云南省昆明市五华区云南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份云南省昆明市五华区云南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，文件包含第23章小结与复习上课课件pptx、第23章小结与复习教案doc、第23章旋转单元测试docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共36页， 欢迎下载使用。

1．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是540°
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝84°（ ）
A．88°B．92°C．106°D．138°
5．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（ ）
A．k≥﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠1D．k＞2且k≠1
6．（3分）反比例函数（k是常数，且k≠0）与二次函数y＝﹣kx2+k2在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛（ ）
A．2x＝15B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15D．
8．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a+5没有实数根，则a＞﹣；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a+b＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．（2分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2﹣2x1x2为 ．
12．（2分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是 ．
13．（2分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是 个．
14．（2分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m的值为 ．
15．（2分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B，点C为y轴上的一点，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是 ．
16．（2分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
17．（2分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，则∠BED的度数是 ．
18．（2分）如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，当水位上升5米时，则水面宽CD＝ 米．
19．（2分）如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片上的点C处，图中阴影部分的面积为 ．
20．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为圆上一动点，M为AP的中点，则CM长的最大值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共50分）
21．（6分）如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画△A2B2C2；
（3）求出（2）中B点旋转到B2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
22．（6分）2022卡塔尔世界杯正在激烈进行中，吉祥物“拉伊卜”凭借可爱的造型受到网友喜爱．如图分别是2022年和2018年世界杯的吉祥物和会徽图案，军军制作了4张正面分别印有这四个图案的卡片（卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同，这4张卡片分别用字母A，B，C，D表示）
（1）军军从中随机抽取1张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是 ；
（2）军军从这4张卡片中任意抽取1张卡片，再从剩下的卡片中任意抽取1张卡片，请利用画树状图或列表法
23．（7分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
（3）直接写出当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集：
24．（7分）2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，一开售就深受大家的喜爱，据统计某电商平台7月份的销售量是5万件
（1）若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，售价每降价10元，每天可多售出20件，每个吉祥物的利润不允许高于进价的30%，设销售吉祥物公仔每天的总利润为w（元）
25．（7分）已知点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2（a≠0，m为常数）的顶点．
（1）若此二次函数与x轴只有一个交点，试确定m的值；
（2）已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以3、4、5为边长的三角形的内切圆．
①⊙O的半径长r＝ ；
②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，试判断M与⊙O的位置关系．
26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于F，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3，若∠CAB＝60°，求线段EF．
27．（9分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+2ax+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B．
（1）求该函数的表达式及顶点坐标；
（2）将该二次函数图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为图象W．点Q在图象W上，QB，求△ABQ面积的最大值；
（3）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，请根据图象求出m的值．
2023-2024学年云南大学附中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）
1．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而判断得出答案．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形；
B．该图形不是中心对称图形；
C．该图形是中心对称图形；
D．该图形不是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
2．（3分）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是540°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、明天太阳从东方升起，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，符合题意；
C、平面内不共线的三点确定一个圆，不符合题意；
D、任意画一个三角形，是不可能事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）5+2是顶点式，
∴顶点坐标是（1，7）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝84°（ ）
A．88°B．92°C．106°D．138°
