2021-2022学年江苏省苏州市昆山市九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省苏州市昆山市九年级上学期数学期中试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一组数据：1，3，3，4，5，它们的极差是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据极差定义，即一组数据中最大数与最小数之差计算即可；
【详解】极差是；
故选C．
【点睛】本题主要考查了极差的计算，准确计算是解题的关键．
2. 一元二次方程（x＋2）（x﹣3）＝0的根是（ ）
A. x1＝2，x2＝3B. x1＝﹣2，x2＝3
C. x1＝﹣2，x2＝﹣3D. x1＝2，x2＝﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解法解方程即可；
【详解】（x＋2）（x﹣3）＝0，
或，
∴，；
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
3. 在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）
A. 7小时B. 7.5小时C. 8小时D. 9小时
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数的定义列式计算即可求解．
【详解】解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7=8（小时）．
故小丽该周平均每天的睡眠时间为8小时．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
4. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（ ）
A. （x＋2）2＝2B. （x﹣2）2＝2C. （x＋2）2＝10D. （x﹣2）2＝10
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
【详解】，
移项，得，
配方，得，
即,
故选：.
【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数．
5. 2020年6月1日《苏州市生活垃圾分类管理条例》正式实施．为了配合实施垃圾分类，让同学们了解垃圾分类的相关知识．八年级某班甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了年级“垃圾分类知识”预赛，四个小组的平均分相同，下面表格为四个小组的方差．若要从中选出一个各成员实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，那么应选（ ）
A. 甲组B. 乙组C. 丙组D. 丁组
【答案】D
【解析】
【分析】在平均分数相同的情况下，方差越小，波动越小，成绩越稳定，即可得出选项．
【详解】解：由图标可得：，
∵四个小组的平均分相同，
∴若要从中选出一个实力更平均的小组代表年级参加学校决赛，应选择丁组，
故选：D．
【点睛】题目主要考查了方差，理解方差反映数据的波动程度，当平均数相同时，方差越大，波动性越大是解题关键．
6. 为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（ ）
A. （x﹣100）[300＋4（200﹣x）]＝30000
B. （x﹣200）[300＋2（100﹣x）]＝30000
C. （x﹣100）[300＋2（200﹣x）]＝30000
D. （x﹣200）[300＋4（100﹣x）]＝30000
【答案】C
【解析】
【分析】根据每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，先分别求出每个电子产品的利润为（x-100）元，根据每降2元多售4件，就是每降1元多售两件求出降价的钱数（200-x）可求增加的数量为2（200-x）,可得每天销售的件数，根据公式列出方程即可．
【详解】解：设这种电子产品降价后的销售单价为x元，
每个电子产品的固定成本为100元，每个电子产品获利为（x-100）元，
每个电子产品降价为(200-x)元，增加件数为，
每天可售出这种电子产品的件数为，
根据题意得．
故答案为：C．
【点睛】本题考查销售利润的应用题，掌握列方程解应用题的方法与步骤，解题关键是每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，每个电子产品的利润=售价-固定成本，每天销售的件数=原来每天销售件数+增加销售部分．
7. 关于x的一元二次方程x2﹣2x＋2＝3k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A. k＞B. k＞1C. k＜1D. k＞
【答案】A
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到Δ=b2-4ac=4-4（2-3k）＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：方程整理得：x2﹣2x＋2-3k=0，
根据题意，得Δ=b2-4ac=4-4（2-3k）＞0，
解得k＞．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
8. 已知二次函数y＝﹣x2＋6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是（ ）
A. 0＜y＜3B. 0＜y≤4C. 3＜y≤4D. ﹣5≤y≤4
【答案】B
【解析】
【分析】先分析函数的基本性质：开口方向向下，有最大值，求出对称轴为，此时取得最大值，根据x的取值范围，可得时，距离对称轴较远，取得最小值，即可得出函数值的取值范围，得出选项．
【详解】解：，开口方向向下，有最大值，
对称轴为，
当时，；
在范围内，在时，函数值最小，
∴当时，；
∴函数值的取值范围为：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及在特定范围内函数值的范围，理解题意，抓住对称轴处的特殊性是解题关键．
9. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A 40米B. 30米C. 25米D. 20米
【答案】A
【解析】
【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，
故选：
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，△AEF面积为y，则y关于x的函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理以及面积法求得AB、CD、AD、BD的长，分0【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=，
∵ABCD=ACBC，
∴CD==2.4，AD=1.8，BD=AB-AD=3.2，
当0∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴EF∥CD，
∴△AEF△ADC，
∴，即，
∴EF=，
∴y==(0当1.8同理可证△BEF△BDC，
∴，即，
∴EF=，
∴y==(1.8综上，符合题意的函数关系的图象是D；
故选：D．
【点睛】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应的位置上
11. 二次函数y=+2的顶点坐标为_________．
【答案】（1，2）.
【解析】
【详解】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2）.
