广西2023-2024学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知,,则( )
A.B.
C.D.
2、已知复数z满足,则z等于( )
A.B.C.D.
3、关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.若,则,的夹角是钝角
B. 若,则
C. 若,则
D.空间中任何两个向量都是共面向量
4、直线与直线,则的充要条件是( )
A.3B.-1C.3或-1D. 1或-3
5、已知m,n是不同的直线,,是不同的平面,下列命题中,正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若m,,,,则
D.若,,则
6、已知三边所在直线方程为,,,则AC边上的高所在直线的方程是( )
A.B.
C.D.
7、棱长为2的正方体中,P是中点,则异面直线PD与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8、几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M,N是锐角的一边QA上的两点,试着在边QB上找一点P,使得最大”.如图,其结论是：点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中,给定两点,点P在x轴上移动,当取得最大值时,该圆的方程是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、在平面直角坐标系xOy中,已知圆,直线与圆C相切于点T,直线l与x轴、y轴分别交于点A,B.下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.若P是圆C上的动点,则的最大值是
10、如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是,M为与的交点,若,,,则下列正确的是( )
A.B.
C.的长为D.
11、如图,在四棱锥中,底面ABCD为菱形,,,,侧面PAD为正三角形,则下列说法正确的是( )
A.
B.平面平面ABCD
C.二面角的平面角是
D.三棱锥外接球的表面积为
12、已知与交于A,B两点,M为曲线上的动点,则( )
A.M到直线l距离最小值为
B.
C.存在点M,使得为等边三角形
D.最小值为2
三、填空题
13、直线l过点且与x轴､y轴分别交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,则直线l的方程为__________.
14、已知､是平面内两个互相垂直的单位向量,若满足,则的最大值为___________.
15、在平面直角坐标系中,已知,点M是直线上一动点,则的最大值为__________.
16、已知圆,点,若圆C上任意一点P都满足,则实数a的取值范围为__________.
四、解答题
17、已知圆,直线l过点.
（1）当直线l与圆C相切时,求直线l的斜率;
（2）线段AB的端点B在圆C上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
18、在中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求A;
（2）若的面积为,且,求的周长.
19、如图,在正四棱柱中,,M是的中点.
（1）求证：平面MAC;
（2）若正四棱柱的外接球的表面积是,求三棱锥的体积.
20、甲、乙两位同学进行跳绳比赛,比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛,每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分,跳绳不够200次得0分,两轮结束总得分高的为跳绳王,得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析,已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为,乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为,且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响.
（1）求两轮比赛结束乙得分为1分的概率;
（2）求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率.
21、如图,已知直圆柱的上、下底面圆心分别为P,Q,是圆柱的轴截面,正方形ABCD内接于下底面圆Q,点E是BC中点,,.

（1）求证：平面平面PBC;
（2）若点M为线段PQ上的动点,求直线BM与平面PBC所成角的余弦值的最小值.
22、已知圆,为圆C上一点.
（1）求的取值范围;
（2）圆的圆心为D,与圆C相交于M、N两点,H为圆C上相异于M、N的点,直线HM,HN分别与y轴交于点P、Q,求的最大值.
参考答案
1、答案：C
解析：由题可得.
故选：C.
2、答案：B
解析：.
故选：B.
3、答案：D
解析：对于A,若,夹角为,则成立,A错误;
对于B,若,则,不一定垂直,B错误;
对于C,若,当时,,不一定平行,C错误
对于D,若空间任何两个向量必然共面,D正确.
故选：D.
4、答案：B
解析：由直线与直线平行,
得,即,即或,
当时,,即,,重合,舍去;
当时,,,满足.
综上.
故选：B.
5、答案：D
解析：在A中,若,,则m与n相交、平行或异面,故A错误;
在B中,若,,则,故B错误;
在C中,必须平面内有两条相交直线分别与平面平行,此时两平面才平行,故C错误;
在D中,,时,过n作平面,所以,且,所以,故D正确.
故选：D.
6、答案：A
解析：设则AC边上的高所在直线的斜率为k,,,,
联立,得,
AC边上的高所在直线的方程为.
故选：A.
7、答案：A
解析：连接,取的中点O,连接PO,DO,如图所示,
O,P分别是,的中点,,则是异面直线PD与所成角或其补角.
正方体棱长为2,面对角线长为,由正方体的结构可知,
中,,,则,
同理,在中,,,
由余弦定理可知.
所以异面直线PD与所成角的余弦值是.
8、答案：C
解析：由题意可知,点P为过M,N两点且和x轴相切的圆的切点,线段MN中点坐标为,
又,
所以线段MN的垂直平分线方程为,
所以以MN为弦的圆的圆心在直线上,
故设该圆圆心为,又因为该圆与x轴相切,所以圆的半径,
又,所以,解得或,
当时,是钝角,故舍去.
