专题21 一次函数（题型归纳）试卷

这是一份专题21 一次函数（题型归纳）试卷，共83页。
专题21 一次函数
题型分析


题型演练

题型一 函数的概念与解析式

1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．再根据定义逐一判断即可得出结论．
【详解】解：若是的函数，那么当取一个值时，有唯一的一个值与对应，选项A、B、D都符合；
C选项图象中，在轴正半轴上取一点，即确定一个的值，这个对应图象上两个点，即一个的值有两个值与之对应，故此图象不是与的函数图象．
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可判断．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意；
故选：D．
3．根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下表的关系：下列说法不正确的是（   ）  
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
20
20.5
21
21.5
22
22.5
A．弹簧不挂重物时的长度为0cm．
B．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量．
C．随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长．
D．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm．
【答案】A
【分析】根据图表数据可得，弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，并且质量每增加1千克，弹簧的长度增加，然后对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】解：A、观察第一组数据，当时，即弹簧不挂重物时的长度为．此说法错误；
B、与都是变量，且是自变量，是因变量，正确；
C、随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长，正确；
D、所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加，正确；
故选：A．
4．在下列4个不同的情境中，与所满足的函数关系属于二次函数的是（    ）
A．正方形的周长与边长 B．速度一定时，路程与时间
C．正方形的面积与边长 D．三角形的高一定时，面积与底边长
【答案】C
【分析】先求出各选项函数关系式，再判断即可．
【详解】解：A、正方形的周长与边长的关系式是：，是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、速度一定时，路程与时间的关系式是：（速度v是常数），是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、正方形的面积与边长的关系式是：，是二次函数，故此选项符合题意；
D、三角形的高一定时，面积与底边长的关系式是：（高h是常数），是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．
5．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（  ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解∶根据题意得∶，
∴该图象为一次函数图象的一部分．
故选：B
题型二 自变量和函数值

1．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C．的一切实数 D．x取任意实数
【答案】C
【分析】根据分式的分母不等于0，即可求解．
【详解】解：函数中，自变量x的取值范围是，
故选：C．
2．已知函数，若，则x的值为（　　）
A．或0 B． C．1或0 D．或0
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：当时，当时，把代入，即可求解．
【详解】解：当时，，
解得：或1（舍去）；
当时，，
解得：；
所以x的值为或0．
故选：D
3．函数的自变量的取值范围是（      ）
A．3 B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：且，
故选：D．
4．在函数中，自变量的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
5．若点在函数的图象上，则点P应在平面直角坐标系中的第_________象限．
【答案】二
【分析】因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．从而可以得到，由，可以得到，可得，即求出点所在的象限．
【详解】解：由题意可得：，
，
，即，
应在平面直角坐标系中的第二象限．
故答案为：二．
题型三 函数图像的识别

1．规定表示不大于的最大整数，例如，，那么函数的图象为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据的定义可将函数进行化简，即可得解．
【详解】解：由已知得：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，

由以上可得B、C、D不符合题意，选项符合题意，
故选：．
2．丽丽妈妈喜欢跳广场舞，某天她慢步到离家较远的广场，跳了一会儿广场舞后跑步回家．下面能反映当天丽丽妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（    ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】在每段中，根据离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【详解】出门时丽丽妈妈是慢步，所以函数图象上升得平缓；跳了一会广场舞离家的距离不变；跑步回家离家越来越近，并且比出门时速度要快，所以下降得更快，符合题意的是C；
故选：C．
3．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意，可以知道路程先逐渐变大，再保持不变，然后逐渐变小直至为0．则可以作出判断．
【详解】解：由题意可以看出点P在从O到A过程中，s随t的增大而增大；点P在上时，s等于半圆O的半径，即s随t的增大而保持不变；点P从B到O的过程中，s随t的增大而逐渐减少直至为0．只有选项C符合实际情况．
故选：C．
4．如图所示的容器内装满水，打开排水管，容器内的水匀速流出，则容器内液面的高度h随时间x变化的函数图象最接近实际情况的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据容器内的水匀速流出，可得相同时间内流出的水相同，根据圆柱的直径越长，等体积的圆柱的高就越低，可得答案．
【详解】解：最上面圆柱的直径较长，水流下降较慢；中间圆柱的直径最长，水流下降最慢；下面圆柱的直径最短，水流下降最快．
故选：A．
5．学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据开始、结束时y均为0排除C，D，根据队伍在陵园停留了1个小时，排除B．
【详解】解：队伍从学校出发，最后又返回了学校，因此图象开始、结束时y均为0，由此排除C，D，
因为队伍在陵园停留了1个小时，期间，y值不变，因此排除B，
故选A．
题型四 从函数的图像获取信息