故答案为（1，2）．
考点：二次函数的性质．
12. 已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的一个根是﹣1，则k=____．
【答案】-4
【解析】
【分析】把x=-1代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的一个根是-1，
∴（-1）2-3×（-1）+k=0，
解得k=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13. 若方程（m＋1）x|m|＋1﹣2x＝5是关于x的一元二次方程，则m的值为____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
【详解】解：∵方程（m＋1）x|m|＋1﹣2x＝5是关于x的一元二次方程，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
14. 如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在9×9个方格的正方形雷区中，随机埋了10颗地雷，每个方格内最多只能埋1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线正方形内），A区域外的部分记为B区域．已知在A区域有3颗地雷，则小王随机点击B区域一个方格遇到地雷的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得B区域一共有72个方格，共有7颗地雷，然后根据概率计算公式即可求解．
【详解】解：，
∴B区域一共有72个方格，
∵一共有10颗地雷，A区域有3颗地雷，
∴B区域共有7颗地雷，
∴随机点击B区域一个方格遇到地雷的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率求解公式，解题的关键是根据题意得出B区域的方格数量和地雷的数量．
15. 小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2＋k（a≠0）图像时，列出了下面表格：
则m的值是____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．
【详解】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x=1，
∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值，
∵当x=3时，y=6，
∴当x=-1时，m=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．
16. 把二次函数y=x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），原抛物线相应的函数表达式是_____________．
【答案】y=x2﹣6x+10．
【解析】
【分析】把点（-2，0）沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后，即可得原抛物线的顶点坐标为（3，1），再根据顶点式写出原抛物线解析式，化为一般式即可.
【详解】把点（﹣2，0）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（3，1），
即二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，1），
所以原抛物线相应的函数表达式为y=（x﹣3）2+1，即y=x2﹣6x+10．
故答案为：y=x2﹣6x+10．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17. 如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形则矩形A与矩形B面积和的最小值是____．
【答案】
【解析】
【分析】设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，根据图形表示出矩形A与矩形B面积，求出面积和的表达式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，
根据图中各边关系可得：
，
，
∴，
当时，，符合题意，
∴矩形A与矩形B面积和的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查了矩形的性质、二次函数的应用及最值问题，理解题意，表示出两个矩形的面积是解题关键．
18. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，有以下结论：①abc＜0；②2a+b=0；③若方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜-2＜4＜x2．其中一定正确的是____．（填序号）
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，-＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-4），
若方程a（x+2）（4-x）=-2，即方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜-2＜4＜x2，
故③正确；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
三、解答题：本大题共10小题，共76分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卷相应的位置上．
19. 解下列方程：
（1）x2﹣4x＝1
（2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）
【答案】（1），；（2），；
【解析】
【分析】（1）利用配方法计算即可；
（2）利用提取公因式法计算即可；
【详解】（1），
，
，
，
∴，；
（2），
，
，
∴或，
∴，；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确利用配方法和因式分解法计算是解题的关键．
20. 已知二次函数y＝x2＋6x＋k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图像经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图像顶点在x轴上，求k的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据时，二次函数过原点，即可求解；
（2）将二次函数化为顶点式，当二次函数的图像顶点在x轴上时，即可求解．
【详解】解：（1）∵该二次函数的图像经过原点
∴
∴
（2）∵该二次函数的图像顶点在x轴上
∴
∴
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系是解答此题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0（a为常数）
（1）当a＝2时，求出该一元二次方程实数根；
（2）若x1，x2是这个一元二次方程两根，且x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，求a的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）将a＝2代入关于x的一元二次方程2x2﹣3x＋1＝0，利用公式法解一元二次方程，先求出＞0，然后代入公式计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0，解得，根据x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，可求a＞1，然后利用勾股定理列出方程，用直接开平方法求解即可．
【详解】解：（1）a＝2时关于x的一元二次方程2x2﹣3x＋1＝0，
＞0，
∴，
∴，；
（2）2x2﹣（a＋1）x＋a﹣1＝0，
因式分解得，
化为，
解得，
x1，x2是以为斜边的直角三角形两直角边，
∴a＞1
根据勾股定理，
解得，
∴（舍去）．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，公式法与因式分解法，勾股定理，直接开平方法，掌握一元二次方程的解法与步骤，勾股定理，注意字母的范围是解题关键．
22. 一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字-1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀．
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为 ；
