2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期数学期末试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程有实数根的是（ ）
A. x2＋x＋1＝0B. x2－x－1＝0
C. x2－2x＋3＝0D. x2－x＋1＝0
【答案】B
【解析】
【分析】计算一元二次方程的判别式，逐一判断每个选项，即可．
【详解】A. x2＋x＋1＝0，∆=12-4×1×1=-3＜0，该方程没有实数根，
B. x2－x－1＝0，∆=(-1)2-4×1×(-1)=5＞0，该方程有实数根，
C. x2－2x＋3＝0，∆=(-2)2-4×1×3=-8＜0，该方程没有实数根，
D. x2－x＋1＝0，∆=(-)2-4×1×1=-2＜0，该方程没有实数根，
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握∆≥0，一元二次方程有实数根，∆＜0，一元二次方程没有实数根，是解题的关键．
2. 一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有－1、0、2和3．从中随机摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：2÷4＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种等可能的结果，那么事件A的概率P(A)＝．
3. 对于一组数据－1，2，－1， 4，下列结论不正确的是（ ）
A. 平均数是1B. 众数是－1C. 中位数是1.5D. 方差是4.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】这组数据的平均数是：（−1−1＋4＋2）÷4＝1；
−1出现了2次，出现的次数最多，则众数是−1；
把这组数据从小到大排列为：−1，−1，2，4，中位数是第2、3个数的平均数，则中位数是(−1＋2)÷2＝0.5；
这组数据的方差是：×[（−1−1）2＋（−1−1）2＋（4−1）2＋（2−1）2]＝4.5；
∴结论不正确的是C，
故选：C．
【点睛】此题考查了方差、平均数、众数和中位数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2＝[（x1−）2＋（x2−）2＋…＋（xn−）2]；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4. 抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（ ）
A. 直线x＝－1B. 直线x＝1C. 直线x＝2D. 直线x＝－2
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用顶点式的特殊性可求对称轴．
【详解】∵抛物线y=（x＋2）2＋1的顶点坐标是：（-2，1），
∴对称轴是：直线x=-2，
故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线的对称轴，属于二次函数的基础知识，难度较小．
5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A. 1．24米B. 1．38米C. 1．42米D. 1．62米
【答案】A
【解析】
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
6. 如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（ ）
A. 8cmB. 12cmC. 30cmD. 50cm
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：∵BC∥PQ，
∴△ABC∽△APQ，
∴，
∵AB：AP=2：5，AQ=20cm，
∴ ，
解得：AC=8cm，
∴CQ=AQ-AC=20-8=12（cm），
故选B．
7. 二次函数y=x2－(m－1)x+4的图像与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A. 1或－3B. 5或－3C. －5或3D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵二次函数y=x2-（m-1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=b2-4ac=[-（m-1）]2-4×1×4=0，
∴（m-1）2=16，
解得：，
∴m1=5，m2=-3．
∴m的值为5或-3．
故选B．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点．
8. 有一个三角形木架三边长分别是15cm，20cm，24cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm和24cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A. 一种B. 两种C. 三种D. 四种
【答案】B
【解析】
【分析】长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长24cm的木条不能作为一边，设从24cm的一根上截下的两段长分别为xcm和ycm，且x+y≤24cm；长12cm的木条不能与15cm的边对应，否则x+y>24cm，故分12cm的木条与20cm的边对应和与24cm的边对应讨论即可求解．
【详解】解：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长24cm的木条不能作为一边，
设从24cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤24），
由于长12cm的木条不能与15cm的一边对应，否则x+y＞24cm，
当长12cm的木条与20cm的一边对应时，则，
解得：，此时，故满足；
当长12cm的木条与24cm的一边对应时，则，
解得：，此时，故满足；
综上所述，共有2种截法，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例计算即可．
9. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A. 2＋B. ＋C. ＋D. 2＋
【答案】D