1．近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，下图为淘宝某商家从2022年12月初到2023年春节共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（    ）

A．第7周销量最高，是3500个
B．第1周到第4周，周销量y（个）随时间t（周）的增大而增大
C．第3周和第5周的销量一样
D．在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周
【答案】D
【分析】结合图象，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据统计图可知：第7销量为3500个，销量最高，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、根据统计图可知：第1周到第4周，周销量y（个）随时间t（周）的增大而增大，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、根据统计图可知：第3周销量为2000个，第5周的销量为2000个，两周销量一样，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、根据统计图可知：第3周比第2周销量增加(个)，第6周比第5周销量增加(个)，所以周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
2．如图，甲、乙两汽车从A城出发前往B城，在整个行程中与时间t的对应关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距；②行程中甲、乙两车的速度比为2：3；③乙车于7：20追上甲车；④9：00时，甲、乙两车相距，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】①甲乙在纵坐标为300时均停止，A，B两城相距；
②通过甲乙行驶的路程和时间计算速度，然后求比；
③乙在甲出发1小时后出发，利用方程求时间即可；
④求出乙到底终点时甲距离终点的距离即可得到答案．
【分析】解：由图可知，A，B两城相距，故①正确；
甲的速度为：，
乙的速度为：，
∴行程中甲、乙两车的速度比为，故②错误；
由图可知，乙在甲出发1小时后出发，
∴甲乙相距，
∴设甲行驶x小时候乙追上甲，
则，
解得，
∴甲行驶2.5小时后乙追上甲，此时时间为7时30分，故③错误；
当9：00时，乙已经到达终点，即甲还有达到终点，
∴9：00时，甲、乙两车相距，故④正确．
综上，①④正确．
故选：B．
3．如图，已知矩形中，点E是的中点，点P从点B出发，沿以的速度匀速运动到点B，到达点B后停止．图是点P运动时，的面积随运动时间变化的关系图像，则图中，的值为（    ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据面积的分段函数图像，结合速度，求出线段、的长度，从而求出,根据三角形面积公式代入求值即可．
【详解】解：结合点P的运动，根据图可知，，，
，
点E是的中点，
，
在矩形中，，
由勾股定理可知，，
；
；
当点P运动到点D时，．
即．
故选：A．
4．小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到图书馆，小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店买水花费了5分钟，从商店出来后，爸爸的骑车速度比他之前的骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达图书馆．小明和爸爸两人离开家的路程（米）与小明出发的时间（分钟）之间的函数图像如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A． B．小明的速度是150米/分钟
C．爸爸从家到商店的速度是200米/分钟 D．时，爸爸追上小明
【答案】D
【分析】利用到商店时间+停留时间可确定A，利用爸爸所用时间+2分与路程3300米可求小明速度可确定B，利用设爸爸开始时车速为x米/分，列方程求解即可确定C，利用小明和爸爸行走路程一样，设t分爸爸追上小明，列方程求解可知D．
【详解】解：A．，故A正确，不合题意；
B．小明的速度为米/分，故B正确，不合题意；
C．设爸爸开始时车速为x米/分，
，
解得米/分，故爸爸从家到商店的速度为200米/分钟正确，不合题意；
D．设y分爸爸追上小明，
，
解得：，
故时，爸爸追上小明，选项不正确，符合题意
故选：D．
5．如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（    ）

A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大
C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等
【答案】D
【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
【详解】解：由图象可知：
A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；
B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意；
D．设时，，则，
解得，
，
当时，；
设时，，
则，
解得，
，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于4，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
题型五 函数的三种表示方法

1．用长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形生物园的一边长为，则围成长方形生物园的面积为，选取6组数对在坐标系中描点，则正确的是（    ）
A． B．   
C． D．  
【答案】B
【分析】根据题意列出S与x的函数关系式，再根据关系式判断S与x的关系是一次函数、二次函数还是反比例函数，再选出正确答案即可.
【详解】由题意得

