新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 第2讲 抛体运动 (含解析)

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1.
2.
1.思考判断
(1)以一定初速度水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。(×)
(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)
(3)做平抛运动的物体的初速度越大，水平位移越大。(×)
(4)做平抛运动的物体的初速度越大，在空中飞行时间越长。(×)
(5)若不计空气阻力，从同一高度平抛的物体，在空中飞行时间相等。(√)
(6)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√)
2.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京隆重开幕。若冬奥会跳台滑雪比赛运动员从平台飞出后可视为平抛运动，现运动员甲以一定的初速度从平台飞出，轨迹为图1中实线①所示，质量比甲小的运动员乙以相同的初速度从平台同一位置飞出，不计空气阻力，则运动员乙的运动轨迹应为图中的( )
图1
A.① B.② C.③ D.④
答案 A
考点一 平抛运动基本规律的应用
1.飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，下落的时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2.水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
3.速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图
所示。
4.两个重要推论
(1)做平抛
运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xB＝eq \f(xA,2)，如图所示。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α。
角度 单物体的平抛运动
例1 (2022·广东卷，6)如图2所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
图2
A.将击中P点，t大于eq \f(L,v)
B.将击中P点，t等于eq \f(L,v)
C.将击中P点上方，t大于eq \f(L,v)
D.将击中P点下方，t等于eq \f(L,v)
答案 B
解析 由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，有t＝eq \f(L,v)，故B正确。
跟踪训练
1.(2023·湖北武汉月考)用图3甲所示的装置研究平抛运动，在水平桌面上放置一个斜面，每次都让小钢球从斜面上的同一位置由静止滚下，滚过桌边后钢球便做平抛运动打在竖直墙壁上，把白纸和复写纸贴在墙上，就可以记录小钢球的落点。改变桌子和墙的距离，就可以得到多组数据。已知四次实验中桌子右边缘离墙的距离分别为10 cm、20 cm、30 cm、40 cm，在白纸上记录的对应落点分别为A、B、C、D，如图乙所示，B、C、D三点到A点的距离之比为( )
图3
A.4∶9∶16 B.3∶8∶15
C.3∶5∶7 D.1∶3∶5
答案 B
解析 根据平抛运动规律得x＝v0t，h＝eq \f(1,2)gt2，可知运动时间之比t1∶t2∶t3∶t4＝1∶2∶3∶4，竖直方向运动距离之比h1∶h2∶h3∶h4＝1∶4∶9∶16，则B、C、D三点到A点的距离之比(h2－h1)∶(h3－h1)∶(h4－h1)＝3∶8∶15，故B正确。
角度 多物体的平抛运动
例2 如图4所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为3h，B点离地面的高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在C点相遇，C点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则( )
图4
A.两个小球一定同时抛出
B.两个小球一定同时落地
C.两个小球抛出的时间间隔为(2－eq \r(2))eq \r(\f(h,g))
D.两个小球抛出的初速度之比eq \f(vA,vB)＝eq \f(1,2)
答案 C
解析 平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，由于A到C的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球运动时间较长，应A先抛出；它们在C点相遇时A的竖直方向速度较大，离地面的高度相同，所以A小球一定先落地，故A、B错误；由t＝eq \r(\f(2h,g))得两个小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝eq \r(\f(2×2h,g))－eq \r(\f(2h,g))＝(2－eq \r(2))eq \r(\f(h,g))，故C正确；由x＝v0t得v0＝xeq \r(\f(g,2h))，x相等，则小球A、B抛出的初速度之比eq \f(vA,vB)＝eq \r(\f(hB,hA))＝eq \r(\f(h,2h))＝eq \f(\r(2),2)，故D错误。
