【突破压轴冲刺名校】 压轴专题10 解析几何综合问题小题综合 2024届新高考数学二轮复习尖子生30题难题突破（新高考专用）

这是一份【突破压轴冲刺名校】 压轴专题10 解析几何综合问题小题综合 2024届新高考数学二轮复习尖子生30题难题突破（新高考专用），共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

2024届新高考数学复习尖子生30题难题破（新高考专用）
一、单选题
1．（2023·江苏·高三专题练习）已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】容易知道，设：，：，求出，两点坐标，则，设与的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得：，，可知，再利用基本不等式求值.
【详解】由已知得、，设椭圆上动点，
则利用两点连线的斜率公式可知，，
设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，
令得，，即，，则
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得：，，
又，
，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查椭圆的基本性质，解题的关键是要熟记椭圆的基本性质：若、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，则直线与直线的斜率之积为定值，即，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.
2．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.
【详解】由题意如图所示：
由双曲线，知，
所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，
由题知的内切圆的半径相等，
且，的内切圆圆心
的连线垂直于轴于点，
设为，在中，由等面积法得：
由双曲线的定义可知：
由，所以，
所以，
解得：，
因为为的的角平分线，
所以一定在上，即轴上，令圆半径为，
在中，由等面积法得：
，
又
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
故选：A.
3．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知椭圆C：=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点.设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得时，取得最小值，根据离心率定义可得结果.
【详解】A(-a，0)，B(a，0)，设，则，而，则，
又，
令，则，
所以,
故，即，从而.
故选：A.
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
4．（2023·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1=2r2，则直线l的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内心D，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则C、E横坐标相等，根据外接圆的性质及双曲线的定义求得的横坐标，可得CD⊥x轴，设直线的倾斜角为θ，∠OF2D=，∠CF2O=90°﹣，结合r1=2r2，分析运算即可得出答案.
【详解】解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，
则C、E横坐标相等，则|AM|=|AN|，|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|，
由|AF1|﹣|AF2|=2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）=2a，
得|MF1|﹣|NF2|=2a，即|F1E|﹣|F2E|=2a，
记C的横坐标为x0，则E（x0，0），
于是，得x0=a，
同理△BF1F2的内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，
设直线的倾斜角为θ，则∠OF2D=，∠CF2O=90°﹣，
在△CEF2中，tan∠CF2O=tan（90°﹣）=，
在△DEF2中，tan∠DF2O=tan，
由r1=2r2，可得2tan=tan（90°﹣）= ，解得tan，
则直线的斜率为tanθ==2.
故选：D.
5．（2023·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）已知双曲线C；的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，，得到，，在Rt△AOB中，，用正切的二倍角公式列出方程，求出，从而求出离心率.
【详解】因为，画出示意图如图，设，因为sin∠AFO，
所以，
所以，
所以.
又，
所以，
所以，
所以.
又因为，
所以.
在Rt△AOB中，，
所以，
化简得：，
所以
故选：D
【点睛】圆锥曲线离心率问题，要能结合题目信息列出关于的齐次方程，求解出离心率，往往会和直线方程，向量等知识相结合.
6．（2023秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为.若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先判断直线的斜率存在，然后设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长求得直线的方程与倾斜角，求得点、点的坐标，进而求得.
【详解】抛物线，，焦点，准线.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
由解得，则不符合题意，所以直线的斜率存在.
设，
由消去并化简得①，
，
设，则，
则，，
不妨设，在第一象限，则直线，倾斜角为.
所以，
①式为，即，解得，
，
，
所以，
则，所以.
由于，所以.
所以.
故选：D
【点睛】求解直线和抛物线相交所得弦长问题，一定要注意的是判断直线的斜率是否存在.如果直线过抛物线的焦点，则可用来进行求解，其它情况用来进行求解.
7．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，故，
又，则，
由余弦定理知：，
所以，而，
因为的内切圆的半径，故，
所以，则，
由，即，
所以，整理得且，
所以，
，当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为.
故选：B
8．（2023秋·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知直线经过抛物线的焦点且与交于两点，设线段的中点为，过作与轴垂直的直线与抛物线的准线交于点，设直线的斜率分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】设为，，联立方程，得，，化简得计算即可.
