天津市第四十七中学2022-2023学年高二下学期第一次阶段性检测数学试题(含答案)

这是一份天津市第四十七中学2022-2023学年高二下学期第一次阶段性检测数学试题(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、过点且平行于直线的直线方程为( )
A.B.C.D.
2、已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为( )
A.B.C.D.2
3、设圆，圆，则圆，的位置( )
A.内切B.相交C.外切D.外离
4、已知定义在R上的函数恰有3个极值点，则的导函数的图象可能为( )
A.B.C.D.
5、已知抛物线C：上一点到y轴的距离是5，则该点到抛物线C焦点的距离是( )
A.5B.6C.7D.8
6、五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽.若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为( )
A.12种B.48种C.72种D.120种
7、设函数是函数的导函数，时，，则，结论正确的是( )
A.B.
C.D.
8、若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为( )
A.B.C.D.
9、已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点为F.若在双曲线E的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10、__________.
11、已知函数的导函数，满足，则__________.
12、已知是平面a的一个法向量，点在平面a内，则点到平面a的距离为__________.
13、在2022年北京冬奥会志愿者选拔期间，来自北京某大学的4名男生和2名女生通过了志愿者的选拔.从这6名志愿者中挑选3名负责滑雪项目的服务工作，要求至少有一名女生，则不同的选法共有__________种.（请用数字作答）
14、设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是__________.
15、已知函数在处切线方程为，若对恒成立，则__________.
三、解答题
16、已知函数.
（1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值；
（2）当时，求函数的单调区间和极值；
（3）若有两个零点，求实数a的取值范围.
17、如图，平面ABCD，，，，，.
（1）求证：平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.
18、已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），为椭圆右焦点，点M满足（O为坐标原点），直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且P为AB中点，求直线AB斜率.
19、已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，，求数列的前n项和；
（3）求证：.
20、已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，对任意，的恒成立，求整数a的最大值；
（3）求证：当时，.
参考答案
1、答案：A
解析：平行于直线的直线方程可设为，
又所求直线过点，
则，解之得，
则所求直线为，
故选：A.
2、答案：A
解析：为递减的等比数列，，解得：（舍）或，
的公比.
故选：A.
3、答案：D
解析：圆，化为，圆心为，半径为；
圆，化为，圆心为，半径为；
两圆心距离为：，
，
圆与外离，
故选：D.
4、答案：D
解析：根据函数极值点的定义可知，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，
另一个是该点左、右两边的导数值异号，故A与C对应的函数只有2个极值点，
B对应的函数有4个极值点，D对应的函数有3个极值点.
故选：D.
5、答案：B
解析：由题意得：抛物线C：的准线方程为，
由焦半径公式得：该点到抛物线C焦点的距离等于.
故选：B.
6、答案：C
解析：先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为.
故选：C.
7、答案：D
解析：令，则，
时，，，
，
函数在R上单调递增，由，可得，
故选：D.
8、答案：C
解析：过点P作曲线的切线，当切线与直线平行时，点P到直线距离的最小.
设切点为，，
所以，切线斜率为，
由题知得或（舍），
所以，，此时点P到直线距离.
故选：C.
9、答案：B
解析：双曲线（，）的右顶点，渐近线方程为，
抛物线的焦点为，
设，则，，
由可得：，
整理可得：，
，
，
，
则：，
由可得：.
故选：B.
10、答案：7
解析：.
故答案为：7.
11、答案：
解析：因为，所以，
所以，得，即，
所以.
故答案为：.
12、答案：/
解析：由题可得，又是平面a的一个法向量，
则点P到平面a的距离为.
故答案为：.
13、答案：16
解析：因为共有2名女生，所以至少有一名女生入选的方法有.
故答案为：16.
14、答案：
解析：因为是递增数列，所以解得，
故答案为：.
15、答案：
解析：函数的导数为，可得在处切线斜率为，
所以在处切线方程为，
设，故，
由对恒成立，转化为对恒成立，则在R上为增函数.
因为，设，则，
由解得，单调递增；由解得，单调递减，
所以当时取得最小值，所以，即，
而在R上为增函数等价于在R上恒成立，即，
而此时只能，得出.
故答案为：.
16、答案：（1）7
（2）答案见解析
（3）
解析：（1），所以，，
又因为在点处的切线的斜率为4，所以，
所以.
（2）因为，，
当时，，，，
，，
当，，在上单调递增；
当，，在，上单调递减；
当时，的极小值为；
当时，的极大值为.
（3）因为，
所以有两个根，
，，
当，，至多有一个零点，不合题意；
当，令，，单调递增；
令，，单调递减；
若有两个零点，则最小值，
所以，即，
由零点存在定理可得，，，
，，，，
所以有两个零点，则实数.
17、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）依题意，可以建立以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，.
因为平面，且平面，所以，
又，且，平面，平面，
所以平面，
故是平面ADE的一个法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
（2）依题意，，，，
设为平面BDE的法向量，
则，即，不妨令，可得，
设直线与平面所成角，因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设为平面BDF的法向量，则，即.
不妨令，可得.
由题意，有
由图可知平面BDE与平面BDF夹角为锐角，所以平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为.
18、答案：（1）
（2）或1
解析：（1）点在，上，即，
又，，解得：，，，
椭圆C的方程：.
（2）因为点，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），所以斜率一定存在.
设：，
因为，，，
直线和椭圆C方程联立得，得，
，
因，
，，，则，
因为直线与以M为圆心的圆相切于点P，且，即P为中点，，
则，，，
，，
因为，所以，得，
得（舍去），，，
故，.
19、答案：（1），
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）因为数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
所以，解得，所以.
数列是公比大于0的等比数列，设公比为q，则，
因为，，所以，解得或（舍），
所以.
（2）由（1）知，
两式相减可得
；
所以.
（3）因为，
所以
因为，所以；
所以.
20、答案：（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）
（3）证明见解析
解析：（1），
，
①若，则，函数在上为增函数；
②若，由可得；由可得，
因此在上为增函数，在上为减函数；
（2）若，则，不满足题意；
若，则在上为增函数，在上为减函数；
，
设，则，又在上单调递增，
且，
故存在唯一使得
当时，，当时，，
故，解得，又，，
则综上a的最大值为；
（3）由（2）可知，时，
，
，，
，
记，则，
记，则，
由可得，
，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，
所以，
故，故函数在上单调递增，
，
即，.