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福建省德化第一中学2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题
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这是一份福建省德化第一中学2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题，文件包含六上31《紧密联系的工具和技术》pptx、六上31《紧密联系的工具与技术》docx、第1课-紧密联系的工具和技术mp4等3份课件配套教学资源，其中PPT共21页， 欢迎下载使用。
卷面总分：150分 考试时间：120分钟
开始作答前，请务必认真阅读以下注意事项：
1. 交卷前，必须把答案填写在答题卡的相应位置上，不按规定位置作答的答案一律无效.
2. 本次考试为闭卷考试，严禁考生携带相关书籍进入考场，严禁在考场内使用计算器.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
3. 命题“正方形都是菱形”的否定是（ ）
A. 任意一个正方形，它是菱形B. 任意一个正方形，它不是菱形
C. 存在一个正方形，它是菱形D. 存在一个正方形，它不是菱形
4. 集合论是德国数学家康托尔（G. Cantr）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则.对于任意两个有限集合A，B，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A. 16B. 18C. 23D. 28
5. 如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 此函数在定义域中不单调
D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
6. 集合，则集合A的真子集的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
7. 若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
10. 在的条件下，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列选项正确的有（ ）
A. 若，则
B. 已知，，则的取值范围是
C. 函数在上的最大值为4，则实数a的值为或2
D. 已知全集，，则集合
12. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数为奇函数
B. 当时，在上单调递增
C. 若方程有实根，则
D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为，则的值为4048
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若，则______.
14. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是______.
15. 已知是定义在上的偶函数，若，且时，都有，则满足的实数m的取值范围为______.
16. 已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合A的“容量”，记为.若，则______；若，且，则正整数n的值等于______.（第一空2分；第二空3分.）
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）
已知集合，.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）问题：已知______，求实数a的取值范围.
从下面给出的两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.
①；②“”是“”的必要条件.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值之差为，求实数m的值.
19.（本题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，且是减函数.
（Ⅰ）当时，，求函数在上的解析式；
（Ⅱ）求使成立的实数a的取值范围.
20.（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若关于x的不等式的解集为，求的值；
（Ⅱ）当时，解关于x的不等式.
21.（本题满分12分）
培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N.已知向水中每投放1个单位的物质N，则小时后，水中含有物质N的浓度增加，y与t的函数关系可近似地表示为.根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于时，物质N才能有效发挥作用.
（Ⅰ）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；
（Ⅱ）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过，并说明理由.
22.（本题满分12分）
定义：设函数的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，M是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，m是的一个下界.
（Ⅰ）若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数c的取值范围；
（Ⅱ）某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性，
（i）请直接写出函数在与的单调性，不必证明；
（ii）若函数定义域为，m是函数的下界，请利用（i）的结论，求m的最大值.
2023年秋高一年第一次质检数学科试卷参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. B 7. A 8. D
8. 解析：根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即，
则有，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，
若不等式有解，则有，解可得，或，
即实数m的取值范围是.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. BD 10. AD 11. BCD 12. ACD
12. 解析：对于A，因为，所以是奇函数，故A正确；
对于B，因为，，所以，当时，在上不是单调递增，故B错误；
对于C，令，所以，因为，所以，故C正确；
对于D，由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2024个交点关于对称，故，故D正确.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分；第二空3分.）
13. 14. 15. 16. 5；2023
16. 解析：第一空：因为，所以，所以；
第二空：因为，
易知集合A中任意两个元素的和最小值是，最大值是，
且对任意，，都存在，，使得，
所以，由，解得.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 解：（Ⅰ）因为，……2分
所以，……3分
当时，，……4分
所以；……5分
（Ⅱ）选①：由已知，
（i）当时，，解得，……6分
（ii）当时，，解得，……9分
综上，a的取值范围是.……10分
选②：因为“”是“”的必要条件，所以，……6分
（i）时，，解得，……7分
（ii）时，或，解得，或，……9分
综上，a的取值范围是.……10分
说明：第2问，没有讨论的，扣1分；区间端点没有取等号，扣1分；“”写成“”，扣1分；结果没有用区间表示，不扣分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 解：（Ⅰ）函数在上单调递增，……1分
证明如下：
设，且，又，
则，……5分
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增；……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在上单调递增，
此时函数的最大值为，……8分
最小值为，……9分
所以，即，……10分
解得.……12分
说明：第1问，没有指出用“函数在上单调递增”的，暂时不扣分；单调性的定义证明过程不完整的，酌情扣分.