【分析】根据圆周角定理得出∠A＝BOD，根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠BOD＝84°，
∴∠A＝BOD＝42°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣42°＝138°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
5．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（ ）
A．k≥﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠1D．k＞2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜2且k≠3．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
6．（3分）反比例函数（k是常数，且k≠0）与二次函数y＝﹣kx2+k2在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数的性质和二次函数的性质，可以分别判断出它们的k的正负情况和二次函数顶点所在的位置，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：选项A中，反比例函数，二次函数y＝﹣kx2+k2中的k＞6，而顶点坐标为（0，k2）应该在y轴的正半轴，故该选项错误；
选项B中，反比例函数，二次函数y＝﹣kx3+k2中的k＜0，故该选项错误；
选项C中，反比例函数，二次函数y＝﹣kx4+k2中的k＜0，顶点坐标为（7，k2）应该在y轴的正半轴，故该选项正确；
选项D中，反比例函数，二次函数y＝﹣kx2+k4中的k＜0，而顶点坐标为（0，k4）应该在y轴的正半轴，故该选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和二次函数的性质解答．
7．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛（ ）
A．2x＝15B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15D．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝，由此可得出方程．
【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，
由题意得，＝15，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
8．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OB、OC，根据圆的周长得到圆的半径，再利用正六边形的性质即可解答．
【解答】解：连接OB、OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝5，
∴OH＝OB•sin∠OBC＝3×＝，
∴＝，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接正六边形中心角等于60°，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，正六边形的面积，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（3分）点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】由k2+3＞0，可知反比函数在每个象限内，y随x的增大而减小，A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）在第三象限内，C（2，y3）在第一象限内，分别判断即可．
【解答】解：∵k2+3＞4，
∴反比函数图象在一、三象限，y随x的增大而减小，
∴A（﹣3，y1）、B（﹣5，y2）在第三象限内，C（2，y6）在第一象限内，
∵﹣1＞﹣3，
∴y2＞y2，
∴y2＜y8＜y3，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握k对反比例函数图象的影响，特别注意要在每个象限内求解是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a+5没有实数根，则a＞﹣；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a+b＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由对称轴为直线x＝﹣1可得b＝2a，再将x＝1代入可判断①，找出（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程ax2+bx+c＝a+5的无解可看作抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝a+5的无交点，得到a+5＞4，解得a的取值可判断③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看作抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，可判断④；根据函数的最值即可判断⑤．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1．
∴b＝2a，
∵当x＝8时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜5，故①错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣3对称的点为（2，y1），
又∵8＜3，
∴y1＞y3，故②正确，
由题意可知方程ax2+bx+c＝a+5无解可看作抛物线y＝ax8+bx+c与直线y＝a+5无交点，
由图象可知a+5＞7即﹣1＜a＜0无交点，
∴关于x的一元二次方程ax7+bx+c＝a+5没有实数根，则﹣1＜a＜3，
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看作抛物线y＝ax5+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，
∵（0，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，
∴x的取值范围为﹣5＜x＜0，故④正确；
∵x＝﹣1时，函数有最大值y＝a﹣b+c，
∴对于任意实数m，am8+bm+c≤a﹣b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm﹣a+b≤0，故⑤错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．（2分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2﹣2x1x2为 ﹣4 ．
【分析】根据根与系数的关系可以得到x1+x2＝2，x1x2＝3，然后即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x6﹣2x+3＝4的两根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝6，
∴x1+x2﹣5x1x2
＝（x3+x2）﹣2x3x2
＝2﹣8
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系解答．
12．（2分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是 y＝（x+1）2+3 ．
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动3个单位2+3．
故答案为：y＝（x+4）2+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
13．（2分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是 14 个．
【分析】设袋子中黄球的个数可能有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设袋子中黄球的个数可能有x个，根据题意得：
＝3.3，
解得：x＝14，
经检验x＝14是原方程的解，