【解析】
【分析】作点C关于OB对称点点A，连接AD与OB的交点即为E，此时CE+ED最小，进而得到阴影部分的周长最小，再由勾股定理求出AD的长，由弧长公式求出弧CD的长．
【详解】解：阴影部分的周长=CE+ED+弧CD的长，由于C和D均为定点，E为动点，故只要CE+ED最小即可，作C点关于OB的对称点A，连接DA，此时即为阴影部分周长的最小值，如下图所示：
∵A、C两点关于OB对称，∴CE=AE，
∴CE+DE=AE+DE=AD，
又D为弧BC的中点，∠COB=60°，
∴∠DOA=∠DOB+∠BOA=30°+60°=90°，
在Rt△ODA中，，
弧CD的长为，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形求线段的最小值，弧长公式，勾股定理等，本题的关键是找出阴影部分周长最小值时点E的位置进而求解．
10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点D（－1，2），与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），如图所示，有以下结论：①b2－4ac＞0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，其中结论正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2 个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与x轴有两个交点可以得到b2－4ac＞0；设出二次函数的顶点式，再和一般式比较系数，将b，c均用含有a的代数式表示，再代入即可判断出②和③是否正确；ax2＋bx＋c－2＝0可以转化为y=ax2＋bx＋c和y=2的交点问题即可求解．
【详解】解：对于①：二次函数与x轴有两个交点，故△= b2－4ac＞0，故①正确；
对于②：∵与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），∴A点到对称轴x=-1的距离在1到2之间，根据对称性，二次函数与x轴的另一个交点到对称轴x=-1的距离也在1到2之间，故此时当x=1时，a+b+c<0，故②正确；
对于③：设抛物线的顶点式为：y=a(x+1)²+2=ax²+2ax+a+2，与一般式y=ax2＋bx＋c比较系数可知：b=2a，c=a+2，故此时c-a=a+2-a=2，故③正确；
对于④：∵y=ax2＋bx＋c的最大值为2，∴y=ax2＋bx＋c和y=2的交点只有1个，故方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像性质，掌握二次函数的系数与图形之间的关系是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 已知，则＝______．
【答案】
【解析】
【分析】先把式子变成，再代值计算即可得出答案．
【详解】∵，
∴
=
=
，
故答案是：
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12. 想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为______．（填“普查”或“抽样调查”）
【答案】抽样调查
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，即可得到答案．
【详解】想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，人数众多、范围较广，适合的调查方式为：抽样调查．
故答案是：抽样调查．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
13. 某小区今年2月份绿化面积为6400m2，到了今年4月份增长到8100m2，假设绿化面积月平均增长率都相同，则增长率为___________．
【答案】12.5%．
【解析】
【分析】设增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设增长率为x，
根据题意得：6400（1+x）2=8100，即（1+x）2=，
开方得：1+x=，
解得：x1==12.5%，x2=（舍去），
则增长率为12.5%．
故答案为：12.5%．
考点: 一元二次方程的应用．
14. 若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是S甲2＝3.6，S乙2＝4.6，S丙2＝6.3 ，S丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是______．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义求解可得．
【详解】∵S甲2＝3.6，S乙2＝4.6，S丙2＝6.3 ，S丁2＝7.3，且平均数相等，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故答案是：甲．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15. 若圆锥的母线为10，底面半径为6，则圆锥的侧面积为______．
【答案】60π．
【解析】
【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
试题解析：圆锥的侧面积=×10×2π×6=60π．
考点: 圆锥的计算.
16. 设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r =______．
【答案】1.5
【解析】
【分析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．
【详解】∵直角三角形的斜边=，
∴三角形的外接圆半径R=2.5，内切圆半径r=(3＋4−5)÷2＝1，
∴R−r＝1.5，
故填1.5．
【点睛】本题主要考查勾股定理，三角形的外接圆和内切圆半径，掌握直角三角形外接圆半径等于其斜边的一半，其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，是解题的关键．
17. 如图，C、D是半圆O上两点，AB是直径，若AD＝CD＝2，CB＝4，则半圆的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】延长AD、BC交于点E，连接BD、AC，证明△ABD≌△EBD，进而求出AE=4，设圆的直径为2r，在Rt△AEC和Rt△ABC中，根据勾股定理得出建立方程求出半径即可．
