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数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案
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这是一份数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
1．进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2．理解垂径定理的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题
二、教学重难点
重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.
难点：垂径定理的证明,垂径定理的题设与结论的区分.
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
【新知探究】
（一）垂径定理
[探究]剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
[思考]你能证明你的结论吗？
证明：如图,设CD是⊙O的任意一条直径, A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B, 垂足为E.连接OA,OB.
在△OAB中，∵OA=OB,
∴△OAB是等腰三角形.
又AB⊥CD，∴AE=BE，即CD是AB的垂直平分线.
因此，⊙O关于直线CD对称.
[思考]如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
相等线段： AE=BE
弧：AC=BC,AD=BD
即直径CD平分弦AB，并且平分AC，ACB.
[归纳总结]
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
几何语言：∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,AC=BC,AD=BD.
（二）垂径定理的推论
[思考]分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
是不是是不是
[深入思考]如图，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？
AC=BC,AD=BD吗？如果弦ＡＢ也是直径，上述结论是否成立？
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
[归纳总结]
根据垂径定理与其推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
[思考]你会任选一种情况证明吗？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得AC=BC,AD=BD.
[思考]根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC， D为垂足，与AB交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
∴AB=37，CD=7.23.
∴AD=12AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2
即R2=18.52+(R-7.23)2,解得R≈27.3（m）.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
例1 如图,⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴AD=12AB=12×8=4(cm).
设OC=xcm，则OD=(x-2)cm,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，
解得x=5，即半径OC的长为5cm.
例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC=BD.
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM=BM,CM=DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC=BD.
[归纳总结]
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
【课堂小结】
【课堂训练】
1.判断下列说法的正误.
(1)平分弧的直径必平分弧所对的弦;.
(2)平分弦的直线必垂直弦;
(3)垂直于弦的直径平分这条弦.
(4)平分弦的直径垂直于这条弦.
(5)弦的垂直平分线是圆的直径.
(6)平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦.
(7)在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧.
2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为5cm .
3.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= 16 cm.
4.一弓形弦长为46cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为2cm或12cm .
【布置作业】
【教学反思】
教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.
1．进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2．理解垂径定理的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题
二、教学重难点
重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.
难点：垂径定理的证明,垂径定理的题设与结论的区分.
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
【新知探究】
（一）垂径定理
[探究]剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
[思考]你能证明你的结论吗？
证明：如图,设CD是⊙O的任意一条直径, A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B, 垂足为E.连接OA,OB.
在△OAB中，∵OA=OB,
∴△OAB是等腰三角形.
又AB⊥CD，∴AE=BE，即CD是AB的垂直平分线.
因此，⊙O关于直线CD对称.
[思考]如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
相等线段： AE=BE
弧：AC=BC,AD=BD
即直径CD平分弦AB，并且平分AC，ACB.
[归纳总结]
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
几何语言：∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,AC=BC,AD=BD.
（二）垂径定理的推论
[思考]分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
是不是是不是
[深入思考]如图，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？
AC=BC,AD=BD吗？如果弦ＡＢ也是直径，上述结论是否成立？
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
[归纳总结]
根据垂径定理与其推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
[思考]你会任选一种情况证明吗？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得AC=BC,AD=BD.
[思考]根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC， D为垂足，与AB交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
∴AB=37，CD=7.23.
∴AD=12AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2
即R2=18.52+(R-7.23)2,解得R≈27.3（m）.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
例1 如图,⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴AD=12AB=12×8=4(cm).
设OC=xcm，则OD=(x-2)cm,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，
解得x=5，即半径OC的长为5cm.
例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC=BD.
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM=BM,CM=DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC=BD.
[归纳总结]
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
【课堂小结】
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1.判断下列说法的正误.
(1)平分弧的直径必平分弧所对的弦;.
(2)平分弦的直线必垂直弦;
(3)垂直于弦的直径平分这条弦.
(4)平分弦的直径垂直于这条弦.
(5)弦的垂直平分线是圆的直径.
(6)平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦.
(7)在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧.
2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为5cm .
3.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= 16 cm.
4.一弓形弦长为46cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为2cm或12cm .
【布置作业】
【教学反思】
教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.
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