2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷(含答案)，共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1B．3，6C．﹣3，6D．3，﹣6
3．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）
4．（3分）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣3x+2＝0C．x2﹣2x+3＝0D．x2﹣9＝0
5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣3，4）
6．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+5D．y＝﹣2（x﹣4）2+5
7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50°B．70°C．110°D．120°
8．（3分）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝50﹣28B．50（1﹣x）2＝28
C．50（1﹣2x）＝28D．50（1﹣x2）＝28
9．（3分）如图，点A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0＜α＜90°），则∠APB＝（ ）
A．90°+αB．180°﹣αC．180°﹣2αD．2α
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣2B．x1＝2，x2＝0C．x1＝﹣2，x2＝4D．x1＝﹣3，x2＝5
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ．
12．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线 ．
13．（3分）如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 cm．
14．（3分）如果a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则多项式3b2+ab+3a的值为 ．
15．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝1，直线y＝﹣x+c与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，现有下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正确的结论是 （只填写序号）．
16．（3分）如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，ADCD=23，则线段BD的长度是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．
18．（8分）如图，在△ABC中，AC＝7，在同一平面内，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B'C的位置，∠B′CA′＝70°，且B′C∥A′A．
（1）A′C＝ ．
（2）求旋转角的大小．
19．（8分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为96cm2的无盖长方体盒子，求剪去的小正方形的边长是多少．
20．（8分）如图，平面直角坐标系中点D坐标为（1，1），每个小正方形网格的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点均在格点上．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE，并直接写出点E的坐标 ；
（2）过（1）中点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；
（3）找一个格点F，使得CF⊥AD，并直接写出点F的坐标 ．
21．（8分）AB是⊙O的直径，弦CE平分∠ACB交⊙O于点E．交AB于点D．连接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝2．
（1）求四边形ACBE的面积；
（2）求CE的长．
22．（10分）某“精准扶贫“助农平台为安康村农户销售苹果，平台的苹果销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的苹果销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：
（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系： ，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围： ，（ ）．
（2）若某一周苹果的销售量不少于6000千克，求本周安康村农户获得的最大收入和苹果售价分别为多少元？
（3）该平台制定新政策：每销售一千克苹果便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大．请直接写出a的最小值是 元．
23．（10分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系： ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论．
（3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．
①∠EAF＝∠BAD；
②2∠EAF+∠BAD＝360°．
24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点P的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．求△DEF的最大面积是多少？
（3）如图2，点D是直线BC上任意一点，若DP=2DO，求出点D的坐标．
2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．（3分）下列汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1B．3，6C．﹣3，6D．3，﹣6
【解答】解：∵3x2+1＝6x，
∴3x2﹣6x+1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣6，
故选：D．
3．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）
【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．
故选：B．
4．（3分）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣3x+2＝0C．x2﹣2x+3＝0D．x2﹣9＝0
【解答】解：A．此方程的Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，此选项符合题意；
B．此方程的Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C．此方程的Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8，方程没有实数根，此选项不符合题意；
D．此方程的Δ＝02﹣4×1×（﹣9）＝36＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣3，4）
【解答】解：点A（﹣4，3）关于原点的对称点的坐标为（4，﹣3），
故选：B．
6．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+5D．y＝﹣2（x﹣4）2+5
【解答】解：将将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是y＝﹣2（x﹣1+3）2+3+2，即y＝﹣2（x+2）2+5．
故选：C．
7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50°B．70°C．110°D．120°
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A=12×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故选：D．
8．（3分）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝50﹣28B．50（1﹣x）2＝28
