2022-2023学年陕西省重点大学附中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省重点大学附中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中为无理数的是( )
A. 57B. 3C. −3.1415D. 2022
2.以2，3为直角边的直角三角形斜边长为( )
A. 5B. 13C. 4D. 5
3.某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，x，6，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是( )
A. 5B. 5.5C. 6D. 7
4.将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 15°
5.已知点P在第四象限内，到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点P坐标是( )
A. (3,−4)B. (3,4)C. (−4,3)D. (4,−3)
6.下列命题中，是真命题的是( )
A. 如果点P(x,y)的坐标满足xy>0，那么点P一定在第一象限
B. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C. 等腰三角形两腰上的高相等
D. 有一个角等于60°的三角形是等边三角形
7.在同一平面直角坐标系中，函数y=−mx(m≠0)与y=2x+m的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.已知关于x，y的方程组2x−y=5ax+by=2和x+y=4ax+2by=10有相同的解，那么2a+b值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形(空白部分)，其中AB=7cm，BC=11cm，则阴影部分图形的总面积为cm2( )
A. 27
B. 29
C. 34
D. 36
10.甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元.y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克
B. 甲园的门票费用是60元
C. 乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠
D. 顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.16的平方根是______．
12.如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE/​/BC，若∠B=70°，∠AED=50°，则∠A的度数为______ ．
13.如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=______．
14.在△ABC中，AB=3 2，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为______ ．
15.如图，四边形ABCD，AD=1，AB=2 3，BC=3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB=60°，则DC的最大值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
16.解方程组：
．
四、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A(4,0)，B(−1,4)，C(−3,1)．
(1)若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，作出△A1B1C1，并写出B1的坐标；
(2)求△ABC的面积．
18.(本小题8.0分)
已知：如图，AE与BD相交于点F，∠B=∠C，∠1=∠2.求证：AB//CE．
19.(本小题8.0分)
为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，我校现对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息完成下列问题：

(1)本次共调查了______ 名学生，并补全上面条形统计图；
(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为______ ；众数为______ ；
(3)我校八年级有1200名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为1.5小时的学生有多少人？
20.(本小题8.0分)
为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划利用假期在足球场四周安装安全防护栏，平面示意图如图2所示，假如每张防护栏长2.5米，每两张防护栏中间加装一个立柱进行加固，每根立柱宽为0.2米．

