（2x＋1）2)＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数．
变式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x).
【答案】：③
【解析】：对于③，因为当x＝4时，y＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)∉Q，所以③不是函数．
方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A到值域B的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；
(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．
考向二 函数的定义域
例1、 求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝ eq \r(lg (5－x2))；
(2) f(x)＝ eq \f(1,ln (x－1)).
【解析】 (1) 因为f(x)＝ eq \r(lg (5－x2))，
所以lg (5－x2)≥0且5－x2>0，
所以lg (5－x2)≥lg 1，－ eq \r(5)因为y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以5－x2≥1，解得－2≤x≤2，
所以函数f(x)的定义域为[－2，2].
(2) 因为f(x)＝ eq \f(1,ln (x－1))，
所以ln (x－1)≠0，
即ln (x－1)≠ln 1，且x－1>0，
解得x>1，且x≠2，
所以函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞).
变式1、（1）函数f(x)＝ln(4x－x2)＋eq \f(1,x－2)的定义域为( )
A.(0，4) B.[0，2)∪(2，4]
C.(0，2)∪(2，4) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
【答案】 C
【解析】 要使函数有意义，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－x2＞0，,x－2≠0，))
解得0＜x＜4且x≠2.
（2）.函数f(x)＝eq \r(ln x) ·lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2,2－x)))的定义域是( )
A.[1，2] B.[2，＋∞)
C.[1，2) D.(1，2]
【答案】 C
【解析】根据函数f(x)的解析式，
有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋2）（2－x）＞0，,x＞0，,ln x≥0，))解得1≤x＜2，
所以函数f(x)的定义域为[1，2).
变式3、.已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定义域是( )
A.[0，1] B.(0，1)
C.[0，1) D.(0，1]
【答案】 B
【解析】由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1).
方法总结：1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
考向三 函数的解析式
例2、 (1) 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式；
(2) 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，求当－1≤x≤0时，函数f(x)的解析式；
(3) 已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \f(3,x)＋1，求函数f(x)的解析式．
【解析】 (1) 因为f(x)为二次函数，
所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(0)＝c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2)，))
所以f(x)＝ eq \f(1,2)x2＋ eq \f(1,2)x.
(2) 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
所以f(x)＝ eq \f(f(x＋1),2)＝ eq \f(1,2)(x＋1)(1－x－1)＝－ eq \f(x,2)(x＋1).
(3) 因为3f(x)＋5f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \f(3,x)＋1，①
所以3f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1.②
由①＋②，得8f(x)＋8f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x＋ eq \f(3,x)＋2，③
由②－ eq \f(3,8)×③，得2f(x)＝ eq \f(15,8)x－ eq \f(9,8x)＋ eq \f(1,4)，
所以f(x)＝ eq \f(15,16)x－ eq \f(9,16x)＋ eq \f(1,8).
变式1、(1)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解析】 (1)(换元法)令eq \f(2,x)＋1＝t，得x＝eq \f(2,t－1)，
代入得f(t)＝lgeq \f(2,t－1)，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lgeq \f(2,x－1)，
x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))
解得a＝b＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，
得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
故f(x)的解析式是f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.
变式2、求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
【解析】(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t.
∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
(2)(配凑法)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2，
∴f(x)＝x2－2，
x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]
＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝7，))
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，
得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
方法总结：函数解析式的常见求法
函数解析式的求法主要有以下几种：
(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
考向四 分段函数
例3、（1）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x<1，))则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
（2）、已知则f(7） =______.
（3）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(lg2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq \f(1,2)，则实数a＝________．
（4）、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋1， x≤0，,－x－12， x>0，))则不等式f(x)≥－1的解集是________．
【答案】（1）0 2eq \r(2)－3；（2）6（3） lg23（4） [－4,2]
【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋eq \f(2,x)－3≥2eq \r(2)－3，当且仅当x＝eq \r(2)时，取等号，此时f(x)min＝2eq \r(2)－3<0；
当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为2eq \r(2)－3.