跟踪训练
2.如图5所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。不计空气阻力，下列说法正确的是( )
图5
A.a和b的初速度大小之比为eq \r(2)∶1
B.a和b在空中运动的时间之比为2∶1
C.a和c在空中运动的时间之比为eq \r(2)∶1
D.a和c的初速度大小之比为2∶1
答案 C
解析 根据t＝eq \r(\f(2h,g))可知a和b在空中运动的时间之比为eq \r(2)∶1；根据v＝eq \f(x,t)可知a和b的初速度大小之比为1∶eq \r(2)，选项A、B错误；根据t＝eq \r(\f(2h,g))可知a和c在空中运动的时间之比为eq \r(2)∶1，根据v＝eq \f(x,t)可知a和c的初速度大小之比为eq \r(2)∶1，选项C正确，D错误。
考点二 类平抛运动
1.受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2.运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m)。
3.求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
例3 (2023·浙江杭州高三专练)据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图6所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为( )
图6
A.eq \f(x,t) B.eq \f(y,t)
C.eq \f(\r(x2＋y2),t) D.eq \f(\r(x2＋4y2),t)
答案 D
解析 战机的运动轨迹为抛物线，则x＝vt，y＝eq \f(1,2)at2，解得a＝eq \f(2y,t2)，则B点的竖直速度veq \\al(2,By)＝2ay＝eq \f(4y2,t2)；则战机离开B点的速率为vB＝eq \r(v2＋veq \\al(2,By))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,t)))2＋\f(4y2,t2))＝eq \f(\r(x2＋4y2),t)，故D正确。
跟踪训练
3.如图7所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g)
图7
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0的大小；
(3)物块离开Q点时速度的大小v。
答案 (1)eq \r(\f(2l,gsin θ)) (2)beq \r(\f(gsin θ,2l)) (3)eq \r(\f(（b2＋4l2）gsin θ,2l))
解析 (1)沿斜面向下，有
mgsin θ＝ma
l＝eq \f(1,2)at2
联立解得t＝eq \r(\f(2l,gsin θ))。
(2)沿水平方向，有b＝v0t
v0＝eq \f(b,t)＝beq \r(\f(gsin θ,2l))。
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋（at）2)＝eq \r(\f(（b2＋4l2）gsin θ,2l))。
考点三 斜抛运动
1.斜抛运动的射高和射程
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2v0sin θ,g)。
(2)射高：h＝eq \f(veq \\al(2,0y),2g)＝eq \f(veq \\al(2,0)sin2θ,2g)。
(3)射程：s＝v0cs θ·t＝eq \f(2veq \\al(2,0)sin θcs θ,g)＝eq \f(veq \\al(2,0)sin 2θ,g)，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝eq \f(veq \\al(2,0),g)。
2.逆向思维法处理斜抛运动
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
例4 (2023·浙江杭州模拟)如图8所示，某同学将质量相同的三个物体从水平地面上的A点以同一速率沿不同方向抛出，运动轨迹分别为图上的1、2、3。若忽略空气阻力，在三个物体从抛出到落地过程中，下列说法正确的是( )
图8
A.轨迹为1的物体在最高点的速度最大
B.轨迹为3的物体在空中飞行时间最长
C.轨迹为1的物体所受重力的冲量最大
D.三个物体单位时间内速度变化量不同
答案 C
解析 根据斜上抛运动的对称性可知，物体在最高点的速度为平抛运动的初速度，由h＝eq \f(1,2)gt2和x＝v0t得v0＝xeq \r(\f(g,2h))，可得v01＜v02＜v03，即轨迹为3的物体在最高点的速度最大，故A错误；由h＝eq \f(1,2)gt2知，斜抛的总时间为t总＝2t，因h1＞h2＞h3，可得轨迹为1的物体在空中飞行时间最长，故B错误；重力的冲量为IG＝mgt，则轨迹为1的物体所受重力的冲量最大，故C正确；三个物体均做斜上抛运动，由Δv＝g·Δt可知，单位时间内速度变化量相同均为g，故D错误。
跟踪训练
4.(多选)在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在一次投篮表演中，郭同学在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为9.8 m，不考虑空气阻力，g取10 m/s2。则( )