【详解】解：如下图所示，延长AD、BC交于点E，连接BD、AC，
∵AD=CD，∴∠ABD=∠CBD，
∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，
在△ABD和△EBD中：
，∴△ABD≌△EBD(ASA)，
∴AB=BE，DE=AD=2，
设圆的直径AB=BE=2r，则EC=EB-BC=2r-4，
在Rt△AEC中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
解得：(负值舍去)，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形全等的性质和判定，勾股定理等相关知识点，本题的关键是延长AD、BC交于点E，再根据勾股定理建立方程求解．
18. 在平面直角坐标系xOy中，设点P的坐标为（n－1，3n＋2），点Q是抛物线y=－x2＋x＋1上一点，则P，Q两点间距离的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出点P所在直线的解析式，再求出与点P所在直线平行的直线解析式，然后求出这两条直线间的距离，即可求解．
【详解】∵点P的坐标为（n－1，3n＋2），
∴设x= n－1，y=3n＋2，
∴y=3x+5，即：点P在直线y=3x+5上，
设与直线y=3x+5平行的直线为：y=3x+b，
当直线y=3x+b与抛物线y=－x2＋x＋1相切时，
则3x+b=－x2＋x＋1，即：x2+2x+b-1=0，
∴∆=，解得：b=2，
∴与直线y=3x+5平行且和抛物线相切的直线为：y=3x+2，此时，直线y=3x+5与直线y=3x+2的距离就是P，Q两点间距离的最小值．
设直线y=3x+5与y轴的交点为C，直线y=3x+2与x，y轴的交点分别为F，E，如图所示，则C(0，5)，E(0，2)，F(，0)，
∴CE=3，OE=2，OF=，EF=，
过点C作CD⊥EF于点D，
∵∠CDE=∠FOE=90°，∠CED=∠FEO，
∴∆CDE~∆FOE，
∴，即，解得：CD=，
∴P，Q两点间距离的最小值为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查一次函数图像和二次函数图像的综合，以及相似三角形的判定和性质，把两点间的最小距离化为两直线间的距离，是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）x2＋4x－1＝0；
（2）x2＋10＝7x．
【答案】（1）x1=-2，x2=--2；（2）x1=2，x2=5
【解析】
【分析】（1）先把常数项移到等号右边，再配方，即可求解；
（2）利用“十字相乘法”分解因式，即可求解．
【详解】（1）x2＋4x－1＝0
x2＋4x＝1
x2＋4x+4＝5
(x＋2)2＝5
x＋2=±
∴x1=-2，x2=--2；
（2）x2＋10＝7x
x2-7x＋10＝0
(x-2)(x-5)=0
x-2=0或x-5=0
∴x1=2，x2=5．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法和十字相乘法，是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．
【答案】（1）m≥4 （2）m=4
【解析】
【详解】试题分析：（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；（2）直接利用根与系数的关系解答．
试题解析：（1）由题意得，△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≥4；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0的两个实数根为x1，x2，∴x1x2=2m+1，x1+x2=6，∴x1x2+x1+x2=2m+1+6=15，解得m=4．
21. 甲、乙两个家庭准备到美丽的太湖景区游玩，各自随机选择到“灵山”、“拈花湾”、“鼋头渚”三个景点旅游．假设上述三个景点中的每一个景点被选到的可能性相同．
（1）求甲家庭选择到“拈花湾”旅游的概率；
（2）求甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中的同一个景点旅游的概率．（用列表法或树状图法）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接用概率公式求解可得；
（2）记选择到“灵山”、“拈花湾”、“鼋头渚”三个景点旅游的分别为A、B、C，列表得出所有等可能结果，从中找到甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中的同一个景点旅游的结果数，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）甲家庭选择到“拈花湾”旅游的概率为：1÷3=；
（2）记选择到“灵山”、“拈花湾”、“鼋头渚”三个景点旅游的分别为A、B、C，
列表得：
由表格可知，共有9种等可能性结果，其中甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中的同一个景点旅游的有3种结果，
∴甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中的同一个景点旅游的概率为：P＝3÷9＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求事件A的概率．
22. 在新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的教职工共有 名；
（2）表中a＝ ，扇形统计图中“C”部分所占百分比为 %；
（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为 °；
（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？
【答案】（1）50；（2）4，32；（3）144；（4）21600
【解析】
【分析】（1）利用B部分的人数÷B部分人数所占百分比，即可算出本次被抽取的教职工人数；
（2）a＝被抽取的教职工总数−B部分的人数−C部分的人数−D部分的人数，扇形统计图中“C”部分所占百分比＝C部分的人数÷被抽取的教职工总数；