（2）∵7＜9，
∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8＜9，
∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
（3）当a－1≤0，即a≤1时，f(a－1)＝lg2(4－a)＝eq \f(1,2)，
解得a＝4－eq \r(2)(舍)；当a－1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a－1－1＝eq \f(1,2)，
解得a＝lg23.
（4）当x≤0时，不等式f(x)≥－1可以化为eq \f(1,2)x＋1≥－1，
解之得x≥－4，此时－4≤x≤0；当x>0时，不等式f(x)≥－1可以化为－(x－1)2≥－1，
解之得0综上所述，不等式f(x)≥－1的解集为[－4,2]．
变式1、设函数，则满足的的取值范围是___．
【答案】
【解析】当时，不等式为恒成立；
当，不等式恒成立；
当时，不等式为，解得，即；
综上，的取值范围为．
方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；
(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
1、设函数,( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．
2、设函数则使得成立的的取值范围是________.
【答案】.
【解析】原不等式等价于或，解得，故的取值范围是.
3、(2022·泰州中学期初考试)下列关于x，y的关系中为函数的是（ ）
A.B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，定义域需满足即，不能满足函数的定义，故B不是函数；对于C，不能满足函数的定义，故C不是函数；对于D，满足构成函数的要素，故D是函数，故选D.
4、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知函数eq f(x)＝\B\lc\{(\a\al((x－1)\s\up6(2)，x≤1，,lg\s\d(\f(1,2))x，x＞1，))eq f(x\s\d(0))＝－2，则eq x\s\d(0)＝ ．
【答案】4
【解析】由题意可知，①当x0≤1时，f(x0)＝(x0－1)2＝－2，无解，故舍去；②当x0＞1时，f(x0)＝EQ lg\S\DO(\F(1,2))\b\bc\((\l(x\S\DO(0)))＝－2，解得x0＝4，满足题意；故答案为4．
5、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，由此可解得的值.
【详解】由已知可得，，
因为为偶函数，为奇函数，所以，，
联立，解得.
故选：C.
6、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)设函数y＝f(x)定义域为D，若存在x，y∈D，且x≠y，使得eq 2f(\f(x＋y,2))＝f(x)＋f(y)，则称函数y＝f(x)是D上的“S函数”，下列函数是“S函数”的是
A．eq y＝2\s\up6(x) B．y＝x－sinx＋1 C．y＝lnx D．y＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(\F(1,x)，x＞0),\l(1，x≤0)))
【答案】BD
【解析】对于选项A，f(x)＝y＝2x，所以eq f(\f(x＋y,2))＝2EQ \S\UP8(\F(x＋y,2))，eq f(x)＋f(y)＝2\s\up6(x)＋2\s\up6(y)，由基本不等式可得2x＋2y≥2EQ \R(,2\S(x)·2\S(y))＝2×2EQ \S\UP8(\F(x＋y,2))，即2eq f(\f(x＋y,2))≤f(x)＋f(y)，仅当x＝y取等号，又x≠y，所以2eq f(\f(x＋y,2))＜f(x)＋f(y)，故选项A不成立；对于选项B：一次函数y＝x＋1是“S函数”，故只需判断y＝sinx是否为“S函数”，设eq x＝\f(π,2)，y＝\f(π,2)，所以2eq f(\f(x＋y,2))＝f(x)＋f(y)，故选项B成立； 对于选项C：f(x)＝y＝lnx，所以feq (\f(x＋y,2))＝ln\f(x＋y,2)，f(x)＋f(y)＝lnx＋lny＝ln(xy)，因为x≠y，由基本不等式可得xy≤eq \f(x＋y,2)，故lneq \f(x＋y,2)＞ln(xy)不满足eq 2f(\f(x＋y,2))＝f(x)＋f(y)，故选项C不成立；
对于选项D：y＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(\F(1,x)，x＞0),\l(1，x≤0)))，当x≤0时，y＝1恒成立，即存在x，y∈(－∞，0]，使得eq 2f(\f(x＋y,2))＝f(x)＋f(y)＝1，故选项D成立；综上，答案选BD．
7、已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq \f(1,x4)，则f(x)＝__________.
【答案】x2－2，x∈[2，＋∞)
【解析】∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)． 解析法
图象法
列表法
就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.
就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.
就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.