新高考物理一轮复习讲义第11章 电磁感应 章末素养培优 (含解析)

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一、“单杆＋导轨”模型
“单杆＋导轨”模型的四种典型情况
例1 (多选)(2023·湖南衡阳联考)如图1所示，在水平面上有两根足够长的平行轨道，右端接有阻值为R的定值电阻，处于垂直轨道平面的磁感应强度为B的匀强磁场中，两轨道间距为L。质量为m，电阻为r的金属棒ab静置于导轨上，棒ab在水平向左的恒力F的作用下开始运动，运动中与轨道垂直且接触良好，经过一段时间后，以速度v开始做匀速运动，随后撤去外力F，轨道的电阻不计，棒ab与导轨间动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为g。则( )
图1
A.外力F的大小为eq \f(B2L2v,R＋r)＋μmg
B.达到稳定时棒ab两端的电压为BLv
C.若撤去外力后，又经过位移x，棒ab停止运动，则撤去外力后棒ab运动的时间t＝eq \f(v,μg)－eq \f(B2L2x,μmg（R＋r）)
D.若撤去外力后，又经过位移x，棒ab停止运动，则撤去外力后回路中产生的焦耳热Q＝eq \f(1,2)mv2－μmgx
答案 ACD
解析 根据平衡条件有F＝FA＋μmg，其中FA＝ILB，I＝eq \f(E,R＋r)，E＝BLv，联立解得F＝eq \f(B2L2v,R＋r)＋μmg，故A正确；达到稳定时，感应电动势为E＝BLv，棒ab两端的电压为U＝eq \f(R,R＋r)E＝eq \f(R,R＋r)·BLv，故B错误；从撤去外力到棒ab停止运动，根据动量定理有－IA－μmgt＝0－mv，其中IA＝Beq \(I,\s\up6(－))L·Δt＝Beq \f(\(E,\s\up6(－)),R＋r)L·Δt＝Beq \f(\f(ΔΦ,Δt),R＋r)L·Δt＝Beq \f(ΔΦ,R＋r)L＝Beq \f(BLx,R＋r)L＝eq \f(B2L2x,R＋r)，解得t＝eq \f(v,μg)－eq \f(B2L2x,μmg（R＋r）)，故C正确；从撤去外力到棒ab停止运动，根据能量守恒定律有eq \f(1,2)mv2＝Q＋μmgx，得Q＝eq \f(1,2)mv2－μmgx，故D正确。
例2 如图2所示，足够长的光滑导轨ab、cd固定在竖直平面内，导轨间距为l，b、d两点间接一阻值为R的电阻。ef是一水平放置的导体杆，其质量为m。杆与ab、cd保持良好接触。整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直。现让导体杆由静止开始向下滑动，不计导轨和导体杆的电阻，重力加速度为g。
图2
(1)请通过分析，定性描述导体杆的运动情况；
(2)求导体杆向下运动的最终速度大小；
(3)若在导体杆达到最终速度之前的过程中，电阻R产生的热量为Q，求导体杆在此过程下落的高度；
(4)若用一竖直向上的力拉导体杆，使其从静止开始向上做加速度为eq \f(g,2)的匀加速直线运动，写出拉力F随时间t变化的关系式。
答案 (1)见解析 (2)eq \f(mgR,B2l2) (3)eq \f(Q,mg)＋eq \f(m2R2g,2B4l4) (4)F＝eq \f(3mg,2)＋eq \f(B2l2g,2R)t
解析 (1)导体杆在重力作用下向下运动，向下切割磁感线，由楞次定律“阻碍相对运动”知导体杆受向上的安培力，安培力大小随速度的增大而增大，安培力先小于重力，棒做加速运动，后等于重力做匀速直线运动，速度达到最大，所以导体杆先向下做加速度减小的加速运动，后做匀速运动。
(2)导体杆匀速时速度最大，根据平衡条件有F安＝mg，又F安＝IlB，I＝eq \f(E,R)，E＝Blvm，联立可得vm＝eq \f(mgR,B2l2)。
(3)导体杆在此过程下落的高度为h
由能量守恒定律得mgh＝Q＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
将vm＝eq \f(mgR,B2l2)
代入可得h＝eq \f(Q,mg)＋eq \f(m2R2g,2B4l4)。
(4)根据牛顿第二定律得
F－mg－I1lB＝m·eq \f(g,2)
根据闭合电路的欧姆定律得I1＝eq \f(Blv1,R)
又由匀变速直线运动规律v1＝at＝eq \f(g,2)t
联立可得F＝eq \f(3mg,2)＋eq \f(B2l2g,2R)t。
二、“双杆＋导轨”模型
1.初速度不为零，不受其他水平外力
2.初速度为零，一杆受到恒定水平外力
例3 (多选)如图3，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒1和2，构成矩形回路。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。初始棒2静止，棒1有指向棒2的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，则( )
图3
A.棒1的最小速度为零
B.棒2的最大加速度为eq \f(B2L2v0,2mR)
C.棒1两端电压的最大值为BLv0
D.棒2产生的最大热量为eq \f(1,8)mveq \\al(2,0)
答案 BD
