2021-2022学年江苏省镇江市句容市九年级上学期数学期中试题及答案

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1. 小明在解一元二次方程时．只得到一个根，则被他漏掉的一个根是=____．
【答案】0
【解析】
【详解】－2x=0
x(x－2)=0
则
故答案为：0
2. 若1是关于x的一元二次方程x2＋3kx－10＝0的一个根，则k＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】把代入原方程即可得到答案.
【详解】解： 1是关于x的一元二次方程x2＋3kx－10＝0的一个根，


解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握“一元二次方程的解的含义”是解本题的关键.
3. 已知⊙O的半径为5cm，OP= 4cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在_____．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
【答案】圆内
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可得．
【详解】解：∵点到圆心的距离d=4<5=r，
∴该点P在内，
故答案为：圆内．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系．
4. 如图，在⊙O中，∠ABC=40°，则∠AOC=_____．
【答案】80°
【解析】
【分析】根据圆周角定理有∠ABC=∠AOC=40°，即可求出∠AOC．
【详解】解：∵∠ABC=∠AOC，
∴∠AOC=2∠ABC，
而∠ABC=40°，
∴∠AOC=2×40°=80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=65，求∠BCD=_____．
【答案】115
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD=180，代入求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180，
∵∠A=65，
∴∠BCD=115，
故答案为：115．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出∠A+∠DCB=180是解此题的关键．
6. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得△＝4+4k＞0，再解即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0，
△＝4+4k＞0，
解得：k＞-1．
故答案为：k＞-1．
【点睛】本题考查的是根的判别式，根据方程的根列不等式，解不等式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．
7. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．
【答案】13
【解析】
【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解：x2﹣6x+8＝0，
(x﹣2)(x﹣4)＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
8. 如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=42°，则∠BAD=_____．
【答案】48
【解析】
【详解】连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
由同弧所对的角相等，∴∠DBA=∠DCA=42°，
∴∠BAD=180°-90°-42°=48°，
故答案为48．
9. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=20°，则∠OCB=____．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】连接OB，根据OB是的切线得，根据得，根据，得，根据三角形内角和定理求出，则，即可得．
【详解】解：连接OB，
∵OB是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∴，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握切线的性质．
10. 已知圆锥的底面半径是，高是，则这个圆锥的侧面展开图的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．
【详解】∵圆锥的底面半径是3，高是4，
∴圆锥的母线长为5，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π.
故答案为:15π.
【点睛】考查圆锥侧面展开图的面积，掌握圆锥侧面展开图面积的计算公式是解题的关键.
11. 已知，实数a满足，则=_____．
【答案】-2020
【解析】
【分析】根据题意得： ，从而得到 ， ，进而得到 ，再代入即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴．
故答案为：-2020
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，根据题意得到 是解题的关键．
12. 小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据矩形的性质得，，即，，即可得．
【详解】解：如图，设点M为DE的中点，点N为FC的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值，
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三条边的关系，中线长定理，解题的关键是掌握中线长定理．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．）
13. 一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先求出“△”的值，再判断即可．
【详解】解：∵x2+3x+4=0，
∴△=32﹣4×1×4=-7＜0，
∴方程没有实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．
14. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．
【详解】解：
移项得：
方程两边同时加上一次项系数一半平方得：
配方得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
15. 疫情期间，某口罩厂一月份的产量为50万只，由于市场需求量不断增大，三月份的产量提高到72万只，设该厂二、三月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一月份的产量×（1+平均增长率）=三月份的产量，即可列出方程．
【详解】由题意得
故选A
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系列出方程．
16. 如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝12，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值是（ ）
A. 10B. 16C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】过点C作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得 ，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作OC⊥AB于点C，连接OB，
∴ ，
∵⊙O的半径r＝10，
∴OB=10，
∴ ，
根据垂线段最短可得当点M与点C重合时，OM最小，最小值为8．
故选：D
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握垂径定理，勾股定理，垂线段最短是解题的关键．
17. 如图，一把直尺，60°的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为60°角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点B为量角器与刻度尺的接触点，刻度为7，则该量角器的直径是（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，连接OA，OB，OC，利用切线定理可知△AOC与△AOB为直角三角形，进而可证明Rt△AOC≌Rt△AOB，根据三角板的角度可算出∠OAB的度数，借助三角函数求出OB的长度．
【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC，
∵三角板的顶角为60°，
∴∠CAB=120°，
∵AC，AB，与扇形分别交于一点，
∴AC，AB是扇形O所在圆的切线，
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
在Rt△AOC与Rt△AOB中，