答：袋子中黄球的个数可能是14个．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m的值为 2 ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2m2﹣3m＝1，再把4m2﹣6m变形为2（2m2﹣3m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程2x2﹣4x﹣1＝0的一个根，
∴4m2﹣3m﹣2＝0，
∴2m3﹣3m＝1，
∴2m2﹣6m＝7（2m2﹣7m）＝2×1＝6．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（2分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B，点C为y轴上的一点，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是 ﹣12 ．
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB＝6，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝6，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝6，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣12．
故答案为﹣12．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
16．（2分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解：，解得r＝．
故答案为：．
【点评】解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
17．（2分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，则∠BED的度数是 45° ．
【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得∠ABC与∠ACB的度数，再由旋转性质得∠DCE与∠CED的度数，并得CB＝CE，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得∠CEB的度数，便可求得∠BED．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
由旋转性质知，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC＝30°，
∴∠CEB＝∠CBE＝75°，
∴∠BED＝∠CEB﹣∠CED＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键会是综合应用这些知识解题．
18．（2分）如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，当水位上升5米时，则水面宽CD＝ 20 米．
【分析】根据正常水位时水面宽AB＝30米，求出当x＝15时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可．
【解答】解：∵AB＝30米，
∴当x＝15时，y＝﹣2＝﹣5，
当水位上升5米时，y＝﹣4，
把y＝﹣2代入y＝﹣x2得：﹣6＝﹣x2，
解得x＝±10，
此时水面宽CD＝20米，
故答案为：20．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值．
19．（2分）如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片上的点C处，图中阴影部分的面积为 π﹣8 ．
【分析】连接OC交AB于H，由条件推出∠AOB＝120°，△OAB的面积＝△CAB的面积，由勾股定理求出AH的长，得到AB的长，求出扇形OAB的面积，△OAB的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】解：连接OC交AB于H，
∵△OAB沿AB折叠落到△CAB，
∴AB垂直平分OC，
∴OH＝OC＝，
∵cs∠AOH＝＝，
∴∠AOH＝60°，
∵OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠AOB＝2∠AOH＝120°，AB＝2AH，
∵AH＝OH＝2，
∴AB＝2×2＝3，
∴扇形OAB的面积＝＝π，△AOB的面积＝×2，
∵△CAB的面积＝△AOB的面积，
∴阴影的面积＝扇形OAB的面积﹣△AOB的面积×3＝π﹣8．
故答案为：π﹣8．
【点评】本题考查扇形的面积，关键是求出扇形OAB的面积，△OAB的面积．
20．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为圆上一动点，M为AP的中点，则CM长的最大值是 ．
【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，
因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大，
由题意得，OA＝OB＝OC＝2OA＝1＝O′M，
在Rt△O′OC中，OC＝2，
∴O′C＝＝，
∴CM＝CO′+O′M＝+2，
故答案为：+1．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，理解“圆外一点到圆上任意一点的最大距离”的计算方法是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共50分）
21．（6分）如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画△A2B2C2；
（3）求出（2）中B点旋转到B2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C4即为所求.
（2）如图，△A2B2C4即为所求．
（3）由勾股定理得，OB＝＝，
∴B点旋转到B2点所经过的路径长为＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、弧长公式是解答本题的关键．
22．（6分）2022卡塔尔世界杯正在激烈进行中，吉祥物“拉伊卜”凭借可爱的造型受到网友喜爱．如图分别是2022年和2018年世界杯的吉祥物和会徽图案，军军制作了4张正面分别印有这四个图案的卡片（卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同，这4张卡片分别用字母A，B，C，D表示）
（1）军军从中随机抽取1张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是 ；
（2）军军从这4张卡片中任意抽取1张卡片，再从剩下的卡片中任意抽取1张卡片，请利用画树状图或列表法
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）军军从中随机抽取1张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的4张卡片上的图案都是吉祥物的结果有2种、CA，
∴抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率、概率公式等知识；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（7分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a），与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
（3）直接写出当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集：
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；
（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；
（3）解析式联立求得B点的坐标，即可根据图象求得不等式﹣x+3＜的解集．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，
∴A（2，2）