【详解】由题知，抛物线，开口向上，
所以焦点为，准线为，
设直线为，点，
联立方程，化简得，
所以，
，
因为线段的中点为，过作与轴垂直的直线与抛物线的准线交于点，
所以点为，
因为直线的斜率分别为，
所以，
所以
，
所以，
当时，取最小值2，
所以的最小值为2.
故选：C
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
9．（2023·江苏·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.
【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，
∴，设切线为，切线为，
∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.
10．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
二、多选题
11．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，若的最小值为1，点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为
C．点在抛物线上，且满足，则
D．过作两条直线分别交抛物线（异于点）于两点，若点到距离均为，则直线的方程为
【答案】ACD
【分析】对于A：由焦半径公式求出,即可求出C的方程；对于B：设，表示出，利用基本不等式求出的最小值为；
对于C：利用几何法求出直线PQ的斜率，得到直线PQ的方程，与抛物线联立后，利用“设而不求法”求出；对于D：设，证明出、满足方程，即可判断.
【详解】对于A：设,则,当且仅当时取等号,故,故,故C的方程为,故A正确；
对于B：由C的方程为可得：.
设.由抛物线定义可得：.而，
所以.
当时，；
当时，（当且仅当，即时等号成立.）
所以的最小值为.故B错误；
于C：不妨设PQ的斜率为正，如图示：分别过P、Q作PC,QB垂直准线于C、B, 过Q作于D.
由抛物线定义可得：.
因为，不妨设，则.
所以在直角三角形中，.由勾股定理得：.
所以直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为.
与抛物线联立，消去x得：，即.
由焦点弦的弦长公式可得：.故C正确；
对于D：设，则直线于是，整理得：.又，故有，即,故满足方程.
同理可得：也满足方程,所以直线MN的方程为.故D正确.
故选：ACD
【点睛】解析几何简化运算的常见方法：
（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；
（3）巧用定义，简化运算.
12．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（ ）
A．的最小值为4
B．当时，
C．四边形面积的最大值为16
D．为定值
【答案】ABD
【分析】当为中点时最小，即可求出，从而判断A；设到，的距离分别为，，则，求出，即可得到，从而求出，即可判断B；根据利用基本不等式求出四边形面积的最大值，即可判断C；分别取，的中点，，根据数量积的运算律求出的值，即可判断D.
【详解】解：当为中点时最小，，，故A正确；
设到，的距离分别为，，，∴，
又，∴，，故B正确；
因为，所以，则，当且仅当时取等号，
所以
，故C错误.
分别取，的中点，，
则
为定值，故D正确.
故选：ABD.
13．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知经过点的圆C的圆心坐标为 (t为整数)，且与直线l： 相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆C的标准方程为
B．若，则实数a的值为
C．若，则直线m的方程为或
D．弦AB的中点M的轨迹方程为
【答案】BC
【分析】对于A，设圆C的半径为r，由题意得出圆C的方程，即可根据已知点是圆C上的点，且圆C与直线l： 相切，列方程组解出t，r的值，即可得出圆C的标准方程；
对于B，根据已知与得出线段AB为圆C的直径，即可根据直线m与圆C相交于A、B两点，得出圆心C在直线m上，代入求解即可得出a的值；
对于C，利用点到直线距离公式得出圆心C到直线m的距离d的式子，根据弦长结合勾股定理得出d的值，即可列式得出a，即可得出直线m的方程；
对于D，转化直线m的方程得出直线m过定点，根据圆的性质可得，即可根据圆的性质得出点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，即可得出该圆的方程，注意此方程是有范围的，根据两圆的交点坐标得出范围，即可判断.
【详解】对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为(t为整数)，
根据点是圆C上的点，且圆C与直线l： 相切，
得，解得，或（舍去），
则圆C的标准方程为，故A错误；
对于B，由选项A知圆C的标准方程为，圆心，
点在圆C上，且，
线段AB为圆C的直径，
直线m：与圆C相交于A、B两点，
圆心在直线m上，
，解得，故B正确；
对于C，由选项A知圆C的半径为2，圆心，
则圆心C到直线m的距离，
，即，解得，
，整理得，解得或，
则直线m的方程为或，故C正确；
对于D，直线m的方程可化为，过定点，
由圆的性质可得，
点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，
则此圆圆心为线段CN的中点，其坐标为，半径为，
则该圆的方程为，
由，得两圆的交点坐标为与，
故弦AB的中点M的轨迹方程为，，故D错误；
故选：BC.