图9
A.篮球出手的速度大小为7 m/s
B.篮球在空中运动的时间为1.4 s
C.篮球进筐的速度大小为7eq \r(2) m/s
D.篮球投出后的最高点相对地面的竖直高度为2.45 m
答案 BC
解析 篮球在空中做斜抛运动，设出手时速度为v，从抛出到入筐，篮球运动的总时间为t＝2eq \f(vsin 45°,g)，水平位移x＝vcs 45°·t，联立解得t＝1.4 s，v＝7eq \r(2) m/s，由对称性可知，进筐时速度大小也为7eq \r(2) m/s，故A错误，B、C正确；由抛出到最高点，竖直高度h＝eq \f(vsin 45°＋0,2)·eq \f(t,2)＝2.45 m，但最高点相对地面的竖直高度要大于2.45 m，故D错误。
A级 基础对点练
对点练1 平抛运动基本规律的应用
1.(多选)(2022·天津河西区模拟)以速度v0水平抛出一小球，如果从抛出到某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，则以下判断正确的是( )
A.此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小的2倍
B.此时小球的速度大小为4v0
C.此时小球的速度方向与位移方向相同
D.小球运动的时间eq \f(2v0,g)
答案 AD
解析 根据题意可得v0t＝eq \f(1,2)gt2，小球的运动时间为t＝eq \f(2v0,g)，小球的竖直分速度大小为vy＝gt＝2v0，即竖直分速度大小等于水平分速度大小的2倍，故A、D正确；此时小球的速度大小为v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(5)v0，故B错误；速度与水平方向的夹角正切值为tan α＝eq \f(vy,v0)＝2，位移与水平方向夹角的正切值为tan θ＝eq \f(y,x)＝1，显然α≠θ，即小球的速度方向与位移方向不同，故C错误。
2.(2023·广东深圳一模)环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污管正在向厂外的河道中满口排出污水，如图1所示。环保人员利用手上的卷尺测出这根管道的直径为10 cm，管口中心距离河水水面的高度为80 cm，污水入河道处到排污管管口的水平距离为120 cm，重力加速度g取10 m/s2，则该管道的排污量(即流量——单位时间内通过管道某横截面的流体体积)约为( )
图1
A.24 L/s B.94 L/s C.236 L/s D.942 L/s
答案 A
解析 根据平抛运动规律有x＝v t0，h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,0)，解得v＝3 m/s，根据流量的定义有Q＝eq \f(V,t)，而V＝SL＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))eq \s\up12(2)·vt，解得Q＝0.024 m3/s＝24 L/s，故A正确，B、C、D错误。
3.如图2所示，某一小球以v0＝20 m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点。在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)。以下判断中正确的是( )
图2
A.小球经过A点时竖直方向的速度为20eq \r(3) m/s
B.小球经过A、B两点间的时间为t＝2(eq \r(3)－1)s
C.A、B两点间的高度差h＝45 m
D.A、B两点间的水平位移相差(40eq \r(3)－20)m
答案 B
解析 根据平行四边形定则知vAy＝v0＝20 m/s，vBy＝v0tan 60°＝20eq \r(3) m/s，则小球由A到B的时间间隔Δt＝eq \f(vBy－vAy,g)＝eq \f(20\r(3)－20,10) s＝2(eq \r(3)－1)s，故A错误，B正确；A、B两点的高度差h＝eq \f(veq \\al(2,By)－veq \\al(2,Ay),2g)＝eq \f(1200－400,2×10) m＝40 m，故C错误；A、B两点间的水平位移相差Δx＝v0Δt＝20×2(eq \r(3)－1)m＝40(eq \r(3)－1)m，故D错误。
4.(多选)如图3所示，网球发球机水平放置在水平地面上方某处，正对着竖直墙面发射网球，两次发射的两球分别在墙上留下A、B两点印迹，测得OA＝AB＝h，OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则( )
图3
A.两球碰到墙面时的动量可能相同
B.两球碰到墙面时的动能可能相等
C.两球发射的初速度之比vOA∶vOB＝2∶1
D.两球从发射到碰到墙面瞬间运动的时间之比tA∶tB＝1∶eq \r(2)
答案 BD
解析 动量为矢量，由图可知，两球与墙碰撞时其速度方向不相同，故两球碰到墙面时的动量不可能相同，故A错误；从拋出到与墙碰撞的过程中，根据平抛运动规律可知，A的水平速度大，竖直速度小，B的水平速度小，竖直速度大，则两球速度大小可能相同，动能可能相同，故B正确；忽略网球在空中受到的阻力，则可将网球做的运动视为平抛运动，在竖直方向有h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,A)，2h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,B)，解得tA∶tB＝1∶eq \r(2)，故D正确；在水平方向有x＝vOAtA，x＝vOBtB，则vOA∶vOB＝eq \r(2)∶1，故C错误。