    

S是x的二次函数，且开口向下.
故选：B
2．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度（）与下滑的时间（）的关系如下表：
支撑物高（）
10
20
30
40
50
…
下滑时间（）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
以下结论错误的是（    ）
A．当时，约2.66秒
B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．支撑物高度每增加了，时间就会减少0.24秒
D．估计当时，一定小于2.56秒
【答案】C
【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．
【详解】解：当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s；
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s；
从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s；
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s；
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.2秒”是错误的．
由表中数据可知A、B、D三个选项正确；
故选：C
3．在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：
支撑物高h（cm）
10
20
30
40
50
…
下滑时间t（s）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
以下结论错误的是（　　）
A．当h＝10时，t为3.25秒
B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒
【答案】D
【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．
【详解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25．
故A结论正确．
由表格知：随着高度的增加，下滑时间越来越短．
故B，C结论正确．
当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，
从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”的说法是错误的，
故选项D结论错误．
故选：D．
4．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5℃时，风寒温度T（℃）和风速的几组对应值，那么当气温为5℃时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（    ）
风速v（单位：）
0
10
20
30
40
风寒温度T（单位：℃）
5
3
1


A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】利用描点法画出图象解题．
【详解】解：根据表格描点得到下图，

根据图象可知，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是一次函数，
故选：B．
5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系，下列说法中不正确的是（   ）

0
1
2
3
4
5

10
10.5
11
11.5
12
12.5
A．x，y都是变量，x是自变量，y是x的函数
B．所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度为19cm
C．物体质量由5kg增加到7kg，弹簧的长度增加1cm
D．弹簧不挂重物时的长度为10cm
【答案】B
【分析】由表格信息，可知弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数，设此函数的解析式为，从表中代入，理由待定系数法解题即可得到解析式表达式，即可判断A选项；由表格的信息可得，物体每增加，弹簧长度y增加，据此判断B、C选项；当时，，据此判断选项D，由此解题即可．
【详解】解：设弹簧的长度与所挂物体质量的函数解析式为：，
把分别代入函数解析式中，得，



其中都是变量，是自变量，是的函数
故A正确；
由表格的信息可得，物体每增加，弹簧长度y增加，
故所挂物体的质量为时，即增加,弹簧长度为: ，
故B错误；
物体质量由5kg增加到7kg，物体的质量增加，弹簧的长度增加，
故C正确；
当时，，故弹簧不挂重物时的长度为，
故D正确，
故选：B．
题型六 正比例函数的图像与性质

1．已知正比例函数的图象经过点，则k的值是（    ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】分别将化简，再用待定系数法即可求出k的值．
【详解】解：∵，
∴，
把点代入得：，
解得：，
故选：C．
2．已知正比例函数的图象经过点，则m的值为（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】把点代入正比例函数，即可求得．
【详解】解：正比例函数的图象经过点，
点代入正比例函数，
得，解得，
故选：A．
3．正比例函数与反比例函数( )的大致图象如图所示，则的取值范围分别是(　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别根据正比例函数图象与反比例数图象所在的象限，即可判断比例系数的符合，进而即可求解．
【详解】解：根据正比例函数图象可知，随的增大而减小，则，
反比例数图象位于第二、四象限，则，则，
故选：D．
4．已知一次函数与正比例函数（b为常数，），则两个函数的图象在同一直角坐标系中可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断正比例函数的图象得出的符号，进而判断一次函数的图象即可求解．
【详解】A．正比例函数经过二、四象限，则，一次函数经过一、二、三象限，则，故该选项不正确，不符合题意；
B．正比例函数经过一、三象限，则，一次函数经过一、三、四象限，则，故该选项不正确，不符合题意；
C．正比例函数经过一、三象限，则，一次函数经过一、二、四象限，则，故该选项不正确，不符合题意；
D．正比例函数经过二、四象限，则，一次函数经过一、二、四象限，则，故该选项正确，符合题意；
故选D．
5．已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是(    )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据正比例函数的性质可得，再根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
一次函数的随的增大而减小，与轴的交点位于轴正半轴，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
题型七 一次函数的图像