所以此时圆的方程为.
故选：C.
9、答案：ABC
解析：如图,
因为,
所以圆心到直线的距离等于半径2,
即,解得直线l斜率,所以A正确.
中,令,则,令,则,
,故B正确.
因为点A坐标为,则,所以.
所以选项C正确.
的最大值等于,所以选项D不正确.
故选：ABC.
10、答案：AD
解析：A选项,,A正确,
B选项,,B错误：
C选项,,
则
,
则,C错误：
D选项,对于,
,
故,又,
则,D正确.
故选：AD.
11、答案：ABD
解析：取AD中点E,连接PE,BE,
因为和都是等边三角形,则,,
因为,PE,平面PEB,所以平面PEB,
因为平面PEB,所以,故A正确;
是二面角的平面角,,又,
所以,即,所以二面角是直二面角,
所以平面平面ABCD,故B正确;
因为四边形ABCD为菱形,所以,
因为,平面PEB,所以,平面PEB,
因为平面PEB,所以,所以是二面角的平面角,故C错误;
因为,AD,平面ABD,所以平面ABD,同理平面PAD,
设M,N分别是和的中心,如图,作,,NO与MO交于点O,
则平面PAD,平面ABD,所以O是三棱锥外接球的外心,
由于,ONEM是正方形,,而,
所以即为外接球半径,
三棱锥外接球的表面积为,故D正确.
故选：ABD.
12、答案：AB
解析：设,
对A,则点M到直线l的距离,
当且仅当,即时等号成立,故A正确;
对B,D,联立有,解得或,
则不妨假设,,,
则,
令,则,
则,
当,即,即或（舍去）时取等,故B正确.,D不正确,最小值为1.
对C,若要为等边三角形,则首先点M为线段AB的垂直平分线和曲线的交点,则垂直平分线的所在直线的方程为,
将其与曲线联立得
解得或（舍去）,
此时,而,
则,
则不存在点M,使得为等边三角形,故错误.
故选：AB.
13、答案：
解析：设点､,
由中点坐标公式得：,
解得：,,
由直线l过点､,
直线l的方程为：,
即.
故答案为：.
14、答案：
解析：,
,即,.
故答案为：.
15、答案：
解析：设点B关于l的对称点,则,
则,
当且仅当M,A,三点共线时等号成立.
故答案为：
16、答案：
解析：设点,
则
即：,则,
设,即,即圆C上的点P到点B的距离的最小值大于,
又圆心,半径,则圆C上的点到B的距离的最小值为,
故只需,即,
解得：
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）已知C的圆心是,半径是,
设直线斜率为k,
则直线方程是,即,
则圆心到直线距离为,
解得直线的斜率.
（2）设点,
则由点M是AB的中点得,
所以①
因为B在圆C上运动,所以②
①代入②得,
化简得点M的轨迹方程是.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由,可得,
解得或（舍去）,
又,
.
（2）,
,
由得,
又由余弦定理得,,
解得,
的周长为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：证明：（1）连接BD交AC于O,连接MO;
M,O分别是,的中点,
平面MAC,平面MAC,
平面MAC.
（2）设,正四棱柱的外接球的半径为,
因为正四棱柱的外接球的表面积,解得,
由题意为正四棱柱的外接球的直径,
由,得,
解得或（舍）,即,
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）设“甲第i轮得一分”,设“乙第i轮得一分”,
设“两轮比赛甲得i分”,设“两轮比赛乙得i分”,
所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为;
（2）设“不进行加赛甲就获得跳绳王”.
,
所以不进行加赛甲就获得跳绳王的概率为.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：证明：（1）BC的中点E,Q为AC中点,,
又,可得,
又直圆柱的上、下底面圆心分别为P,Q,平面ABCD
平面ABCD,.
且,QE,平面PQE,平面PQE;
又因为平面PBC,所以平面平面PBC.
（2）以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,过D作z轴,
建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,
所以,,
设,
;
设平面PBC的法向量为,则,
取,可得,所以,
设直线BM与平面PBC所成角为,
,
令,则,,时,,
,
22、答案：（1）
（2）4
解析：（1）可看做动点与定点确定的直线的斜率,
此时,
过D点的直线可设为,即,
圆C半径为2,当C点到直线的距离为2时,直线与圆C相切,,
解得.
则即的取值范围为;
（2）由对称性,可设,,
设且,则,
直线HM方程为：,
直线HN方程为：,
分别令,可得,,
,
观察易发现,P,Q同在C的上侧或下侧,
则,同时,
或,同时,
则
,
于是,,
所以,当时,的取到最大值4.