2024年高考数学第一轮复习精品导学案第69讲 圆锥曲线中的定点问题（学生版）+教师版

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例1、（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点.
变式1、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N.证明：直线MN经过定点.
变式2、（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知椭圆：的左焦点为，且离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点，直线（不经过点）与椭圆相交于，两点，与交于点，设直线，，的斜率分别为，，，且．证明：直线过定点，并求出该点的坐标．
变式3、（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.
题型二 圆锥曲线中的圆过定点问题
例2、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.
(1)求的方程；
(2)证明：以为直径的圆经过定点.
变式1、（2022·广东揭阳·高三期末）已知椭圆为椭圆的左､右焦点，焦距为，点在上，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若存在该定点，请求出的值；若不存在，请说明理由.
变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且FA⋅OA=4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
题型三 、 圆锥曲线中的椭圆过定点问题
例3、（2021·河北石家庄市高三二模）已知直线：与椭圆：相交于，两点，，
（1）证明椭圆过定点，并求出的值；
（2）求弦长的取值范围．