把A（1，3）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝6；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（2，0），
设P（x，0），
∴PC＝|2﹣x|，
∴S△APC＝|7﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣5或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，3）或（8；
（3）解得或，
∴B（2，3），
由图象可知：不等式﹣x+3＜的解集是0＜x＜8或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
24．（7分）2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，一开售就深受大家的喜爱，据统计某电商平台7月份的销售量是5万件
（1）若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，售价每降价10元，每天可多售出20件，每个吉祥物的利润不允许高于进价的30%，设销售吉祥物公仔每天的总利润为w（元）
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用9月份的销售量＝7月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣60）元，每天的销售量为[20+2（100﹣x）]件，即可求解．
【解答】解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）4＝7.2，
解得：x3＝0.2＝20%，x6＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣60）元，利润为w元，
依题意得：w＝（x﹣60）[20+6（100﹣x）]＝﹣2（x﹣110）（x﹣60），
则函数的对称轴为直线x＝85，
而x≤60（1+30%）＝78，
故当x＝78时，w取得最大值，
此时，w的最大值为：1152元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数表达式是解题的关键．
25．（7分）已知点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2（a≠0，m为常数）的顶点．
（1）若此二次函数与x轴只有一个交点，试确定m的值；
（2）已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以3、4、5为边长的三角形的内切圆．
①⊙O的半径长r＝ 1 ；
②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，试判断M与⊙O的位置关系．
【分析】（1）由Δ＝（﹣2am）2﹣4a（am2﹣2m+2）＝0，即可求解；
（2）①证明四边形OFEG是正方形，得到FE＝EG＝x，则2x＝3+4﹣5，即可求解；
②求出点M（m，﹣2m+2），得到m﹣2m+2＝0，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣2am）2﹣5a（am2﹣2m+8）＝0，
∴8am﹣4a＝8a（m﹣1）＝2，
∵a≠0，
∴m﹣1＝4，
∴m＝1；
（2）①作出以3、6、5为边长的三角形，F，G，连接OF，如图所示：
由勾股定理可知该三角形是直角三角形，则∠E＝90°，
由切线的性质可知，OF⊥DE，
∴∠OFE＝90°，∠OGE＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∵OF＝OG＝x，
∴四边形OFEG是正方形，
∴FE＝EG＝x，
∵CH＝CG，DH＝DF，
∴2x＝8+4﹣5，
∴x＝8＝r，
故答案为：1；
②y＝ax2﹣8amx+am2﹣2m+8＝a（x﹣m）2﹣2m+4，
则点M（m，﹣2m+2），
∵点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，
则m﹣5m+2＝0，
解得：m＝3，
则点M（2，﹣2），
由①知，圆O的半径为3．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点、利用二次函数的性质求最值、新定义、点与圆的位置关系等知识点，综合性较强，需要熟练掌握相关性质及定理并正确运算．
26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于F，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3，若∠CAB＝60°，求线段EF．
【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可；
（2）过O作OG⊥AF于G，得到AF＝2AG，根据直角三角形的性质得到AG＝OA＝，得到AF＝3，推出四边形AODF是菱形，得到DF∥OA，DF＝OA＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作OG⊥AF于G，
∴AF＝2AG，
∵∠BAC＝60°，OA＝3，
∴AG＝OA＝，
∴AF＝3，
∴AF＝OD，
∴四边形AODF是菱形，
∴DF∥OA，DF＝OA＝3，
∴∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴EF＝DF＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
27．（9分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+2ax+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B．
（1）求该函数的表达式及顶点坐标；
（2）将该二次函数图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为图象W．点Q在图象W上，QB，求△ABQ面积的最大值；
（3）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，请根据图象求出m的值．
【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式，再把解析式化成顶点式便可得出顶点坐标；
（2）设Q（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3≤t≤0），过Q作QM⊥y轴于点M，根据三角形的面积公式得出函数解析式，再由函数的性质求得最大值便可；
（3）分两种情况：m+3＜﹣1；m＞﹣1；根据二次函数的性质列出方程求得m的值便可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）代入y＝ax8+2ax+3中，
得2a﹣6a+3＝5，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣6x+3，
∵y＝﹣x2﹣7x+3＝﹣（x+1）7+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）；
（2）令x＝0，得y＝﹣x2﹣5x+3＝3，
∴B（6，3），
设Q（t，﹣t2﹣6t+3）（﹣3≤t≤8），过Q作QM⊥y轴于点M，
则QM＝﹣t，OM＝﹣t2﹣2t+5，
∴△ABQ的面积S＝S梯形OAQM﹣S△OAB﹣S△BQM
＝﹣﹣
＝﹣t2﹣t
＝﹣（t+）2+（﹣3≤t≤0），
∴△ABQ面积的最大值为；
（3）当m+3＜﹣1，即m＜﹣4时，
∵m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值2，
∴﹣（m+8）2﹣2（m+4）+3＝2，
解得m＝﹣2+（舍）或m＝﹣4﹣，
当m＞﹣1时，
∵m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值6，
∴﹣m2﹣2m+6＝2，
解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+，
故m的值为m＝﹣8﹣或m＝﹣1+．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形的面积公式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
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