C．50（1﹣2x）＝28D．50（1﹣x2）＝28
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为50（1﹣x）元，
两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为50（1﹣x）×（1﹣x）元，
则列出的方程是50（1﹣x）2＝28，
故选：B．
9．（3分）如图，点A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0＜α＜90°），则∠APB＝（ ）
A．90°+αB．180°﹣αC．180°﹣2αD．2α
【解答】解：如图，连接BD．
∵OC⊥AB，
∴AC=CB，
∴∠ADC＝∠CDB＝α，
∴∠ADB＝2α，
∵∠APB+∠ADB＝180°，
∴∠APB＝180°﹣2α，
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣2B．x1＝2，x2＝0C．x1＝﹣2，x2＝4D．x1＝﹣3，x2＝5
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是m（m＜﹣1），
∴方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）的另一个根为2﹣m，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，
∴这两个整数根是0或2，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 1.5 ．
【解答】解：∵方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，
∴2a﹣1＝2，
解得：a＝1.5，
故答案为：1.5．
12．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线 x＝1 ．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣4，
∴-b2a=--42×2=1，
∴二次函数y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
13．（3分）如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 8 cm．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD=12AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=132-122=5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水管中的水最大深度为8cm，
故答案为：8．
14．（3分）如果a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则多项式3b2+ab+3a的值为 9 ．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，ab＝﹣3，b2﹣b﹣3＝0，
∴b2＝b+3，
则原式＝3（b+3）+ab+3a
＝3b+9+ab+3a
＝3（a+b）+ab+9
＝3×1﹣3+9
＝3﹣3+9，
＝9，
故答案为：9．
15．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝1，直线y＝﹣x+c与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，现有下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正确的结论是 ①②④ （只填写序号）．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，即b+2a＝0，
∴2a+b+c＝c，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，函数值小于0，
即a﹣b+c＜0，
故②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴x（ax+b）≤a+b，
故③错误；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，
解得a＜﹣1，
故④正确．
故答案为：①②④．
16．（3分）如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，ADCD=23，则线段BD的长度是 7 ．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于H，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AGB，过点D作DN⊥BG于N，
∵ADCD=23，
∴设AD＝2x，CD＝3x，
∵∠ADC＝120°，
∴∠CDH＝60°，
∴∠DCH＝30°，
∴DH=12DC=3x2，CH=332x，
∴AH=72x，
∵AB＝AC，
∴AC2＝AB2＝19，
∵AH2+CH2＝AC2，
∴494x2+274x2＝19，
∴x＝1，
∴AD＝2，CD＝3，
∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AGB，
∴AG＝AD＝2，CD＝BG＝3，∠DAG＝60°，
∴△AGD是等边三角形，
∴∠AGD＝60°，
∴∠DGB＝60°，
∵DN⊥BG，
∴∠GDN＝30°，
∴GN=12GD＝1，DN=3GN=3，
∴BN＝2，
∴BD=DN2+BN2=4+3=7，
故答案为：7．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．
【解答】解：∵a＝5，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，
则x=-b±b2-4ac2a=2±2610=1±65，
∴x1=1+65，x2=1-65．
18．（8分）如图，在△ABC中，AC＝7，在同一平面内，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B'C的位置，∠B′CA′＝70°，且B′C∥A′A．
（1）A′C＝ 7 ．
（2）求旋转角的大小．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B'C的位置，
∴AC＝A'C＝7，
故答案为：7；
（2）∵将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B'C的位置，
∴旋转角为∠ACA'，
∵B′C∥A′A，
∴∠B'CA'＝∠CA'A＝70°，
∵AC＝A'C，
∴∠CA'A＝∠CAA'＝70°，
∴∠ACA'＝40°，
∴旋转角为40°．
19．（8分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为96cm2的无盖长方体盒子，求剪去的小正方形的边长是多少．
【解答】解：设剪去的小正方形的边长是xcm，则做成的无盖长方体的底面长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm，
依题意得：（20﹣2x）（10﹣2x）＝96，
整理得：x2﹣15x+26＝0，
解得：x1＝2，x2＝13．
又∵10﹣2x＞0，
∴x＜5，
∴x＝2．
答：剪去的小正方形的边长是2cm．
20．（8分）如图，平面直角坐标系中点D坐标为（1，1），每个小正方形网格的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点均在格点上．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE，并直接写出点E的坐标 （6，4） ；
（2）过（1）中点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；
（3）找一个格点F，使得CF⊥AD，并直接写出点F的坐标 （0，2） ．
【解答】解：（1）如图，线段AE即为所求，E（6.4）．
故答案为：（6，4）；
（2）如图，直线EK即为所求；
（3）如图，点F即为所求，F（0，2）．
故答案为：（0，2）．
21．（8分）AB是⊙O的直径，弦CE平分∠ACB交⊙O于点E．交AB于点D．连接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝2．
（1）求四边形ACBE的面积；
（2）求CE的长．