14．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（ ）
A．直线AB过定点(－1，2)B．MN的最小值为
C．∠MPN为锐角D．最小值为－1
【答案】ABD
【分析】对A：由写出切线方程，将代入可得直线方程，整理可得恒过定点；对B：联立直线与抛物线方程得，，求出M，N的横坐标，求的最小值即可；对C：将化为判断正负即可；对D： 将视为关于的函数求最小值；
【详解】
设，
由得，所以处切线斜率 ，
所以切线的方程为：，
将代入得，
整理得切线的方程为：，同理切线的方程为：，
将代入切线，方程得， ，
所以直线，即，
将代入得，
所以直线AB过定点(－1,2)，故A正确；
将直线的方程代入 得，
由直线AB过抛物线内定点(－1,2)知直线一定与抛物线有两个交点，
所以，
在直线的方程中令得的横坐标，故， 同理的横坐标，，
所以，
当时取最小值为，故B正确；
，
当时，为钝角，故C错误；
，
当即时，最小值为－1，故D正确；
故选：ABD
【点睛】结论点睛：定义:已知曲线,则称点和直线是曲线G的一对极点与极线,点P称为直线l关于曲线G的极点;直线l称为点P关于曲线G的极线.
已知点P关于圆锥曲线G的极线是直线l,则三者的位置关系是:
①若点P在曲线G上,则直线l是曲线G在点P处的切线;
②若点P在曲线G外,则直线l是由点P向曲线G引两条切线的切点弦;
③若点P在曲线G内,则直线l是经过点P的曲线G的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:
15．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线，抛物线，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有（ ）．
A．直线是曲线和的公切线；
B．曲线和的公切线有且仅有一条；
C．最小值为；
D．当轴时，最小值为．
【答案】ACD
【分析】利用导数求出斜率为1的切线并判断与是否相切判断A；设出公切线与和的切点，利用导数几何意义结合零点存在性定理判断B；利用抛物线定义转化求的焦点与P的距离最小值判断C；构造函数并求出最小值判断D作答.
【详解】对于A，对函数求导得，由得，则与曲线相切且斜率为1的直线切曲线于点，
切线方程为，由消去x得：，即直线与曲线相切，
所以直线是曲线和的公切线，A正确；
对于B，设曲线和的公切线与曲线相切于点，由选项A知，该切线斜率为，
切线方程为，由消去x得：，
因此，令，求导得，
当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，，
而，，即存在，使得，因此函数有0和两个零点，
显然当时，，因此的解有0和两个，即曲线和的公切线有两条，B错误；
对于C，抛物线的焦点，准线方程，则，
因此，当且仅当三点共线时取等号，
而，令，求导得，
显然在R上都递增，因此函数在R上递增，而，
即当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
，因此，所以当，点Q为线段与抛物线的交点时，最小值为，C正确;
对于D，当轴时，，则，，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上递增，，
所以最小值为，D正确．
故选：ACD
【点睛】知识点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
16．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知为坐标原点，椭圆.过点作斜率分别为和的两条直线，，其中与交于两点，与交于两点，且，则（ ）
A．的离心率为B．
C．D．四点共圆
【答案】ABD
【分析】求得点坐标并代入椭圆方程，由此求得，进而求得椭圆的离心率.设出直线和的参数方程并与椭圆方程联立，根据根与系数关系、圆的知识求得正确答案.
【详解】依题意，即，
所以，解得（负根舍去）.
所以椭圆，则.
依题意可知直线的倾斜角为锐角，且，
由解得.
直线的倾斜角为钝角，且，
由解得.
设直线的参数方程为（为参数），
由整理得，
解得（不妨设）.
设直线的参数方程为（为参数），
由整理得，
解得（不妨设）.
所以，B选项正确.
，C选项错误.
，
所以，而，所以，
所以，所以四点共圆.
（也可用圆的相交弦定理的逆定理，直接由判断出四点共圆）
所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】待定系数法求椭圆的方程，可利用题目所给已知条件，列出等量关系式，由此来求得椭圆方程中的未知参数.四点共圆的证明方法，可利用相交弦定理的逆定理，也可利用“同弧所对的圆周角相等”来证明.
