苏科版数学八年级下册期末复习专题训练专题09 二次根式的乘除（含解析）

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1．（2022秋•南通期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求解．
【解答】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.是最简二次根式，符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D． ，故不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的定义．
2．（2022秋•徐汇区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
【解答】解：因为：A、；
B、2；
D、|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
3．（2022秋•如皋市校级期末）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A．，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．，被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． ，被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法必须满足两条，就是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．（2022春•宜兴市期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A．（）2＝3，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．22，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
5．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知1＜p＜2，化简（）2＝（ ）
A．1B．3C．3﹣2pD．1﹣2p
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵1＜p＜2，
∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，
∴原式＝|1﹣p|+2﹣p
＝p﹣1+2﹣p
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
6．（2022春•东海县期末）下列关于的表述错误的是（ ）
A．它是最简二次根式B．它是无理数
C．它就是D．它大于5
【分析】根据最简二次根式、无理数的定义，估算无理数的大小，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是无理数，故B不符合题意；
C、就是2，故C不符合题意；
D、∵（2）2＝24，52＝25，
∴25，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，无理数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
7．（2022春•江阴市期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项，原式，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝|a|，故该选项不符合题意；
D选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
8．（2022春•靖江市校级期末）我们把形如ab（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如31是型无理数，则（）2是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【分析】根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式＝2+210
＝2×212
＝412，
它属于型无理数，
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
9．（2023•鼓楼区一模）计算的结果是 2 ．
【分析】根据二次根式乘法法则计算．
【解答】解：


＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，灵活转化是解题的关键．
10．（2023春•栖霞区校级月考）计算的结果是 2 ．
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式

＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．
11．（2022秋•常德期末）使式子有意义的x的取值范围是 x＞4 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：使式子有意义，
则x﹣4＞0，
解得：x＞4．
故答案为：x＞4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式定义是解题关键．
12．（2023•沭阳县模拟）使得有意义的x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
13．（2022春•江宁区期末）计算：（）2＝ 9 ； 9 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：（）2＝9，
9，
故答案为：9，9．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题．
14．（2022春•江阴市期末）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是 ．
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．
【解答】解：2；
故答案为：．
【点评】考查了正确选择二次根式，使它们的积是有理数是解答问题的关键．
15．（2022春•南京期末）计算：（）2＝ 2 ； 2 ．
【分析】利用二次根式的乘法的法则及化简的法则进行求解即可．
【解答】解：（）22；
．
故答案为：2，2．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（2023春•海安市月考）计算： 4a ．
【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定a的取值范围，再根据二次根式的性质化简．
【解答】解：∵2a≥0，
∴a≥0
∴原式|4a|＝4a，
故答案为：4a．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式的化简是解题的关键．
17．（2023•天宁区校级模拟）若（2）（2+m）的积是有理数，则无理数m的值为 ．
【分析】根据题意，结合平方差公式特征确定出无理数m的值即可．
【解答】解：（2）（2）
＝22﹣（）2
＝4﹣3
＝1，
则（2）（2+m）的积是有理数时，无理数m的值为．
故答案为：．
【点评】此题考查了分母有理化，以及无理数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
18．（2022秋•姑苏区校级期中） 2 ．
【分析】利用二次根式的性质进行乘除运算．
【解答】解：
＝3
＝3×2
＝6
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则和分母有理化．
三．解答题（共9小题）
19．（2022春•宜兴市校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，再进行二次根式的乘法运算即可；
（2）先通分，再把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）

＝﹣4；
（2）


．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
20．（2022春•黄冈期中）已知等式成立，化简|x﹣6|的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再将x代入化简即可求值．
【解答】解：由题意得，，
∴3＜x≤5，
∴|x﹣6|
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键．
21．（2022春•亭湖区校级月考）若实数p在数轴上的位置如图所示，化简下列式子：（）2
【分析】直接利用数轴得出p的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：2＜p＜3，
则原式4﹣p
＝3﹣p+4﹣p
＝7﹣2p．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴等知识，正确化简二次根式是解题关键．
22．（2020秋•高邑县期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（1）（1）＝1，
（）（）＝1，
（）（）＝1，
（）（）＝1……
（1）观察以上规律，请写出第n个等式： （）（）＝1 （n为正整数）．
（2）利用上面的规律，计算：
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用得出的规律计算即可求出值；
（3）利用得出的规律比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：第n个等式为（）（）＝1；
故答案为：（）（）＝1；
（2）原式11＝10﹣1＝9；
（3），，
∵，
∴．
【点评】此题考查了分母有理化，实数比较大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2023•阜阳模拟）观察下列各式及其验算过程：
2，验证：2；
3，验证：3．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【分析】（1）根据材料中的方法即可求解．，将左右两边按照二次根式的性质计算即可验证；
（2）由（1）中的式子可得规律：．
【解答】解：（1）∵2 ，3 ，
∴4 4 ，
验证：，正确；
（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴，
验证：，正确．
【点评】本题考查算术平方根以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键．
24．（2023春•海淀区校级期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记，（其中a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“和谐数对”．例如：（4，1）的一对“和谐数对”为（，1）和（1，）．
（1）数对（16，5）的一对“和谐数对”是 （，）和（，） ；
（2）若数对（9，b）的一对“和谐数对”相同，则b的值为 ；
（3）若数对（a，b）的一个“和谐数对”是（2，1），直接写出ab的值 或4 ．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论；
（4）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
【解答】解：（1）∵m，n，
∴数对（16，5）的一对“和谐数对”是（，）和（，）．
故答案为：（，）和（，）；
（2）∵数对（9，b）的一对“和谐数对”相同，
∴
∴m．
故答案为：；
（3）∵数对（a，b）的一个“和谐数对”是（2，1），
∴或，
解得或，
∴xy或4．
故答案为：或4．
【点评】此题主要考查了分母有理化，涉及到新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
25．（2023春•连江县期中）观察下列等式：
2；3；4；5；……
（1）请你按上述规律写出第5个等式： 6 ；
（2）用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明．
【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解；
（2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n个等式：n+1．
【解答】解：（1）∵2；3；4；5；……
∴第5个等式：6，
故答案为：6；
（2）第n个等式：n+1，
证明：


＝|n+1|，
∵n为正整数，
∴n+1．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键．
26．（2021秋•金牛区校级月考）已知x，y．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
【分析】（1）利用分母有理化化简x和y，并将所求式变形后代入可答案；
（2）根据无理数的估算可知0＜21，3＜24，可得a和b的值，代入所求式可得答案．
【解答】解：（1）∵x2，y2，
∴x2+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣3xy
＝（22）2﹣3（2）（2）
＝16﹣3
＝13；
（2）∵12，
∴0＜21，3＜24，
∴a＝0，b＝231，
∴5a2021+（x﹣b）2﹣y
＝5×0+（21）2﹣（2）
＝（3﹣2）2﹣2
＝9﹣1212﹣2
＝19﹣13．
【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本题的关键．
27．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：
1；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ；② ；
（2）应用：求的值；
（3）拓广： ﹣1 ．
【分析】（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案．
【解答】解：（1）①；
②；
故答案为：；；
（2）
1
1；
（3）



＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题关键．