1．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ）
A． B．4 C． D．1
【答案】A
【分析】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到，
把代入，得到：，
解得．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位，平移后的直线经过点，则m的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象平移的规律可得出直线向上平移2个单位后的解析式为，再将代入，求出m的值即可．
【详解】将直线向上平移2个单位后的解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
解得：．
故选D．
3．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
∴四个选项中只有选项C符合题意，
故选C．
4．在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．
【答案】
【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入，即可求出m的值．
【详解】解：将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，即，
∴平移后的直线与x轴交于，
∴，
解得，
故答案为．
5．从，0，3中取一个数记为，再从，0，2中取一个数记为，则使一次函数的图象不过第四象限的概率是___________．
【答案】
【分析】根据题意，画出树状图，可得到一共有9种等可能结果，再由一次函数的图象的性质，可得使一次函数的图象不过第四象限的有2种，即可求解．
【详解】解∶根据题意，画出树状图，如下：

可得到一共有9种等可能结果，
∵当时，一次函数的图象不过第四象限，
∴使一次函数的图象不过第四象限的有2种，
∴使一次函数的图象不过第四象限的概率是．
故答案为：
题型八 一次函数的性质

1．在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则m、n的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线，判定y随着自变量x的增大而减小，自变量x也会随y的增大而减小．
【详解】∵直线，
∴y随着自变量x的增大而减小，
∴自变量x也随y的增大而减小，
∵，
∴，
故选A．
2．下列函数中，当，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合每个函数的特点及自变量的范围，逐一判断．
【详解】解：A、，∵，∴y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
B、，∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
C、，∵对称轴为y轴，且，∴当，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
D、，∵对称轴为y轴，且，∴当，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：A．
3．下列四个函数中，当时，y的值随着x值的增大而增大的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质，二次函数的图象的性质，反比例函数的图象的性质解答即可．
【详解】解：A．∵在二次函数中，，
∴开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y的值随着x值的增大而增大，故本选项符合题意；
B．∵在反比例函数中，，
∴它的图象在第一象限，y随x的增大而减小，在第三象限，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
C．∵在一次函数中，，
∴当时，y的值随着x值的增大而减小，故本选项不符合题意；
D．，
∵在二次函数中，，
∴开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y的值随着x值的增大而增大，当时，y的值随着x值的增大而减小，故本选项不符合题意；故选：A．
4．请选择一个你喜欢的数值m，使关于x的一次函数的y值随着x值的增大而增大，m的值可以是__________
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的值随着x值的增大而增大，可得到，即可求得m的范围．
【详解】解：根据题意得：
解得：，
则m的值可以是1（答案不唯一）．
故答案为：1．
5．已知某函数当时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接利用一次函数的性质得出答案
【详解】解：∵当自变量时，函数y随x的增大而增大，
∴可以设一次函数，，一次函数过，点，
代入得：，解得：，
∴一次函数解析式为：，
故答案为：（答案不唯一）
题型九 求一次函数的解析式

1．已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（    ）
A．若有最大值4，则的值为 B．若有最小值4，则的值为
C．若有最大值，则的值为4 D．若有最小值，则的值为4
【答案】D
【分析】则点，都在一次函数的图象上，求得，，得到，推出当时，有最小值，当时，有最大值，根据四个选项即可求解．
【详解】解：∵点，都在一次函数的图象上，
∴，，即，
∴
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
A、若有最大值，解得，故本选项不符合题意；
B、若有最小值，解得，故本选项不符合题意；
C、若有最大值，则的值为4，故本选项不符合题意；
D、若有最小值，则，故本选项符合题意；
故选：D．
2．为任意实数，抛物线的顶点总在（    ）
A．直线上 B．直线上
C．轴上 D．轴上
【答案】A
【分析】根据顶点式写出顶点，再根据坐标的特点即可求解．
【详解】解：由，可得抛物线的顶点为，
∵k为任意实数，
∴顶点在直线上，
故选：A．
3．关于的方程有两个相等实数根，则直线与轴交点为（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据的方程有两个相等实数根，求出k的值，再由函数解析式求出与轴交点即可
【详解】解：∵的方程有两个相等实数根，
∴，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴直线与轴交点为,
故选：A
4．如图，直线与y轴交于点P，将它绕着点P旋转90°所得的直线对应的函数解析式为_____．