17．（2023秋·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，过点的直线与右支交于另一点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，则（ ）
A．点到两条渐近线的距离之积为定值B．为定值
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用点到直线的距离公式，坐标表示直接比较和直曲联立即可进行判断.
【详解】由已知双曲线，渐近线方程为，
点到两条渐近线的距离为
，故A正确.
因为，作直线，，且
两直线分别交轴上方双曲线于，，交轴上方渐近线于，，交轴下方渐近线于，，；易知当分别与，重合时，此时不是定值，
又因为为定值，所以不是定值，故B错误.
由已知双曲线方程为，所以，
设，所以，同理
所以，
又因为，所以
又因为
两式相减得：，又因为
所以，故C正确.
设，，，
当直线斜率不存在时，直线方程为，由题意易知
当直线斜率存在时，设直线与联立可得
所以
将直线与渐近线联立可得
将直线与渐近线联立可得
所以
所以，所以与中点相同，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】1.定值问题中通过设出直线，准确地表示出所要求证的定值尤为关键.
2.设计不等式的证明时利用坐标表示进行化简后借助坐标的范围可以进行证明.
3.巧妙的利用直曲联立的结论可以简化运算，提升解题效率.
4.注意特殊值法在小题中的应用.
18．（2023秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，点，点，圆是“欧拉线”上一点，过可作圆的两条线切，切点分别为.则下列结论正确的是（ ）
A．的“欧拉线”方程为
B．圆上存在点，使得
C．四边形面积的最大值为4
D．直线恒过定点
【答案】ABD
【分析】由题意求出中点为的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线的方程，再利用圆和圆的切线的性质判断各选项即可.
【详解】设中点为，因为，所以，
因为，所以，且，，所以，
由题意可得欧拉线为直线，则欧拉线的方程为即，A正确；
由圆的切线性质可得，设，则，
在中由正弦定理得，所以，
由二次函数的性质得当时取最小值8，
所以，即的最大值为，
所以，所以圆上存在点，使得，B正确；
由圆的切线的定义可知，，，
所以，
又因为，且，
所以即四边形面积的最小值为4，C错误；
设，因为，，所以四点共圆，其中为直径，
设中点，则，
所以圆为即，
所以为圆和圆的相交弦，两圆方程相减得方程为，
即，由解得过定点，D正确；
故选：ABD
19．（2023秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，已知，为双曲线的焦点，O为双曲线的对称中心，P是等轴双曲线上异于顶点的一点，下列说法一定正确的有（ ）
A．等轴双曲线的离心率为
B．方程为的曲线是等轴双曲线
C．
D．双曲线在点P处的切线交渐近线于E，F两点，则
【答案】ABD
【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A选项；作变换可判断B选项；设等轴双曲线的方程为，根据两点间的距离公式可判断C选项，再利用导数的几何意义分析双曲线的切线公式，再联立与渐近线的方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于等轴双曲线，，则，则，A对；
对于B选项，作变换，由可得，
故方程为的曲线是等轴双曲线，B对；
对于C选项，不妨设等轴双曲线的方程为，，则，
则
，C错；
对于D选项，先求双曲线上一点的切线方程：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由，得，所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：
又有，化简即可得切线方程为： .
又双曲线的渐近线方程是，联立：，解得：，
联立：，解得：，由中点性质可得，
可知是的中点，D对；
故选：ABD
20．（2023秋·江苏徐州·高三期末）已知O为坐标原点，a，b为实数，圆C：，点在圆C外，以线段CD为直径作圆M，与圆C相交于A，B两点，且，则（ ）
A．直线DA与圆C相切
B．D在圆上运动
C．
D．
【答案】ABC
【分析】通过圆M的直径所对的圆周角为直角即可判断A；根据勾股定理求出圆M的半径，从而求出的长，即可得出点 的轨迹方程，从而判断B；由得知动点M的轨迹在圆C内，可判断C；用特殊点即可验证并判断选项D.
