苏科版数学八年级下册期末复习专题训练专题10 二次根式的加减（含解析）

这是一份苏科版数学八年级下册期末复习专题训练专题10 二次根式的加减（含解析），共31页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。

1．（2022秋•如东县期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答．
【解答】解：A、2，不能与合并，故本选项错误；
B、2，能与合并，故本选项正确；
C、2，不能与合并，故本选项错误；
D、2，不能与合并，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
2．（2022春•灌云县期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】利用二次根式的加法的法则，二次根式的乘除法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2022春•铜山区期末）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的加法的法则，二次根式的乘法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2022春•东海县期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
【分析】根据二次根式的相应的运算法则进行求解，再对比题目中的运算顺序，可以发现哪位同学做错了．
【解答】解：

＝6
＝5，
故运算错误的是乙，故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2022秋•如东县期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为（ ）
A．5B．C．6D．
【分析】设两个正方形的边长是x、y（x＜y），得出方程x2＝6，y2＝24，求出x，y，代入阴影部分的面积是（y﹣x）x求出即可．
【解答】解：设两个正方形的边长是x、y（x＜y），
则x2＝6，y2＝24，
x，y＝2，
则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（2）6，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力．
6．（2022春•南京期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．22
C．D．
【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、2，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加法、减法、乘法、除法法则是解题的关键．
7．（2022春•海陵区校级期末）若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【分析】由x＝a，代数式的值为﹣1，可得（a+1）20，即得a＝﹣1，n＝2，即可得到答案．
【解答】解：∵x＝a，代数式的值为﹣1，
∴a2+2a1，
∴（a+1）20，
∴a＝﹣1，n＝2，
∴当x＝﹣a时，

＝（﹣a）2﹣2a
＝12+2+0
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是根据非负数的性质求出a、n的值．
8．（2022春•丹阳市期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用分式的基本性质，合并同类项，二次根式的除法法则计算即可求解．
【解答】解：A、（c≠0），不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、3，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
二．填空题（共12小题）
9．（2022春•宝应县期末）计算： 4 ．
【分析】用平方差公式和（）2＝a（a≥0）计算即可．
【解答】解：原式＝（）2﹣（）2
＝11﹣7
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式和（）2＝a（a≥0）．
10．（2022春•丹阳市期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ﹣4 ．
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：∵2，
根据题意得：x+6＝2，
解得：x＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
11．（2022春•江宁区期末）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和18cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 （612） cm2．
【分析】根据题意列代数式，再利用二次根式的运算求解．
【解答】解：根据题意可得：
12
＝612．
故答案为：612．
【点评】本题考查列二次根式的应用，正确使用公式是解题得关键．
12．（2022春•泗阳县期末）请写出满足不等式x7的最小整数解 6 ．
【分析】直接解不等式，再估算无理数得出答案．
【解答】解：不等式x7的解集为：x＞7，
∵12，
∴5＜76，
∴不等式x7的最小整数解为：6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式以及二次根式的应用，正确估算无理数大小是解题关键．
13．（2022春•宿豫区期末）计算的结果为 ．
【分析】先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
2
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2022春•润州区校级期末）写两个不同的a的值 16或7（答案不唯一） ，使得与是同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答．
【解答】解：由题意得：
当a﹣4＝3时，
∴a＝7，
当a﹣4＝12时，
∴a＝16，
∴当a＝16或7时，与是同类二次根式，
故答案为：16或7（答案不唯一）．
【点评】本题考查了同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
15．（2022春•灌云县期末）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x＝ 2 ．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：x+3＝1+2x，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
16．（2022春•兴化市期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 3 ．
【分析】根据两个二次根式是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣7＝2，
解得：a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键．
17．（2022春•泰州期末）若与最简二次根式能合并成一项，则m＝ ﹣4 ．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：2，
∵与最简二次根式能合并成一项，
∴5＝1﹣m，
∴m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先将化简成最简二次根式是解题的关键．
18．（2022春•邗江区期末）若，当a，m，n均为正整数时，则a的值为 9或6 ．
【分析】先利用完全平方公式将展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【解答】解：∵，
∴a＝m2+2n2，2mn＝4，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，
当m＝1，n＝2时，a＝12+2×22＝9；
当m＝2，n＝1时，a＝22+2×12＝6，
故答案为：9或6．
【点评】本题考查完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用是解答的关键．
19．（2022春•江都区期末）已知实数a、b满足，则的值为 ．
【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性得出a﹣3＝0且b﹣1＝0，求出a、b的值，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵实数a、b满足，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，二次根式的化简求值等知识点，能求出a、b的值是解此题的关键．
20．（2022春•新吴区期末）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S，其中a、b、c为三角形的三条边，c为最长边．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则此三角形面积为 ．
【分析】直接代入公式，再利用二次根式的运算进行化简．
【解答】解：a＝2，b＝3，c＝4；
∴S．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2022秋•如皋市校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式