∴Rt△AOC≌Rt△AOB，
∴∠OAC=∠OAB=60°，
由题可知AB=7－4=3，
∴OB=AB•tan60°= ，
∴直径为，
故选：D．
【点睛】本题考查，圆的切线定理，全等三角形的判定，三角函数，在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．
18. 如图，将边长为6个单位的正方形ABCD沿其对角线BD剪开，再把△ABD沿着DC方向平移，得到△A′B′D′，当两个三角形重叠部分的面积为4个平方单位时，它移动的距离DD′等于（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断重叠部分的形状，然后设DD'=x，进而表示D'C等相关的线段，最后通过重叠部分的面积列出方程求出x的值即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD和△BCD是等腰直角三角形，
如图，记A'D'与BD的交点为点E，B'D'与BC的交点为F，
由平移的性质得，△DD'E和△D'CF为等腰直角三角形，
∴重叠部分的四边形D'EBF为平行四边形，
设DD'=x，则D'C=6-x，D'E=x，
∴S▱D'EBF=D'E•D'C=（6-x）x=4，
解得：x=3+或x=3-，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平移的性质，通过平移的性质得到重叠部分四边形的形状是解题的关键．
三、解答题（本大题共有9题，共78分．）
19. 解下列方程
（1）（配方法）
（2）（公式法）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）将方程进行移项配方得，开方计算即可得；
（2）将方程移项得，则，，，进行解答即可得；
（3）将方程进行去括号移项得，再因式分解得，即可得；
（4）将方程进行去括号移项得，再因式分解得，即可得．
【小问1详解】
解：
，
，．
【小问2详解】
解：
，，
，．
小问3详解】
解：
，．
【小问4详解】
解：
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
20. 已知关于的方程．
（1）小明同学说：“无论为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？
（2）若方程的一个根是－1，求另一根及的值．
【答案】（1）有，理由见解析
（2）方程另一根的值为，k的值为1
【解析】
【分析】（1）由可知无论为何实数，方程总有实数根；
（2）将代入方程求出k的值，然后根据求解方程的另一根即可．
【小问1详解】
解：有道理，理由如下
∵
∴无论为何实数，方程总有实数根．
【小问2详解】
解：将代入方程得
解得
∵
∴
∴另一根的值为，k的值为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别，根与系数之间的关系．解题的关键在于熟练掌握判根公式，两根之和与系数的关系．
21. 已知关于x的方程为常数）有两个实数根.
（1）若，则的值是 ，方程的解是 ；
（2）若，求的值；
（3）用含的代数式表示，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1）36，
（2）25 （3）C
【解析】
【分析】（1）先把，代入，可得，再代入原方程，再利用因式分解法，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系，再利用完全平方公式的变形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴方程为，
∴ ，
解得：；
【小问2详解】
解：∵关于x的方程为常数）有两个实数根，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴；
【小问3详解】
解：∵关于x的方程为常数）有两个实数根，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
22. 在⊙O中，弦与直径相交于点P．
（1）若，，则= ；= ；
（2）若的度数为m度、的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论
【答案】（1），
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠BCD=38°，再根据圆周角定理可得，然后由直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=52°，即可求解；
（2）根据的度数为m度、的度数为n度，可得，再根据三角形外角的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴∠BCD=∠APC-∠ABC=38°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠BAD=52°，
∵∠BPD=∠APC=100°，
∴∠CDB=180°-∠ABD-∠BPD=28°；
【小问2详解】
解：，理由如下：
证明：∵的度数为m度、的度数为n度，
∴，
∵ ，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）求扇形MAC的面积．（结果保留π）
【答案】（1）M（2，1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）根据扇形的面积公式，即可求得．
【小问1详解】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）；
故答案：（2，1）．
【小问2详解】
连接MA、MC，如图所示：
.
由作图知，∠AMC=90°，
所以扇形PAC的面积为：
【点睛】本题考查了扇形面积计算以及垂径定理，正确确定圆心是解题的关键．
24. 某学校有一长方形空地ABCD，长80米，宽40米，计划在这块空地上划出如图所示宽度相等的E形区域栽种花圃，已知栽种花圃区域的面积为1700平方米，求该花圃的宽度x．
【答案】该花带的宽度为10米
【解析】
【分析】由S阴影=S矩形ABCD-S空白列出方程，解方程即可求出宽度x．
【详解】解：根据题意得：（80﹣3x）（40﹣x）＝80×40-1700
化简得：3
解之得或（舍去）
∵x＜40，
∴（不符合题意，舍去），
答：该花带的宽度为10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据“S阴影=S矩形ABCD-S空白”列出方程是解决问题的关键．
25. 如图，已知AB是⊙P的直径，点在⊙P上，为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，2∠B＋∠DAB＝180°