【详解】由于线段CD为圆M的直径，所以,所以直线DA与圆C相切，选项A正确；
设的交点为，可知,，则，
圆C：，则半径,由勾股定理可得 ,
设圆M的半径为，则，连接 ，则有,，解得，则，
故D在圆上运动，选项B正确；
圆M的半径为,如图，设圆C与轴的交点为两点，圆C的半径为,,且圆M必过点,
所以动点M的轨迹在圆C内，则有,选项C正确；
点的坐标为，因为D在圆上运动，
当 时，点的坐标为，所在的直线为 ，联立 ，消去 可得，解得，因为点在圆C外，所以此时点的坐标为，即，
，即存在一点的坐标为时，使得，选项D错误；
故选：ABC.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的综合应用，考查圆的轨迹方程，数形结合思想，属于较难题.
21．（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知双曲线C：，曲线E：，记两条曲线过点的切线分别为，，且斜率均为正数，则（ ）
A．若，，则C与E有一个交点
B．若，，则C与E有一个交点
C．若，则与E夹角的正切值为
D．若，则与夹角的余弦值为
【答案】AC
【分析】利用双曲线的渐近线、切线，利用导数求抛物线的切线，结合到角公式、向量的夹角公式进行求解.
【详解】对于A，若，，则，
因为双曲线C：的渐近线为，
所以曲线E：与双曲线C的渐近线为平行，
所以C与E有一个交点，故A正确；
对于B，若，，则曲线E：，与双曲线C：联立，
则，即，令，
则，则由有，由有，
所以，所以无解，故B错误；
对于C，若，曲线E：，对于双曲线C：，易知过点的切线的斜率显然存在，
设切线方程为 ，与联立有：，
由，解得，
因为斜率均为正数，所以为：，
则与E夹角的正切值为，故C正确；
对于D，若，曲线E：，则，则，
则为： ，其方向向量 ，又为：，其方向向量 ，
所以 ，故D错误.
故答案为：AC.
22．（2023秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动圆（），则下列说法正确的是（ ）
A．存在圆经过原点
B．存在圆，其所有点均在第一象限
C．存在定直线，被圆截得的弦长为定值
D．所有动圆仅存在唯一一条公切线
【答案】AB
【分析】对于A选项：将代入圆方程，求得，即可判断；
对于B选项：根据圆所有点均在第一象限得到，即可判断；
对于C选项：当定直线的斜率存在，设直线：，当定直线的斜率不存在，设直线，由垂径定理和勾股定理得到弦长，要使弦长为定值，则弦长与无关，得到关于和的方程组，即可求解；
对于D选项：求出所有动圆的公切线，即可求解.
【详解】对于A选项：若圆经过原点，则，
化简得：，解得：，
所以当时，圆经过原点，所以A选项正确；
对于B选项：由题意得圆的圆心，半径（），
若圆上的所有点均在第一象限，则，解得：，
即且，所以当时，圆上的所有点均在第一象限，所以B选项正确；
对于C选项：当定直线的斜率存在，
设存在定直线：，被圆截得的弦长为定值，
则圆心到直线的距离，
则弦长
即，
要使弦长为定值，则弦长与无关，
所以，解得：，
此时弦长，
不存在定直线：，被圆截得的弦长为定值，
当定直线的斜率不存在，设直线，则圆心到直线的距离，
所以弦长，
要使弦长为定值，则弦长与无关，
即，此时弦长，
综上：不存在定直线，被圆截得的弦长为定值，
所以C选项错误；
对于D选项：若所有动圆存在公切线，当切线斜率不存在时，满足题意；
切线斜率存在时，且圆心到它的距离等于半径，结合C选项的证明可得：，即，
化简得：，
若所有动圆存在公切线，则上式对恒成立，
则，解得：，
此时，
综上：所有动圆存在公切线，其方程为或，所以D选项不正确，
故选：AB.
三、填空题
23．（2023秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于，两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【分析】由题意可得直线为，设，，代入双曲线并结合，在右支可得，可得，然后分，和三种情况进行讨论，即可求解
【详解】由双曲线可得，故直线为，
代入双曲线可得，即，
设直线与双曲线的右支交于，，
故，故即，所以，
结合可得，
不妨设在轴的下方，在轴的上方，设，，由双曲线定义可得，，
①时，，即，
故，
因为直线斜率为1，所以倾斜角为，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，
所以，解得，舍去；
②时，，即，
故，
因为直线斜率为1，所以倾斜角为，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，
所以，解得，
因为，，
所以，此时满足题意；
③时，此时直线垂直与轴，与题意矛盾，故舍去；
综上所述，双曲线的离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：这道题的关键点是得到直线与双曲线的右支交于，两点时，离心率的范围，后面讨论三种情况并结合所求的范围进行取舍
24．（2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．
【答案】
【分析】设,利用焦半径公式得到,设，写出垂直平分线方程，代入，化简得到值，最终求出的值.