．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握绝对值，零指数幂，负整数指数幂的性质，以及二次根式混合运算法则是解题关键．
22．（2022春•宝应县期末）化简或计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先用乘法分配律，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先算乘方，把除化为乘，再约分即可．
【解答】解：（1）原式＝233
＝1233
＝12；
（2）原式•
b．
【点评】本题考查二次根式和分式的运算，解题的关键是掌握二次根式，分式相关运算的法则．
23．（2022春•灌云县期末）像，
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，1与1，与23等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：① ；② ；
（2）计算：．
【分析】（1）根据阅读材料，分别分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再合并即可．
【解答】解：（1）①，，
故答案为：，；
（2）原式1
1．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
24．（2022春•新吴区期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：4+21+3+212+2（）2＝（1）2．这样小明就找到了一种把类似4+2的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）14﹣614﹣2×3（ 3 ）2+（ ）2﹣2×3（ 3 ）2；
（2）化简：．（n为正整数）
【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）先化简每个根式，再合并即可．
【解答】解：（1）14﹣614﹣2×332+（）2﹣2×3（3）2；
故答案为：3，，3；
（2）原式＝（1）+（）+（）++（）

1．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则．
25．（2022春•南京期末）像（）（）＝3、•a（a≥0）、（1）（1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、1与1、23与23等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）计算：① ，
② ；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，则a＝ ﹣1 ，b＝ 1 ．
【分析】（1）①利用分母有理化进行计算即可解答，
②利用分母有理化进行计算即可解答；
（2）利用分母有理化先化简每一个式子，然后再进行计算即可解答；
（3）利用分母有理化进行计算，可得（b﹣a）（2a+b）＝21，从而可得b﹣a＝2，2a+b＝﹣1，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）①，
②，
故答案为：①，
②；
（2）

＝2（1）
＝21
＝1；
（3）∵，
∴21，
∴2aab+b＝21，
∴（b﹣a）（2a+b）＝21，
∴b﹣a＝2，2a+b＝﹣1，
∴a＝﹣1，b＝1，
故答案为：﹣1，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
26．（2022春•秦淮区期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．
例如：与、与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；
（1）请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）；
（2）利用有理化因式比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1）仿照例题，利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）仿照例题，利用分母有理化，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2），
理由：4
，
4
，
∵44，
∴，
即．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
27．（2022•南京自主招生）已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．
【分析】根据得1﹣2x，则（1﹣2x）2＝1﹣4x+4x2＝2022，4x2﹣4x＝2021，将原式化为[（4x3﹣4x2）+（4x2﹣4x）﹣2021x﹣2022]3，再整体代入即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴（1﹣2x）2＝1﹣4x+4x2＝2022，
∴4x2﹣4x＝2021，
∴原式＝[（4x3﹣4x2）+（4x2﹣4x）﹣2021x﹣2022]3
＝（2021x+2021﹣2021x﹣2022）3
＝（﹣1）3
＝﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键．
28．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根据得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
（1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值；
（2）已知，求代数式x3+2x2的值．
【分析】（1）根据x3求出x+3，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；
（2）根据x求出2x+1，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x3，
∴x+3，
两边平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；
（2）∵x，
∴2x1，
∴2x+1，
两边平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．
29．（2022春•连云港期末）材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 （答案不唯一） ，的有理化因式为 （答案不唯一） ；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）当2≤a≤4时，求代数式的最大值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义进行求解即可；
（2）把分母进行有理化运算，从而可求解；
（3）逆用分母有理化的运算，从而可求解．
【解答】解：（1）的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）
...
；
（3）


，
∵2≤a≤4，
∴要使代数式有最大值，则a＝2，
∴

＝2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
30．（2023春•惠山区校级期中）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
（1）①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
（2）若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现 若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则k＝2n或n2（n≥0） ；
（3）①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为 4 ；
②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为 8 ；
③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为，则m＝ 11 ．
【分析】本题是新定义题，通过操作、类比寻找规律，从而解决问题．
（1）根据定义，“奇异矩形”必须满足长是宽的倍，依此规律可画出图形；
（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应20、21、22、…或需要n2个基本奇异矩形，
（3）由勾股定理可知：奇异矩形的宽、长、对角线之比为1：，由此规律可解决问题．
【解答】解：如图①②，相关数据已标出，
图①中，长为2，宽为2，
长：宽＝2：2：1，
符合奇异矩形的条件，
图②中，长为4，宽为2，
长：宽＝4：2：1，
符合奇异矩形的条件．
（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应20、21、22、…或需要n2个基本奇异矩形，
故答案为：若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则k＝2n或n2（n≥0），
（3）①若用16个奇异矩形组成奇异矩形，
则长＝4，宽＝4，此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理，4，
故答案为：对角线为4，
②若用128个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长＝16，宽＝8，
此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理：8，
故答案为：8；
③根据规律可知：2m个基本矩形拼成的奇异矩形，长为（）m+1，宽为（）m，则对角线为（）m，
∴（）m32，
∴m＝11，
故答案为：11．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，寻找规律的应用，主要考查了学生的变换能力和动手画图操作能力．