【答案】
【分析】利用旋转后的图形与原图形相似，可得到新函数解析式与x轴的交点．
【详解】解：∵，
∴函数与x轴的交点是，与y轴的交点是．
∴．
设函数与x轴交于点A，新函数与x轴交于点B，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点．
设新函数解析式为，
把点B代入求得，．
∴新函数解析式为，
故答案为：．
5．如图，中，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动，此时直线，交于点E，记x秒时的长度为y，写出y关于x的函数解析式y=_______．

【答案】
【分析】根据平行可得，利用x表示出，代入可得到y关于x的函数关系式．
【详解】解：由题意可知，则,
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：
题型十 一次函数与一元一次方程的关系

1．如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（    ）

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解．
【详解】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3．
故选：C．
2．若一次函数的图象如图所示，则方程的解为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】所求方程的解，即为函数图象与x轴交点横坐标，确定出解即可
【详解】方程的解，即为函数图象与x轴交点的坐标，
∵直线过（3，0），
∴的解是，
故选：A．
3．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）．
【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0，
∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．
4．若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为______．
【答案】
【分析】利用一次函数的性质求得b=2k，然后代入关于x的方程k(x﹣5)+b＝0，解方程即可．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点(﹣2，0)，
∴，
∴，
把代入方程k(x﹣5)+b＝0，
得k(x﹣5)+2k＝0，解得，
故答案为：
5．已知点在直线上，则关于的方程的解为_______．
【答案】.
【分析】根据点（-2，9）在直线上可以得到，再根据方程得到，然后把代入即可求解.
【详解】解：∵点（-2，9）在直线上
∴
即
∵关于的方程为
∴
∴解方程得
∴
故答案为：.
题型十一 一次函数与一元一次不等式

1．二次函数与一次函数的图象交于点和点，要使，则x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据两个函数图像的交点坐标的横坐标以及二次函数图像开口方向，即可求解．
【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和点，
又∵二次函数的图像开口向上，
∴要使，则x的取值范围是：或，
故选D．
2．如图，函数y＝2x和y＝ax+6的图象相交于A（m，4），则不等式2x＜ax+6的解集为（　　）

A．x＞2 B．x＞4 C．x＜2 D．x＜4
【答案】C
【分析】首先求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＜ax＋6的解集即可．
【详解】解：∵函数y＝2x过点A（m，4），
∴2m＝4，
解得：m＝2，
∴A（2，4），
由函数图象得：不等式2x＜ax＋6的解集为x＜2．
故选：C．
3．若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（   ）
A．(4，1) B．(1，4) C．(1，－4) D．(－1，－4)
【答案】B
【分析】根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果．
【详解】解：根据不等式ax+b＞0的解集是x＜2可得一次函数y=ax+b的图象大致为：

∵点（4，1）在直线的上方，点（1，-4）在直线的下方，点（-1，-4）在直线的下方，
∴可能在一次函数图象上的是（1，4）．
故选：B．
4．如果直线是由正比例函数的图像向左平移1个单位得到，那么不等式的解集是______．
【答案】
【分析】直接利用一次函数平移规律得出图像平移后与轴交点，进而得出答案．
【详解】解：∵直线是由正比例函数的图像向左平移1个单位得到，
∴经过，
∴不等式的解集是：．
故答案为：．
5．直线与的交点在y轴上，则不等式组的解集为___________．

【答案】
【分析】先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，再根据图象可得当时，直线位于x轴的下方，此时，当时，，即可求解．
【详解】解：对于直线，
当时，，当时，，
∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，
观察图象得：当时，直线位于x轴的下方，此时，
当时，，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
题型十二 一次函数与二元一次方程组

1．如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把代入得出，则两个一次函数的交点的坐标为，再根据所求的方程组正好是由这两个函数的解析式所构成即可得出答案．
【详解】解：把代入得：，

关于的方程组是函数和构成
方程组的解为
故选：A．
2．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=−x-1的交点坐标为（-4，1）．
故选：D．
3．如图，两条直线的交点坐标（2，3）可以看作两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是x-y=-1，则另一个方程可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此把交点坐标代入四个选项，利用方程解的定义即可判断．
【详解】解：A、把代入方程2x-y=-1，左边=1，右边=-1，左边≠右边，故选项A不合题意；
B、把代入方程2x-y=1，左边=1，右边=1，左边=右边，故选项B符合题意；
C、把代入方程2x+y=-1，左边=7，右边=-1，左边≠右边，故选项C不合题意；
D、把代入方程3x-y=-1，左边=3，右边=-1，左边≠右边，故选项D不合题意；
故选：B．
4．已知函数与的图象交于点，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】先根据“函数与的图象交于点”列出二元一次方程组，再计算即可．
【详解】由题意得，
解得：，
所以点的坐标为，
故答案为：．
5．如图，函数图象，若直线与该图象仅有两个交点，则m的取值为_______．