【详解】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），
椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d，
则
，
所以，
因为本题椭圆离心率:，设
由焦半径公式:得:,
即中点，，则垂直平分线斜率为
根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，
则线段的垂直平分线方程为,代入得:
,即,则.
故答案为：.
【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，，，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.
25．（2023秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）过抛物线的准线上一点作抛物线的两条切线，两条切线分别与轴交于点，则外接圆面积的最小值为__________.
【答案】
【分析】通过设直线方程，因为直线与抛物线相切，通过与抛物线联立，可以得到直线以及，得到外接圆的直径为，从而得到外接圆面积的最小值.
【详解】抛物线的焦点为，
设，设直线
联立方程，得，
又因为直线与抛物线相切，所以，即
而，，所以，同理
所以是的外接圆的直径
所以当垂直于准线时，得到外接圆半径的最小值，即
故外接圆面积的最小值为.
故答案为：
26．（2023秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在两点处的切线交于点，则弦的长为______.
【答案】4
【分析】设直线的方程为，与抛物线联立，求得，利用导数的几何意义，可设出切线，切线的方程，联立两切线的方程，求得的坐标，结合已知可得，再利用抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，设，，
显然，直线的斜率存在，且
则直线的方程为
联立，整理得，则
由，求导得，
故切线的方程为，即①
同理切线的方程为②
两式相减，求得的横坐标，即，
两式相加，求得的纵坐标，
即，解得，
所以
故答案为：4
27．（2023秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线AB，AP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为______．
【答案】
【分析】设点的坐标，求斜率，由题知，两式相减，化简得，结合
，知，再利用及离心率公式即可求解.
【详解】设，，，
则直线AP的斜率为，BP的斜率为，
由题知，两式相减得，
即，即，即，
又，则，即，
即，则，所以，
即，则椭圆C的离心率为.
故答案为：
28．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知直线与双曲线C：交于点，.为C上一点，且，，则△PAB的面积最大值为__________.
【答案】
【分析】先求得两点的坐标，然后求得与直线平行且与双曲线相切的直线方程，根据三角形面积公式以及两平行线间的距离公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
由解得或，
所以为定值，
由于，，所以在双曲线两点间的曲线上，在第一象限，
当距离最远时，三角形的面积取得最大值，
设直线与双曲线C：相切于点，
由消去并化简得，
由解得（正根舍去），
故切线方程为，
直线与直线的距离为，
所以△PAB的面积最大值为.
故答案为：
【点睛】求解双曲线的切线方程，可先设出切线的方程，然后联立切线的方程和双曲线的方程，化简成一元二次方程的形式，结合判别式即可求得切线方程.
四、双空题
29．（2023·江苏·高三专题练习）已知椭圆的焦点是，是上（不在长轴上）的两点，且.为与的交点，则的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____.
【答案】 椭圆
【分析】设，则，设表示出，
联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，代入消去即可得解；
【详解】解：设，则，的斜率不为0，可设
则①，②
所以
联立得，得，
所以
由①②得，所以
所以整理得，所以的轨迹所在的曲线是椭圆，
故答案为：椭圆；.
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题.
30．（2023·江苏·高三专题练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左､右焦点.是上的动点，点，若的最大值为.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则：（1）椭圆的离心率为___________；（2）的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据题意得，所以，求出，即可求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又表示点到直线的距离的倍，分析求解即可.
【详解】根据椭圆定义得：，
所以，因为的最大值为6，
因为，所以，即，解得，所以离心率为.
右焦点关于直线的对称点，设切点为，由椭圆的光学性质可得：
，，三点共线，所以，
即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的距离最小值，最大值，
所以点到直线的距离为：，
所以表示点到直线的距离的倍，
则，即.
故答案为：，