19. 解：（Ⅰ）设，则，所以，……2分
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，……5分
所以函数在上的解析式为；……6分
（Ⅱ）因为是定义在上的奇函数，且是减函数，
所以由，得，……8分
所以，……10分
解得，或，
所以a的取值范围为.……12分
说明：第1问，解析式写成，，三段形式，不扣分；第2问，结果没有用区间表示，不扣分.
20. 解：（Ⅰ）因为关于x的不等式的解集为，
所以关于x的方程的两个根为1和2，……2分
所以，……3分
解得，……4分
所以；……5分
（Ⅱ）由条件可知，，即，……6分
①当时，解得，或，
∴原不等式的解集为，……8分
②当时，解得，
∴原不等式的解集为，……10分
③当时，解得，或，
∴原不等式的解集为.……12分
说明：第2问，一元二次不等式没有因式分解的，不扣分；有分类讨论解不等式，但没有使用“综上…”下结论的，不扣分.
21. 解：（Ⅰ）①当时，由题得，……1分
解得，……2分
②当时，由题得，……3分
解得，……4分
综上，，
所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时；……5分
（Ⅱ）当时，水中含有物质N的浓度为，
则……8分
，……10分
当且仅当时等号成立，……11分
所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为，
所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过.……12分
说明：第2问，没有说明“当且仅当时等号成立”的，暂不扣分.
22. 解：（Ⅰ）依题得，对任意，恒成立，
∴对任意恒成立，……1分
令，显然函数在上单调递减，
∴，……2分
∴，即实数c的取值范围为；……3分
（Ⅱ）（i）函数在为减函数，……4分
在为增函数；……5分
（ii）∵，
由（i）知，在为减函数，在为增函数，
①当，即时，由（i）知为减函数，
∴，
∴，……7分
②当，即，由（i）知为增函数，
∴，
∴，……9分
③当，即，，
当且仅当时等号成立，
∴，……11分
综上所述，.……12分
说明：第1问，结果是“实数c的取值范围为”，扣1分.
卷面总分：150分 考试时间：120分钟
开始作答前，请务必认真阅读以下注意事项：
1. 交卷前，必须把答案填写在答题卡的相应位置上，不按规定位置作答的答案一律无效.
2. 本次考试为闭卷考试，严禁考生携带相关书籍进入考场，严禁在考场内使用计算器.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
3. 命题“正方形都是菱形”的否定是（ ）
A. 任意一个正方形，它是菱形B. 任意一个正方形，它不是菱形
C. 存在一个正方形，它是菱形D. 存在一个正方形，它不是菱形
4. 集合论是德国数学家康托尔（G. Cantr）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则.对于任意两个有限集合A，B，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A. 16B. 18C. 23D. 28
5. 如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 此函数在定义域中不单调
D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
6. 集合，则集合A的真子集的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
7. 若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
10. 在的条件下，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列选项正确的有（ ）
A. 若，则
B. 已知，，则的取值范围是
C. 函数在上的最大值为4，则实数a的值为或2
D. 已知全集，，则集合
12. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数为奇函数
B. 当时，在上单调递增
C. 若方程有实根，则
D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为，则的值为4048
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若，则______.
14. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是______.
15. 已知是定义在上的偶函数，若，且时，都有，则满足的实数m的取值范围为______.
16. 已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合A的“容量”，记为.若，则______；若，且，则正整数n的值等于______.（第一空2分；第二空3分.）
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）
已知集合，.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）问题：已知______，求实数a的取值范围.
从下面给出的两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.
①；②“”是“”的必要条件.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值之差为，求实数m的值.
19.（本题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，且是减函数.
（Ⅰ）当时，，求函数在上的解析式；
（Ⅱ）求使成立的实数a的取值范围.
20.（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若关于x的不等式的解集为，求的值；
（Ⅱ）当时，解关于x的不等式.
21.（本题满分12分）
培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N.已知向水中每投放1个单位的物质N，则小时后，水中含有物质N的浓度增加，y与t的函数关系可近似地表示为.根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于时，物质N才能有效发挥作用.