（2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由）
【答案】（1）；（2）小强设计的游戏规则不公平．理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，再求出甲和乙获胜的概率，比较即可．
【详解】解：（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为，
故答案为：；
（2）小强设计的游戏规则不公平，理由如下：
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵＞，
∴小强设计的游戏规则不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 2020年东京奥运会于2021年7月23日至8月8日举行，跳水比赛是大家最喜爱观看的项目之一，其计分规则如下：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0～10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3
在比赛中，某运动员一次试跳后的打分表为：
（1）7名裁判打分的众数是 ；中位数是 ．
（2）该运动员本次试跳的得分是多少？
【答案】（1）7.5,8.0；（2）该运动员本次试跳得分为84分．
【解析】
【分析】（1）根据众数（一组数据中心出现次数最多的数据叫做众数）、中位数（一组数据按照从小到大的顺序排列，找出最中间的一个数或最中间两个数的平均数）的定义即可得；
（2）根据运动员试跳得分公式列出算式计算即可．
【详解】解：（1）7.5出现的次数最多，7名裁判打分的众数是7.5；
将这组数据按照从小到大的顺序排列得：7.5、7.5、7.5、8.0、8.5、8.5、9.0，根据中位数的定义可得，中位数为8.0；
故答案为：7.5,8.0；
（2）根据试跳得分公式可得：
（分），
故该运动员本次试跳得分为84分．
【点睛】题目主要考查平均数、众数和中位数的定义，理解三个定义及题意中公式是解题关键．
24. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解．
【解析】
【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；
（2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为，即可求解．
【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，
故答案是：15；
（2）不能，理由如下：
第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=，
根据题意，得，
解得：不是整数，不合题意，
所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为是解题的关键．
25. 如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）点B坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）点P是BC上方抛物线上的一点，点P的横坐标为2，求四边形OBPC的面积．
【答案】（1），；（2）四边形OBPC的面积为．
【解析】
【分析】（1）分别将，代入二次函数解析式求解，然后根据点在坐标系中的位置即可确定点的坐标；
（2）过点P作PD⊥y轴，将代入函数解析式确定点P、点D的坐标，然后根据图象中用梯形的面积减去三角形的面积即可得．
【详解】解：（1）将代入函数解析式中可得：
，
解得：，，
∴，；
当时，，
∴点C的坐标为；
故答案为：，；
（2）如图所示：过点P作PD⊥y轴，交y轴于点D，
将代入函数解析式可得：
，
点P的坐标为，D的坐标为，
，
，
，
．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系，理解题意，结合图形找准图形面积的求法是解题关键．
26. 对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3
（1）计算：2※（﹣1）＝ ；（﹣1）※2＝ ；
（2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值；
（3）若x※2与3※x的值相等，求x的值．
【答案】（1）-3，6；（2）；（3）x的值为1或或4．
【解析】
【分析】（1）根据新定义运算方法进行计算即可；
（2）先解一元二次方程，然后利用新定义进行计算即可；
（3）对x的范围进行讨论：当时，；当时，；当时，，然后分别解方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
，
故答案为：-3，6；
（2），
，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（3）当时，根据，
可得：，
解得：，（舍去）；
当时，根据，
可得：，
解得：，（舍去）；
当时，根据，
可得：，
解得：（舍去），；
综上所述，x的值为1或或4．
【点睛】题目主要考查解一元二次方程的公式法、因式分解法，理解题意，掌握题目中新的运算法则是解题关键．
27. 某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【解析】
【分析】（1）先根据PA的长为x米，PB=2PA，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；
（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．
【详解】解：（1）∵PA=x米，PB=2PA，PB+PC=6米，
∴PB=2x米，PC=（6-2x）米，
由题意，得：y=PA•PB+PA•PC+PB•PC
=x•2x+x（6-2x）+×2x（6-2x）
=x2+3x-x2+6x-2x2
=-2x2+9x，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；
（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-）2+，
∵-2＜0，
∴当x=时，y有最大值，最大值，
当y取得最大值时，需要总费用为：×（0.5×60+10）=405（元），
∵405＜410，
∴完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．
28. 如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2＋bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x＋2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ；
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
【答案】（1），；（2）最大值为，；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据直线方程求得点坐标，再根据求得点坐标，代入抛物线解析式，即可求解；
（2）过点作并延长交于点，过点作，设交于点，可得，得到，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求解；
（3）根据点坐标求得，分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）由直线y＝x＋2可得，∴
∵，∴，即
将、代入抛物线解析式可得
，解得
故答案为：，
（2）由（1）得抛物线解析式为
过点作并延长交于点，过点作，设交于点，如下图：
则，
又∵
∴
又∵
∴
∴，即
联立直线与抛物线可得
，即
解得，
，即，
∴，
∴，即的最大值，即是的最大值
设，则
∵，
∴时，最大，为
此时，
故答案为：最大值为，，
（3）由（2）得，
，
又∵，都为锐角
∴
当在点左侧时，，此时以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE不相似，所以在点右侧，
设，则
由题意可得：，，
当时，，即，解得，此时
当时，，即，解得，此时
综上所述，或
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握并灵活运用相关基本性质进行求解．甲
乙
丙
丁
方差
3.6
3.5
4
3.2
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
m
3
2
3
6
……
难度系数
裁判
1#
2#
3#
4#
5#
6#
7#
3.5
打分
7.5
8.5
7.5
9.0
7.5
8.5
8.0