(1)根据如图，将表格补充完整．
(2)求护栏总长度为92米时立柱的根数？
21.(本小题8.0分)
某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品进价为100元/件，售价为150元/件．
(1)若商场用39000元购进这两种商品若干，销售完后可获利润9500元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)现商场需购进这两种商品共200件，设购进甲种商品a件，两种商品销售完后可获总利润为w元，如果购进甲种商品的数量至少100件，求销售完这批商品获得的最大利润．
22.(本小题8.0分)
(1)模型建立：
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，请直接写出图中相等的线段(除CA=CB)；
模型应用：
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+8与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线BC的表达式；
探究提升：
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，A(3,0)，点B在y轴上运动，将AB绕点A顺时针旋转90°至AC，连接OC，求CA+OC的最小值，及此时点B坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A. 57是分数，不是无理数，不符合题意；
B. 3是无理数，符合题意；
C.−3.1415是分数，不是无理数，不符合题意；
D.2022是整数，不是无理数，不符合题意．
故选：B．
本题考查无理数的定义，根据无理数的定义判断无理数．
本题考查无理数的定义，能够根据无理数的定义判断出无理数是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：以2，3为直角边的直角三角形斜边长= 22+32= 13，
故选：B．
根据勾股定理可直接求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵数据的平均数是6，
∴5+5+x+6+85=6，
解得x=6，
故选：C．
直接根据数据的平均数是6求解即可．
本题考查了根据平均数求数据，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由三角板的性质可得：∠2=30°，∠3=45°，
∴∠1=∠2+∠3=30°+45°=75°．
故选：C．
先求出∠2和∠3的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵点P在第四象限内，
∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是−3，即点P的坐标为(4,−3)．
故选：D．
先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点的具体坐标．
本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
6.【答案】C
【解析】解：A、如果点P(x,y)的坐标满足xy>0，则x和y同号，那么点P可能在第一、三象限，故为假命题，不符合题意；
B、等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故为假命题，不符合题意；
C、等腰三角形两腰上的高相等，故为真命题，符合题意；
D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故为假命题，不符合题意；
故选：C．
利用点的坐标特点、等腰三角形的性质、等边三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解点的坐标特点、等腰三角形的三线合一的性质、等边三角形的判定方法等知识，难度不大．
7.【答案】B
【解析】解：当m>0时，−m<0，函数y=−mx(m≠0)的图象过原点且经过二、四象限，y=2x+m的图象经过一、二、三象限，B符合选项；
当m<0时，−m>0，函数y=−mx(m≠0)的图象过原点且经过一、三象限，y=2x+m的图象经过一、三、四象限，没有符合选项；
故选：B．
分m>0和m<0两种情况分类讨论即可求得答案．
本题考查了正比例函数及一次函数的图象，解题的关键是了解这两种函数的性质，难度不大．
8.【答案】B
【解析】解：2x−y=5x+y=4，
求得x=3y=1，
∵关于x，y的方程组2x−y=5x+y=4和x+y=4ax+2by=10有相同的解，
将x=3y=1代入ax+by=2ax+2by=10，
得3a+b=23a+2b=10，
解得a=−2b=8，
∴2a+b=2×(−2)+8=4，
故选：B．
先根据关于x，y的方程组2x−y=5ax+by=2和x+y=4ax+2by=10有相同的解，列出方程组2x−y=5x+y=4求出x、y的值，再代入ax+by=2ax+2by=10计算求出a、b的值，最后代入计算即可．
本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到出方程组2x−y=5x+y=4求出x、y的值．
9.【答案】A
【解析】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意，得：x+3y=11x+y=7，
解得：x=5y=2，
∴每个小长方形的面积为2×5=10(cm2)，
∴阴影部分的面积=7×11−5×10=27(cm2)，
故选：A．
设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出x和y的值，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可得，
草莓优惠前的销售价格是150÷5=30(元/千克)，故选项A正确；
甲园的门票费用是60元，故选项B正确；
乙园超过5千克后，超过的部分价格是300−15015−5=15(元/千克)，15÷30×100%=50%，故选项C正确；
若顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更少，故选项D错误；
故选：D．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】±4
【解析】解：因为(±4)2=16，
所以16的平方根是±4．
故答案为：±4．
根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12.【答案】60°
【解析】解：∵DE/​/BC，∠AED=50°，
∴∠AED=∠C=50°，
∵∠B=70°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=60°，
故答案为：60°．
由两直线平行同位角相等，可得∠AED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理即可作答．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的知识，掌握三角形内角和定理、两直线平行同位角相等，是解答本题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：根据图形知，当y=1时，x=4，即ax+b=1时，x=4．
∴方程ax+b=1的解x=4．
观察图形可直接得出答案．
此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．
14.【答案】7或1
【解析】解：如图，有两种情况：
①当∠ABC是锐角时，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD= AB2−AD2=3，CD= AC2−AD2=4，
∴BC=BD+CD=3+4=7；
②当∠ABC是钝角时，CD=4，BD=3，
∴BC=CD−BD=4−3=1，
综上所述，BC的长为7或1；
故答案为：7或1．
△ABC中，∠ABC分锐角和钝角两种：①∠ABC是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；②如图2，∠ABC是钝角时，同理得：CD=4，BD=3，根据BC=CD−BD代入可得结论．
本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
15.【答案】4+ 3
【解析】【详解】
解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，
由翻折可知：∠AED=∠MED，∠BEC=∠NEC，AD=MD=1，BC=NC=3，
∵E是AB中点，AB=2 3，
∴AE=ME=BE=NE= 3，
∵∠DEA+∠CEB=60°，
∴∠AEM+∠BEN=120°，
∴∠MEN=60°，
∴△EMN是等边三角形，
∴MN= 3，
∴CD≤DM+MN+CN，
当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为1+3+ 3=4+ 3，
故答案为：4+ 3．
将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，证明△EMN是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得CD≤DM+MN+CN，即可求出最大值．
本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明△EMN是等边三角形是解题的关键．
16.【答案】解：整理方程组得：，
②−①得：x=0.5，
把x=0.5代入①得：2×0.5+3y=10，
解得：y=3，
∴方程组的解为：．
【解析】化简整理方程组，利用加减消元法或代入消元法解方程组．
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
17.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求，
其中，B1(−1,−4)；