对点练2 类平抛运动
5.如图4所示，质量相同的A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
图4
A.A、B的运动时间相同
B.A、B沿x轴方向的位移相同
C.A、B运动过程中的加速度大小相同
D.A、B落地时速度大小相同
答案 D
解析 对于A球，aA＝g，根据h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,A)得tA＝eq \r(\f(2h,g))；对于B球，设斜面倾角为θ，aB＝gsin θ，在沿斜面向下方向上，有eq \f(h,sin θ)＝eq \f(1,2)gsin θ·teq \\al(2,B)，解得tB＝eq \r(\f(2h,gsin2θ))，可知tB＞tA，aA＞aB，故A、C错误；在x轴方向上，有x＝v0t，知B沿x轴的位移大于A沿x轴的位移，故B错误；因为只有重力做功，根据动能定理知mgh＝Ek－Ek0，因重力做功和初动能相同，所以末动能相等，所以A、B落地时的速度大小相等，速度方向不同(不共面)，故D正确。
对点练3 斜抛运动
6.(2022·湖北黄冈模拟)某同学去游乐场看到水池中喷泉的水流以与水面成相同夹角、大小相等的速度向四周喷出，刚学完曲线运动的该同学得出了以下结论(不计空气阻力)，其中正确的是( )
图5
A.初速度减半，水的水平射程也减半
B.水到达最高点的速度为0
C.初速度加倍，水在空中飞行时间加倍
D.水落回水面的速度都相同
答案 C
解析 设水喷出时的初速度大小为v0，与水面的夹角为θ，则水在空中飞行时间为t＝eq \f(2v0sin θ,g)，水的水平射程为x＝(v0cs θ)t＝eq \f(veq \\al(2,0)sin 2θ,g)，所以初速度加倍时，水在空中飞行时间加倍，初速度减半时，水平射程变为原来的四分之一，故C正确，A错误；水到达最高点时竖直方向的分速度为0，但水平方向的分速度不为0，故B错误；根据斜抛运动的对称性可知水落回水面的速度大小都相同，但方向不同，故D错误。
7.某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图6所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是( )
图6
A.相邻位置运动员重心的速度变化相同
B.运动员在A、D位置时重心的速度相同
C.运动员从A到B和从C到D的时间相同
D.运动员重心位置的最高点位于B和C中间
答案 A
解析 由于运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，故可以利用斜抛运动规律分析，根据Δv＝gΔt(其中Δt为曝光的时间间隔)知，相邻位置运动员重心速度变化相同，所以A项正确；A、D位置速度大小相等，但方向不同，所以B项错误；从A到B为5个时间间隔，而从C到D为6个时间间隔，所以C项错误；据斜抛运动规律，当A、D处于同一水平高度时，从A点上升到最高点的时间与从最高点下降到D点的时间相等，所以C点为轨迹的最高点，D项错误。
B级 综合提升练
8.(多选)如图7所示，从水平面上方O点水平抛出一个初速度大小为v0的小球，小球与水平面发生一次碰撞后恰能击中竖直墙壁上与O等高的A点，小球与水平面碰撞前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，不计空气阻力。若只改变初速度大小，使小球仍能击中A点，则初速度大小可能为( )
图7
A.2v0 B.3v0 C.eq \f(v0,2) D.eq \f(v0,3)
答案 CD
解析 设竖直高度为h，小球以初速度v0平抛时与地面碰撞一次，反弹后击中A点，在竖直方向先加速后减速，在水平方向一直匀速，根据运动的对称性原理，可知该过程运动的时间为平抛运动时间的两倍，则有t＝2eq \r(\f(2h,g))，水平方向的位移xOA＝v0t＝2v0eq \r(\f(2h,g))；设当平抛速度为v0′时，经与地面n次碰撞，反弹后仍击中A点，则运动的时间为t′＝n·2eq \r(\f(2h,g))，(n＝1，2，3…)水平方向的位移不变，则有v0′＝eq \f(xOA,t′)，解得v0′＝eq \f(v0,n)(n＝1，2，3…)，故当n＝2时v0′＝eq \f(v0,2)，当n＝3时
v0′＝eq \f(v0,3)，故A、B错误，C、D正确。
9.如图8所示，将A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经时间t1在空中P点相遇，已知P点与A、B两点的竖直高度为h。若A、B两小球仍从原位置同时抛出，抛出的速度均增大一倍，两球经时间t2在Q点相遇，下列说法正确的是( )
图8
A.t2＝t1，Q点在P点右上方
B.t2＝eq \f(1,2)t1，Q点在P点左上方
C.t2＝eq \f(1,2)t1，Q点在P点正上方eq \f(3h,4)处
D.t2＝eq \f(1,2)t1，Q点在P点正上方eq \f(h,4)处
答案 C