（3）D部分所对应的扇形的圆心角的度数＝360°×D部分人数所占百分比；
（4）利用样本估计总体的方法，用30000×被抽取的教职工总数中志愿服务时间多于60小时的教职工人数所占百分比．
【详解】（1）本次被抽取的教职工共有：10÷20%＝50（名），
故答案为：50；
（2）a＝50−10−16−20＝4，
扇形统计图中“C”部分所占百分比为：16÷50×100%＝32%，
故答案为：4，32；
（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°．
故答案为：144；
（4）30000× ＝21600（人）．
答：志愿服务时间多于60小时教职工大约有21600人．
【点睛】此题主要考查了扇形统计图、频数（率）分布表，以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表格中得到所用信息．
23. 如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）
（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为 ．
【答案】（1）见详解；（2），作图见详解．
【解析】
【分析】（1）过点P作BC的平行线，交AB于点Q或找到格点F，连接PF交AB于点Q，即可；
（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，再证明∆BDN~∆BMC，列出比例式，即可求解．
【详解】（1）如图①，过点P作BC的平行线，交AB于点Q，即为所求点，找到格点F，连接PF交AB于点Q，即为所求点；
（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，理由如下：
由题意得：BC=3，AC=4，AB=5，
∴BE=，HE=，DE=2-HE=，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠DBC，即BM是∠ABC的平分线，
∴以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，
∵MC∥DN，
∴∆BDN~∆BMC，
∴，即，解得：MC=，
∴此时⊙M的半径为：，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理，找准格点位置，掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△CGE；
（2）若AF＝2FD，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质，得AB∥CD，进而即可得到结论；
（2）由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用相似三角形的性质，即可解决问题．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE；
（2）∵AF＝2DF，
∴设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD＋DG＝3k，
∵△ABE∽△CGE，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
25. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O外一点， OC⊥OA，OC交AB于点P、交⊙O于点Q，且CP＝CB＝2．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠A＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见详解；（2）2-
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝67.5°，推出∠C=45°，从而得∆OBC是等腰直角三角形，求得BO＝2，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
∵OC⊥OA，
∴在Rt△AOP中，∠A＋∠APO＝90°，
∴∠OBA＋∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠A＝22.5°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝67.5°，
∴∠BPC＝∠APO＝67.5°，
∵PC＝CB，
∴∠BPC＝∠PBC=67.5°，
∴∠C＝45°，
∵OB⊥CB，
∴∠BOC=90°-45°=45°，
∴OB=BC=2，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC−S扇形OBQ＝×2×2-=2-．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理和扇形的面积公式，是解题的关键．
26. 我区“绿色科技公司”研发了一种新产品，该产品的成本为每件3000元．在试销期间，营销部门建议：①购买不超过10件时，每件销售价为3600元；②购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为3200元．根据以上信息解决下列问题：
（1）直接写出：购买这种产品 件时，销售单价恰好为3200元；
（2）设购买这种产品x件（其中x＞10，且x为整数），该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；
（3）在试销期间销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使销售数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
【答案】(1)90；(2)；(3)3325元．
【解析】
【分析】(1)购买这种产品 x件时，销售单价恰好为3200元，由题意得：3600-5(x-10)=3200，即可求解；
(2)分10＜x＜90和x≥90两种情况，分别求解即可；
(3)根据(2)中求出的函数解析式，结合二次函数与一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：(1)设购买这种产品 x件时，销售单价恰好为3200元，
由题意得：3600-5(x-10)=3200，解得：x=90，