（1）试说明：直线为⊙P的切线．
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接PC，则∠APC＝2∠B，可证PC∥DA，证得PC⊥CD，则结论得证；
（2）连接AC，根据∠B=30°，等腰三角形外角性质∠CPA=2∠B=60°，再证△APC为等边三角形，可求∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，AD＝2，∠ADC＝90°，利用30°直角三角形性质得出AC=2AD=4，然后根据勾股定理CD=即可．
【小问1详解】
连接PC，
∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∴∠APC＝2∠B，
∵2∠B+∠DAB＝180°，
∴∠DAP+∠APC＝180°，
∴PC∥DA，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DCP＝90°，
即DC⊥CP，
∴直线CD为⊙P的切线；
【小问2详解】
连接AC，
∵∠B=30°，
∴∠CPA=2∠B=60°，
∵AP=CP，∠CPA=60°，
∴△APC为等边三角形，
∵∠DCP=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，
∵AD＝2，∠ADC＝90°，
∴AC=2AD=4，
∴CD=．
【点睛】本题考查切线的判定、平行线判定与性质，勾股定理、等腰三角形性质，外角性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
26. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元
【解析】
【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代入（25-x）中即可求出结论．
【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键．
27. 【提出问题】如图①，已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短．
（1）小明给出下列解答，请你补全小明的解答．
小明的解答
过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．
理由：不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ．
∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON，
∴ ．
又ON＝OM+MN；
∴OP+PQ＞OM+MN．
又 ，
∴ ．
（2）【操作实践】如图②，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出满足条件的某一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹并用水笔加黑描粗）
（3）【应用尝试】如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AB＝8，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是 ．
【答案】（1）OP+PQ＞ON； OP＝OM；PQ＞MN
（2）见解析 （3）1＜r＜4
【解析】
【分析】（1）利用两点之间线段最短解答即可；
（2）过点A作l的线AB，截取BC=MN，以AC为直径作⊙O；
（3）作AC的垂直平分线，交AC于F，交AB于E，以AF为直径作圆，过点A和点E作⊙O′，使⊙O′切EF于E，求出⊙O和⊙O′的半径，从而求出半径r的范围．
【小问1详解】
理由：不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ．
∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON，
∴OP+PQ＞ON．
又ON=OM+MN；
∴OP+PQ＞OM+MN．
又 OP=OM，
∴PQ＞MN．
故答案为：OP+PQ＞ON， OP=OM，PQ＞MN；
【小问2详解】
解：如图，
⊙O是求作的图形；
【小问3详解】
（3）如图2，

作AC的垂直平分线，交AC于F，交AB于E，以AF为直径作圆，过点A和点E作⊙O′，使⊙O′切EF于E，
∴∠FEO′=∠AFE=90°，
∴AF∥EO′，
∴∠AEO′=∠BAC=60°，
∵AO′=EO′，
∴△ADO′等边三角形，
∴AE=AO′，
∵AB=8，∠B=30°，
∴AC=AB=4，
∴AF=2，
∴⊙O的半径是1，
∴AE=AB=4，
∴1＜r＜4，
故答案是：1＜r＜4．
【点睛】本题考查了与圆的有关位置，等边三角形判定和性质，尺规作图等知识，解决问题的关键是找出临界位置，作出图形．