广东省四校2023-2024学年高一数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

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高一数学
说明：本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.下列四个写法：①；②；③⫋；④.其中正确写法的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下面命题正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3.已知集合，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
4.命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A. B.
C. D.
6.设正实数满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.2 C.1 D.3
7.甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）.
A.甲和丁 B.乙和丙
C.甲和丙 D.乙和丁
8.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是（ ）
A.函数的最小值为2
B.若，则
C.函数的值域为
D.函数与函数为同一个函数
10.给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.下列四个命题中正确的是（ ）
A.由所确定的实数集合为
B.“是方程的实数根”的充要条件是“”
C.若，且，则中的最大值是
D.中含有三个元素
12.已知二次函数为常数的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A.
B.当时，函数的最大值为
C.关于的不等式的解为或
D.若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
三､填空题：本题共4小题，第13-15题每小题5分，第16题第一空2分第二空3分
13.已知函数，则函数的值为__________.
14.已知集合，若，则__________.
15.高一某班共有54人，每名学生要从物理､化学､生物､历史､地理､政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理､化学､生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有__________人.
16.一位少年能将圆周率准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.记圆周率小数点后第位上的数字为，则是的函数，设.则（1）的值域为__________；（2）函数与函数的交点有__________个.
四､解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）已知.求的最小值.
（2）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？最低为多少？
18.（12分）设集合，集合.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（12分）设命题：实数满足；命题：实数满足.
（1）若，且都为真，求实数的取值范围；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20.（12分）已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义法证明；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
21.（12分）已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值.
22.（12分）已知函数.
（1）若的定义域为，求实数的值；
（2）若的定义域为，求实数的取值范围.
2023—2024学年第一学期河源高级中学､珠海市实验中学､中山市实验中学､珠海市鸿鹤中学四校联考试卷
高一数学
参考答案：
一､单项选择题：
二､多项选择题：
三､填空题：
13.1 14.-1 15.9 16.；2
详细参考答案：
1.【答案】A
【详解】解：对于①，，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，，故③错误；
对于④，为数集，为点集，故④错误，
所以正确写法的个数为1个.
故选：A.
2.【答案】C
【详解】对于，若，则，A错误；
对于，若，则，错误；
对于C，若，则，
又，即，C正确；
对于D，若，则，此时错误.
故选：C.
3.【答案】D
【详解】集合
则
故选：D
4.【答案】C
【详解】命题“”为真命题，则对恒成立，所以，故，
所以命题“”为真命题的必要不充分需要满足是其的真子集即可，由于是的真子集，故符合.
故选：C
5.【答案】B
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：B.
6.【答案】C
【详解】因为正实数满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为1.
故选：C.
7.【答案】C
【详解】：“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”.
甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.
若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误；
若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立
所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖.
故选：C
8.【答案】B
【详解】解不等式，得或
解方程，得
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
综上，可知的取值范围为
故选：B
9.【答案】BC
【详解】A：，
若，显然该方程无实数解，
故，
所以，
因此最小值不是2，所以本选项不正确；
B：因为，
所以，
即，因此本选项正确；
C：因为，
所以，因此函数的值域为，所以本选项正确；
D：由可知：，所以函数的定义域为，
由函数可知，或，
所以函数的定义域为或，
因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确，
故选：BC
10.【答案】AB
【详解】解：由于命题为假命题，所以命题的否定：是真命题.
当时，则，令，所以选项A正确；
当时，则，令，所以选项B正确；
当时，则不成立，所以选项C错误；
当时，则不成立，所以选项D错误.
故选：
11.【答案】ABC
【详解】对于选项：讨论的符号并列出以下表格：
由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A选项正确.
对于B选项：当时，1为方程的一个根，故充分；
当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；
对于C选项：因为，所以，
根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
因为，所以；同理，
综上所述，上述四个式子中最大值为.
对于选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有，由此可列出以下表格：
因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D选项错误.故选：ABC.
12.【答案】ACD
【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故，
对称轴为，故，
图象与轴交点在轴正半轴，故，
所以，故，A正确；
B选项，因为，故，
因为，所以，
当时，随着的增大而减小，
所以时，取得最大值，最大值为错误；
C选项，因为，所以，
，
故不等式变形为，
因为，解得：或，故C正确；
选项，，当时，取得最小值，最小值为，
，当时，取得最小值，最小值为，
所以，即，所以，
即，故D正确.
故选：ACD
13.【答案】1
【详解】解：因为，令，解得，
所以.
故答案为：1
14.【答案】-1
【详解】集合，
解得，
则.
故答案为：-1.
15.【答案】9
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.
要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.
故答案为：9.
16.【答案】；2
【详解】（1）根据函数的定义可知，每一个都对应圆周率上的唯一的数字，
即对任意的的值总为，
所以值域为；
（2）若有交点，则，可得或2或3，
由于，
当时，，
当时，，
当时，，而，
故函数与函数的交点有2个.
故答案为：.
17.【答案】（1）2（2）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.
（1）解：
当且仅当时取等号，故的最小值为2
（2）解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.
18.【答案】（1）（2）或.
【详解】（1）由题意得.
即
化简得：
解得：
检验：当，满足
当，满足
（2），故
①当为空集，则，即，得或，
②当为单元素集，则，即，得
当，舍；当符合.
③当为双元素集，则则有，无解
综上：实数的取值范围为或
19.【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由不等式，可得，
当时，解得，即为真时，，
由，可得，解得，即为真时，，
若都为真时，实数的取值范围是
（2）由不等式，可得，
因为，所以，即为真时，不等式的解集为，
又由不等式，可得，即为真时，不等式的解集为，
设，
因为是的充分不必要条件，可得集合是的真子集，则，解得，
所以实数的取值范围是.
20.【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析（2）.
【详解】（1）解：在区间上单调递增，
设，且，
则，
由，得，又由，得，
于是，即，
所以在区间上单调递增；
（2）由（1）知在区间上单调递增，
则当时，有最小值为1，
因为对恒成立，且，
所以，所以的取值范围为.
21.【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设，
则，
因为，
所以，
故，解得：，
又
所以，
所以；
（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为.
①当时，，
所以此时函数的最大值为；
②当时，，
所以此时函数的最大值为；
综上：.
22.【答案】（1）2 （2）
【详解】（1）命题等价于不等式的解集为，
显然，如图.
且是方程的两根，
解得：.
（2）①若，即，
当时，，定义域为，满足题意；
当时，，定义域不为，不满足题意；
②若为二次函数，
定义域为对恒成立，
；1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
C
B
C
C
B
9
10
11
12
BC
AB
ABC
ACD
+
+
1
1
2
+
-
1
-1
0
-
+
-1
1
0
-
-
-1
-1
-2
1
2
3
6
2
1
0
-3