故答案为：90；
(2)当x≥90时，一件产品的利润为：3200-3000=200元，
故此时y与x的函数关系式为：y=200x(x≥90)；
当10＜x＜90时，一件产品利润为：3600-5(x-10)-3000=(-5x+650)元，
故此时y与x的函数关系式为：y=x[-5x+650]=-5x²+650x(10＜x＜90)；
故答案为：；
(3)要满足购买数量越大，利润越多．故y随x的增大而增大，
y=200x，y随x增大而增大，
y=-5x2+650x，其对称轴为x=65，故当10≤x≤65时，y随x的增大而增大，
若一次购买65件，设置为最低售价，则可以避免y随x增大而减小的情况发生，
故x=65时，设置最低售价为3600-5×(65-10)=3325（元），
故答案为：3325元．
【点睛】本题考查了二次函数性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
27. 如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，点B（4，3），E，F分别为OA，BC边上中点，动点P从点出发以每秒2个单位速度沿EO方向向点O运动，同时，动点Q从点F出发以每秒1个单位速度沿FB方向向点B运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止．连接EF、PQ，且EF与PQ相交于点M，连接AM．
（1）求线段AM的长度；
（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为点，连接CH，求线段CH长度的最小值．
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】(1)证明△FMQ∽△EMP，且相似比为，由EF=3求出FM=1，ME=2，再在Rt△MEA中，由勾股定理即可求出AM的长度；
(2)连接AM，取MA中点I，只要C、H、I，此时会形成△ICH，根据三角形两边之差小于第三边可知，CH>IC-IH，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，由此即可求解．
【详解】解：(1)∵BC∥OA，∴∠FQM=∠EPM，且∠FMQ=∠EMP，
∴△FQM∽△EPM，设运动时间为t，则FQ=t，PE=2t
∴，又FE=3，
∴FM=1，ME=2，
又E为OA的中点，∴EA=OE=2，
∴在Rt△MEA中，，
故答案为：；
(2)如下图所示，连接AM，取AM中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，否则构成△ICH，三角形两边之差小于第三边CH，过I点作IN⊥BC于N，连接IH，
∵FM∥IN∥AB，且I是AM的中点，
∴IN是梯形MFBA的中位线，∴IN=，,
在Rt△CIN中，由勾股定理：，
又I为直角△AHM斜边AM上的中点，
∴，
∴当C、H、I三点共线时，CH有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，梯形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形两边之差小于第三边等知识点，具有一定的综合性，熟练掌握各性质是解决本题的关键．
28. 已知二次函数y＝ax2－4ax＋c（a≠0）的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，且△CAO和△BOC的面积之比为1∶3．

（1）求A点的坐标 ；（直接写出答案）
（2）若点C的坐标为（0，2c－2 ）．
①求二次函数的解析式；
②设点C关于x轴的对称点为C′，连接C′B，在线段C′B上是否存在一点P，使∠CPC′＝3∠CBO，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (-2,0)；(2)①二次函数解析式为；②P点坐标存在，为()．
【解析】
【分析】(1)由题意画出草图，先求出对称轴x=2，利用△CAO面积与△BOC面积之比为1:3可得出OA：OB=1:3，由此求出A、B的坐标；
(2)①由抛物线经过(0,2c-2)求出c的值，设抛物线的交点式为：y=a(x+2)(x-6)，整理得：y=ax²-4ax-12a，再和抛物线的一般式比较系数即可求出a的值；
②如下图2所示，由三角形外角定理得到∠CPC′＝2∠CBO+∠BCD，故只需要∠OBC=∠BCD即可，设CD=BD=t，在Rt△OCD中求出t的值，进而求出CD解析式，和BC’解析式联立方程组求出P1点坐标；同理，过C点作CH⊥BC’于H，作 P1关于CH对称点P2，则P2不在线段BC’上，不符合题意舍去即可．
【详解】解：由题意可知，画出如下图1，
∵△CAO面积与△BOC面积之比为1:3，且有公共高OC，
∴AO：BO=1:3，设OA=m，则OB=3m，∴A(-m,0)，B(3m,0)，
∵二次函数的对称轴为直线x=2，
∴-m+3m=4，解得m=2，
故A(-2,0)，
故答案为：(-2,0)；
(2)①由(1)知，A(-2,0)，B(6,0),
∵二次函数y＝ax2－4ax＋c（a≠0）经过点（0，2c－2），
∴c=2c-2，解得c=2，
设抛物线解析式为：y=a(x+2)(x-6)，整理得：y=ax²-4ax-12a，
∴-12a=2，∴a=，
故抛物线的解析式为：，
故答案为：；
②如图2所示，
∵C与C’关于x轴对称，∴∠1=∠2，
在△CP1B中，由三角形外角定理可知，∠CP1C’=2∠1+∠3，
故要∠CP1C′＝3∠CBO，只要∠1=∠3即可，
此时设CD=BD=t，OD=OB-BD=6-t，
在Rt△COD中，CD²=OC²+OD²，代入数值：
∴t²=2²+(6-t)²，解得t=，∴D(，0)，
设CD解析式为，代入C(0,2)和D(，0)，
即，解得，∴CD的解析式为：，
同理可以求出BC’解析式为：，
联立BC’解析式和CD解析式：，解得，
故P1的坐标为()；
同理，过C点作CH⊥BC’于H点，作P1关于CH对称点P2，则P2不在线段BC’上，故不符合题意，
综上所述，P点的坐标为：()．
【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性等知识点，三角形外角定理，一次函数联立方程组求交点坐标等，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
志愿服务时间（小时）
频数
A
0＜x≤30
a
B
30＜x≤60
10
C
60＜x≤90
16
D
90＜x≤120
20