【解答】解：（1）如图，∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠BEC＝∠BAC＝60°，AC＝2，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，BC=3AC＝23，
∵CE平分∠ACB，
∴AE=EB，
∴AE＝EB＝22，
∴S四边形ACBE＝S△ABC+S△ABE=12×2×23+12×22×22=23+4；
（2）过点E作EM⊥CA交CA的延长线于M，EN⊥CB于N．
∵EC平分∠ACB，
∴EM＝EN，
∵∠M＝∠ENB＝90°，EA＝BE，
∴Rt△EMA≌Rt△ENB（HL），
∴AM＝EM，
∵∠M＝∠ENC＝∠MCN＝90°，
∴四边形CMEN是矩形，
∵EM＝EN，
∴四边形CMEN是正方形，
∴CM＝CN，
∴CA+CB＝CM﹣AM+CN+BN＝2CM＝2+23，
∴CM＝1+3，
∴EC=2CM=2+6．
22．（10分）某“精准扶贫“助农平台为安康村农户销售苹果，平台的苹果销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的苹果销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：
（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系： 一次函数关系 ，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围： y＝﹣500x+12000 ，（ 6≤x≤15 ）．
（2）若某一周苹果的销售量不少于6000千克，求本周安康村农户获得的最大收入和苹果售价分别为多少元？
（3）该平台制定新政策：每销售一千克苹果便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大．请直接写出a的最小值是 2 元．
【解答】解：（1）由表格可知，x值增加1，y值减小500，故y与x之间符合一次函数关系，
设y和x的函数表达式为：y＝kx+b，则9000=6k+b8500=7k+b，
解得k=-500b=12000，
∴y和x的函数表达式为y＝﹣500x+12000；
而平台的苹果销售运营成本为每千克3元，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克，
∴6≤x≤15；
故答案为：一次函数关系，y＝﹣500x+12000；6≤x≤15；
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，
∵苹果的销售量不少于6000千克，
∴﹣500x+12000≥6000，解得x≤12，
∴6≤x≤12，
而w＝y（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500（x-272）2+55125，
∵﹣500＜0，抛物线对称轴为直线x=272，
∴6≤x≤12在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴x＝12时，w有最大值为54000元，
答：本周安康村农户获得的最大收入为54000元，销售单价是12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣a）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500a）x﹣36000﹣12000a，
∴对称轴为直线x＝13.5+0.5a，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5a时，w随x的增大而增大，
而售价不超过15元/千克，
∴15≤13.5+0.5a，
解得a≥3，
∴a的最小值为3，
故答案为：3．
23．（10分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系： ∠BAE+∠FAD＝∠EAF ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论．
（3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．
①∠EAF＝∠BAD；
②2∠EAF+∠BAD＝360°．
【解答】解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF，DG＝BE，
∴EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGEF=GFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（2）（1）中结论∠BAE+∠FAD＝∠EAF成立，
证明：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠BCD+∠B+∠ADC＝360°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF，DG＝BE，
∴EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGEF=GFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）②2∠EAF+∠BAD＝360°是正确的．
证明：如图3，在DC的延长线上取一点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠BCD+∠B+∠ADC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠ABE=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+DF＝DG+DF＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠BAD＝360°．
24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点P的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．求△DEF的最大面积是多少？
（3）如图2，点D是直线BC上任意一点，若DP=2DO，求出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点P的坐标为（1，4），
∴设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），
∵该抛物线经过点A（﹣1，0），
∴将x＝﹣1，y＝0代入解析式得，a×（﹣1﹣1）2+4＝0，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
∴该抛物线的解析式的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）可知y＝﹣x2+2x+3，
∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），C （0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把B（3.0），C（0.3）代入y＝kx+b，得：
3k+b=0b=3，
解得：k=-1b=3．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点E坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∵DE∥y轴，
∴D（m，﹣m+3），
∴DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m-32）2+94，
∴当m=32时，DE最大为94，
∵DE//y轴，EF//x轴，
∴∠EDF＝∠OCB＝45°，∠DFE＝∠OBC＝45°，∠EDF＝90°，
∴∠EDF＝∠DFE＝45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，且DE＝EF，
∵S△DEF=12DE•EF=12DE2，又∵DE＞0，
∴DE越大，△DEF的面积越大，
∴△DEF的最大面积是12×（94）2=8132；
（3）由（2）得D（m，﹣m+3），
∴DP2＝（m﹣1）2+[4﹣（﹣m+3）]2，
OD2＝m2+（﹣m+3）2，
∵DP=2DO，
∴DP2＝2DO2，
∴（m﹣1）2+（m+1）2＝2[m﹣2+（﹣m+3）2]，
整理得：m2﹣6m+8＝0，
解得：m1＝2，m2＝4，
当m＝2时，﹣m+3＝﹣2+3＝1，
当m＝4时，﹣m+3＝﹣4+3＝﹣1，
∴点D坐标为（2，1）或（4，﹣1）．x（元/千克）
6
7
8
9
y（千克）
9000
8500
8000
7500
x（元/千克）
6
7
8
9
y（千克）
9000
8500
8000
7500