（Ⅰ）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；
（Ⅱ）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过，并说明理由.
22.（本题满分12分）
定义：设函数的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，M是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，m是的一个下界.
（Ⅰ）若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数c的取值范围；
（Ⅱ）某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性，
（i）请直接写出函数在与的单调性，不必证明；
（ii）若函数定义域为，m是函数的下界，请利用（i）的结论，求m的最大值.
2023年秋高一年第一次质检数学科试卷参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. B 7. A 8. D
8. 解析：根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即，
则有，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，
若不等式有解，则有，解可得，或，
即实数m的取值范围是.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. BD 10. AD 11. BCD 12. ACD
12. 解析：对于A，因为，所以是奇函数，故A正确；
对于B，因为，，所以，当时，在上不是单调递增，故B错误；
对于C，令，所以，因为，所以，故C正确；
对于D，由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2024个交点关于对称，故，故D正确.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分；第二空3分.）
13. 14. 15. 16. 5；2023
16. 解析：第一空：因为，所以，所以；
第二空：因为，
易知集合A中任意两个元素的和最小值是，最大值是，
且对任意，，都存在，，使得，
所以，由，解得.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 解：（Ⅰ）因为，……2分
所以，……3分
当时，，……4分
所以；……5分
（Ⅱ）选①：由已知，
（i）当时，，解得，……6分
（ii）当时，，解得，……9分
综上，a的取值范围是.……10分
选②：因为“”是“”的必要条件，所以，……6分
（i）时，，解得，……7分
（ii）时，或，解得，或，……9分
综上，a的取值范围是.……10分
说明：第2问，没有讨论的，扣1分；区间端点没有取等号，扣1分；“”写成“”，扣1分；结果没有用区间表示，不扣分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 解：（Ⅰ）函数在上单调递增，……1分
证明如下：
设，且，又，
则，……5分
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增；……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在上单调递增，
此时函数的最大值为，……8分
最小值为，……9分
所以，即，……10分
解得.……12分
说明：第1问，没有指出用“函数在上单调递增”的，暂时不扣分；单调性的定义证明过程不完整的，酌情扣分.
19. 解：（Ⅰ）设，则，所以，……2分
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，……5分
所以函数在上的解析式为；……6分
（Ⅱ）因为是定义在上的奇函数，且是减函数，
所以由，得，……8分
所以，……10分
解得，或，
所以a的取值范围为.……12分
说明：第1问，解析式写成，，三段形式，不扣分；第2问，结果没有用区间表示，不扣分.
20. 解：（Ⅰ）因为关于x的不等式的解集为，
所以关于x的方程的两个根为1和2，……2分
所以，……3分
解得，……4分
所以；……5分
（Ⅱ）由条件可知，，即，……6分
①当时，解得，或，
∴原不等式的解集为，……8分
②当时，解得，
∴原不等式的解集为，……10分
③当时，解得，或，
∴原不等式的解集为.……12分
说明：第2问，一元二次不等式没有因式分解的，不扣分；有分类讨论解不等式，但没有使用“综上…”下结论的，不扣分.
21. 解：（Ⅰ）①当时，由题得，……1分
解得，……2分
②当时，由题得，……3分
解得，……4分
综上，，
所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时；……5分
（Ⅱ）当时，水中含有物质N的浓度为，
则……8分
，……10分
当且仅当时等号成立，……11分
所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为，
所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过.……12分
说明：第2问，没有说明“当且仅当时等号成立”的，暂不扣分.
22. 解：（Ⅰ）依题得，对任意，恒成立，
∴对任意恒成立，……1分
令，显然函数在上单调递减，
∴，……2分
∴，即实数c的取值范围为；……3分
（Ⅱ）（i）函数在为减函数，……4分
在为增函数；……5分
（ii）∵，
由（i）知，在为减函数，在为增函数，
①当，即时，由（i）知为减函数，
∴，
∴，……7分
②当，即，由（i）知为增函数，
∴，
∴，……9分
③当，即，，
当且仅当时等号成立，
∴，……11分
综上所述，.……12分
说明：第1问，结果是“实数c的取值范围为”，扣1分.
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