解析 两球同时水平抛出，均做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，所以两球始终在同一水平面上，当A小球以水平速度v1抛出，B小球以水平速度v2抛出时，有x＝v1t1＋v2t1，h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)；当两球抛出的速度均增大一倍时，有x＝2v1t2＋2v2t2，h′＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，对比可得t2＝eq \f(1,2)t1，h′＝eq \f(1,4)h，则Q点在P点正上方，距离P点为Δh＝h－h′＝eq \f(3,4)h，选项C正确，A、B、D错误。
10.(2022·北京房山模拟)跳台滑雪比赛时，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图9所示。测得A、B间的距离为75 m，斜坡与水平方向的夹角为37°。sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，试计算：
图9
(1)运动员在空中的飞行时间t；
(2)运动员在A处水平飞出时的速度大小vA；
(3)运动员着陆时的速度大小vB。
答案 (1)3 s (2)20 m/s (3)10eq \r(13) m/s
解析 (1)运动员的竖直位移大小为
y＝sAB·sin 37°＝eq \f(1,2)gt2
解得t＝3 s。
(2)运动员的水平位移大小为
x＝sAB·cs 37°＝60 m
运动员在A处水平飞出时速度大小为
vA＝eq \f(x,t)＝20 m/s。
(3)运动员在B点的竖直分速度大小为
vBy＝gt＝30 m/s
根据速度的合成可得
vB＝eq \r(veq \\al(2,A)＋veq \\al(2,By))＝10eq \r(13) m/s。
11.(2022·北京卷)体育课上，甲同学在距离地面高h1＝2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0＝8.0 m/s；乙同学在离地h2＝0.7 m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m＝0.3 kg，取重力加速度g＝10 m/s2。不计空气阻力。求：
图10
(1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
(2)排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；
(3)排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。
答案 (1)4.8 m (2)10.0 m/s 方向与水平方向夹角的正切值为0.75 (3)6.0 N·s
解析 (1)设排球在空中飞行时间为t，则
h1－h2＝eq \f(1,2)gt2
解得t＝0.6 s
则排球在空中飞行的水平距离x＝v0t＝4.8 m。
(2)乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小vy＝gt，得vy＝6.0 m/s
根据v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y))得v＝10.0 m/s
速度方向左偏下，设速度方向与水平方向夹角为θ，
则有tan θ＝eq \f(vy,v0)＝0.75。
(3)根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I＝2mv＝6.0 N·s。
12.(2022·山东枣庄模拟)滑雪比赛场地如图11甲，可简化为如图乙所示的示意图。在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以v0＝20 m/s的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为θ＝60°，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，C为过B点作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
图11
(1)运动员从A点运动到B点的时间；
(2)O、C两点间的距离。
答案 (1)1 s (2)40 m
解析 (1)A为轨迹的最高点，说明运动员在A点速度方向水平向右，设O到A时间为t1，
由斜抛运动规律，竖直方向上有
v0sin (θ－α)＝gt1
解得t1＝1 s
运动员从O到B过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，到B点时速度方向平行于斜面向下。
垂直斜面方向，有
v1＝v0sin θ，a1＝gcs α，t2＝eq \f(v1,a1)
解得t2＝2 s
则运动员从A点运动到B点的时间
Δt＝t2－t1＝1 s。
(2)解法1 设运动员落在斜面的D点，由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到B与B到D所用时间相等，平行于斜面方向
xOD＝v2·2t2＋eq \f(1,2)a2(2t2)2
v2＝v0cs θ，a2＝gsin α
小球在水平方向做匀速直线运动，C为OD中点，则x＝eq \f(1,2)xOD
代入数据解得x＝40 m。
解法2 小球在水平方向做匀速直线运动，有
xOB＝v0cs (θ－α)t2
由几何关系可得x＝eq \f(xOB,cs α)
解得x＝40 m。