(2)S△ABC=4×7−12×1×7−12×2×3−12×4×5=232．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
18.【答案】解：∵∠1=∠2，
∴AC/​/BD，
∴∠C=∠BDE，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠BDE，
∴AB//CE．
【解析】根据∠1=∠2可得AC/​/BD，则∠C=∠BDE，再由∠B=∠C可得∠B=∠BDE，以此即可证明．
本题考查了平行线的判定与性质，掌握判定平行线的方法是解题关键．
19.【答案】100 1.5 1.5
【解析】解：(1)本次调查的人数为：30÷30%=100(人)，
完成作业时间为1.5小时的有：100−12−30−18=40(人)，
补全的条形统计图如图所示：
；
(2)由(1)中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5小时，
∵100÷2=50，则中位数是1.5小时，
故答案为：1.5，1.5；
(3)40÷100=40%，1200×40%=480(人)，
答：八年级学生中，每天完成作业所用时间为1.5小时的学生有480人．
(1)根据条形统计图，扇形统计图中的数据计算出缺少的数据，并补全条形统计图即可；
(2)根据条形统计图分析出中位数和众数；
(3)根据样本计算出每天完成作业所用时间为1.5小时的学生在样本的比例，根据比例估算出八年级学生中，每天完成作业所用时间为1.5小时的学生．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，能够将条形统计图和扇形统计图相结合是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)填表如下：
(2)当立柱根数为1时，总长为：0.2+(2.5+0.2)×0=0.2(米)，
当立柱根数为2时，总长为：0.2+(2.5+0.2)×1=2.9(米)，
当立柱根数为3时，总长为：0.2+(2.5+0.2)×2=5.6(米)，
当立柱根数为4时，总长为：0.2+(2.5+0.2)×3=8.3(米)，
…
∴当立柱根数为n时，总长为：0.2+(2.5+0.2)×(n−1)=(2.7n−2.5)米，
∴当护栏总长度为92米时，2.7n−2.5=92，
解得：n=35，
即立柱的根数为35根．
【解析】(1)根据防护栏长度和立柱宽度计算即可；
(2)由已知数据，归纳得出立柱根数为n时，总长为2.7n−2.5米，再令其为92，求出n值即可．
本题考查了图形类规律，解题的关键是得出n根立柱时，总长度为(2.7n−2.5)米．
21.【答案】解：(1)设购进甲种商品x件，乙种商品y件，由题意：
120x+100y=3900010x+50y=9500，
解得：x=200y=150．
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品150件．
(2)设利润为w元，已知购进甲种商品a件，则购进乙种商品(200−a)件，根据题意得：
w=(130−120)a+(150−100)(200−a)
=−40a+10000，
∵−40<0，
∴w随a的增大而减小．
∴当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，
最大利润=−40×100+10000=6000元．
答：最大利润为6000元．
【解析】(1)设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据销售问题的数量关系建立方程组求出其解即可；
(2)由购进甲种商品a件，则购进乙种商品(200−a)件，由利润等于售价−进价建立函数关系式，再根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，一次函数的性质的运用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题．
22.【答案】(1)解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵CA=CB，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE．
(2)以点A为直角顶点时，如图，作CD⊥OA于点D．

∵y=−43x+8，
∴x=0时，y=8；当y=0时，x=6，
∴A(6,0)，B(0,8)．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°．
∵CD⊥OA，
∴∠AOB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
∵CA=AB，
∴△ACD≌△BAO(AAS)，
∴AD=OB=8，CD=OA=6，
∴OD=6+8=14，
∴C(14,6)．
设直线BC的解析式为y=kx+8，把C(14,6)代入，得14k+8=6，
∴k=−17，
∴y=−17x+8；
当以点B为直角顶点时，作CD⊥OB于点D.如图，

同理可求：CD=OB=8，BD=OA=6，
∴OD=6+8=14，
∴C(8,14)．
设直线BC的解析式为y=nx+8，把C(8,14)代入，得8n+8=14，
∴k=34，
∴y=34x+8．
(3)如图，过点C作CD⊥OA轴于点D，设OB=t．

∵∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°．
∵CD⊥OA，
∴∠AOB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
∵CA=AB，
∴△ACD≌△BAO(AAS)，
∴AD=OB=t，CD=OA=3，
∴OD=t−3，
∴C(3−t,3)，
∴CA+OC= t2+32+ (t−3)2+32，
设P(t,0)，M(0,3)，N(3,3)，
则求 t2+32+ (t−3)2+32的最小值可看做点P到点M和点N的距离之和最小，如图，

作点M(0,3)关于x轴的对称点M′(0,−3)，连接M′N交x轴于点P，连接MP，
则PM+PN=PM′+PN=M′N= 32+(3+3)2=3 5．
设直线M′N的解析式为y=mx−3，把N(3,3)代入得3m−3=3，
∴m=2，
∴y=2x−3，
当y=0时，x=32，
∴P(32,0)，
∴此时t=32，
∴B(0,−32)．
【解析】(1)证明△ACD≌△CBE即可得到结论；
(2)分点A为直角顶点和点B为直角顶点两种情况求解即可；
(3)过点C作CD⊥OA轴于点D，设OB=t证明△ACD≌△BAO，表示出点C的坐标，则可得CA+CO= t2+32+ (t−3)2+32，然后构造轴对称最短距离求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，以及轴对称最短距离等知识，数形结合是解答本题的关键．立柱根数
1
2
3
4
5
…
护栏总长度(米)
0.2
2.9
8.3
…
立柱根数
1
2
3
4
5
…
护栏总长度(米)
0.2
2.9
5.6
8.3
11
…