解析 当导体棒1开始运动时，回路中有感应电流，两导体棒都受到大小相等的安培力作用，棒1做减速运动，棒2做加速运动，当两棒速度相等时，回路中电流等于零，两棒受力平衡，都做匀速直线运动，所以棒1的最小速度为eq \f(1,2)v0，A错误；当导体棒1在开始运动时，导体棒2的加速度最大，则有E＝BLv0，此时回路中的电流I＝eq \f(E,R＋R)＝eq \f(BLv0,2R)，由牛顿第二定律可得F＝BIL＝Beq \f(BLv0,2R)L＝eq \f(B2L2v0,2R)＝ma，a＝eq \f(B2L2v0,2mR)，B正确；当导体棒1在开始运动时，回路中的感应电动势最大，感应电流最大，则有E＝BLv0，棒1两端电压最大值为U1＝IR＝eq \f(ER,2R)＝eq \f(1,2)BLv0，C错误；当两棒的速度相等时，系统产生的焦耳热最多。从开始运动到稳定运动的过程中，两棒的总动量守恒，规定向右为正方向，由动量守恒定律可得mv0＝2mv，由能量守恒定律可得eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)×2mv2＋Q，导体棒2产生的最大热量为Q2＝eq \f(1,2)Q，联立解得Q2＝eq \f(1,8)mveq \\al(2,0)，D正确。
例4 (多选)如图4所示，水平光滑金属导轨P、Q间距为L，M、N间距为2L，P与M相连，Q与N相连，金属棒a垂直于P、Q放置，金属棒b垂直于M、N放置，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。现给棒a一大小为v0、水平向右的初速度，假设导轨都足够长，两棒质量均为m，在棒a的速度由v0减小到0.8v0的过程中，两棒始终与导轨接触良好。以下说法正确的是( )
图4
A.俯视时感应电流方向为顺时针
B.棒b的最大速度为0.4v0
C.回路中产生的焦耳热为0.1mveq \\al(2,0)
D.通过回路中某一截面的电荷量为eq \f(2mv0,5BL)
答案 BC
解析 棒a向右运动，回路面积减小，根据楞次定律可知，俯视时感应电流方向为逆时针，A错误；在棒a的速度由v0减小到0.8v0的过程中，棒a减速，棒b加速，对棒a，由动量定理可得－Beq \(I,\s\up6(－))L·Δt＝－BqL＝0.8mv0－mv0，对棒b，由动量定理可得2Beq \(I,\s\up6(－))L·Δt＝2BqL＝mv－0，联立可得v＝0.4v0，q＝eq \f(mv0,5BL)，B正确，D错误；根据能量守恒定律可得Q＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－[eq \f(1,2)m(0.8v0)2＋eq \f(1,2)m(0.4v0)2]＝0.1mveq \\al(2,0)，C正确。
v0≠0、轨道水平光滑
v0＝0、轨道水平光滑
示意图
运动分析
导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(BLv,R)，安培力F＝ILB＝eq \f(B2L2v,R)，做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止
S闭合，ab杆受安培力F＝eq \f(BLE,r)，此时a＝eq \f(BLE,mr)，杆ab速度v↑⇒感应电动势BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝ILB↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vm＝eq \f(E,BL)
开始时a＝eq \f(F,m)，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝ILB↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(FR,B2L2)
开始时a＝eq \f(F,m)，杆ab速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv
电流I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLeq \f(Δv,Δt)＝CBLa
安培力F安＝ILB＝CB2L2a
F－F安＝ma，a＝eq \f(F,m＋B2L2C)，所以杆以恒定的加速度做匀加速运动
速度图像
能量分析
动能全部转化为内能Q＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
电源输出的电能转化为动能W电＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生焦耳热WF＝Q＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能
WF＝eq \f(1,2)mv2＋EC
光滑的平行导轨
光滑不等距导轨
示意图
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
杆MN、PQ间距足够长
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝2L2
杆MN、PQ间距足够长且只在各自的轨道上运动
规律
分析
杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度做匀速运动
杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
光滑的平行导轨
不光滑平行导轨
示意图
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
摩擦力Ff1＝Ff2
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
规律
分析
开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动
开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动，MN杆静止。若F＞2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同