【答案】1
【分析】由直线与该图象仅有两个交点，则直线与有一个交点，与有一个交点，则过抛物线的顶点，从而可求解．
【详解】解：∵直线与该图象仅有两个交点，
则直线与有一个交点，过的顶点，
∴，
∵，
∴顶点坐标为，
∴；
故答案为．
题型十三 一次函数的实际应用

1．为了保护学生的视力，课桌的高度是按照一定关系配套设计的，某品牌课桌的高度与椅子的高度之间满足一次函数关系，若高的椅子配套的桌子高度为，高的椅子配套的桌子高度为，则与一张高度的桌子配套的椅子高度为（　　）
A．41 B．42 C．43 D．44
【答案】B
【分析】先用待定系数法求出y与x的函数关系式，再将代入，即可求出答案．
【详解】解：设，
根据题意得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴与一张高度的桌子配套的椅子高度为，
故选：B．
2．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②，所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当在一定范围内变化时，和S都随的变化而变化，则与，S与满足的函数关系分别是（    ）

A．反比例函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】B
【分析】根据题意和图形，可以分别写出与的关系和S与x的关系，从而可以得到与x满足的函数关系和S与x满足的函数关系．
【详解】解：由图可知，图中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，
则，与满足一次函数关系，
，S与满足二次函数关系，
故选：B．
3．小张在一条笔直的绿谷跑道上以70米/分钟的速度，从起点出发匀速健步走．30分钟后，他停下来休息了5分钟，然后原地返回起点，全程总用时70分钟．设小张离起点的距离为y米，健步走的时间为x分钟，y关于x的函数关系如图所示，则小张返回的速度是（    ）

A．60米/分钟 B．70米/分钟 C．75米/分钟 D．80米/分钟
【答案】A
【分析】根据去时的速度和时间可以求出路程，然后用路程回时的时间即可求出返回时的速度．
【详解】解：路程速度时间，即米，
返回时的时间为：分钟，
则返回时的速度米/分钟，
故选：A．
4．在刚刚结束的校运动会上，甲和乙赛跑，开始甲在乙的前方4米处，两人同时起跑，甲的速度为每秒3米，乙的速度为每秒4米，下图是两人跑步的路程关于跑步时间的函数图像，则两图像交点的坐标为_____．

【答案】
【分析】分别求出两人跑步的路程关于跑步时间的函数关系式，联立函数关系式解方程组可得答案．
【详解】解：由题意可知，甲跑步的路程关于跑步时间的函数关系式为，乙跑步的路程关于跑步时间的函数关系式为：，
解方程组，得，
两图象交点的坐标为，
故答案为：．
5．如图，小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行13分钟时，到学校还需步行____________米．

【答案】490
【分析】根据函数图象中的数据，可以求得当8≤x≤20时，s与t的函数关系式，然后将t＝13代入函数解析式，求出s的值即可．
【详解】解：当8≤x≤20时，设s与t的函数关系式为s＝kt+b，
∵点（8，960），（20，1800）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴当8≤x≤20时，s与t的函数关系式为s＝70t+400，
当t＝13时，
s＝70×13+400＝1310，
1800﹣1310＝490（米），
故答案为：490．
题型十四 一次函数的综合

1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．

(1)求直线的函数表达式；
(2)在x轴上有一点P，满足，求P点的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点P作，交y轴于点Q，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设直线的函数表达式为，将代入即可求出，从而得到答案；
（2）设点P的坐标为，根据两点的距离和建立方程，解方程即可得到答案；
（3）根据，，可得点C是的中点，利用中点坐标的公式求出点C的，根据点C和点P的坐标求出直线的函数表达式，即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为．
将代入得，
解得．
∴直线的函数表达式．
（2）解：设点P的坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得．
∴点P的坐标为；
（3）解：如下图所示，

∵，，
∴点C是的中点，
∴，
设直线为：，
将，代入可得，
解方程组得，，
∴直线为：，
当时，，
∴点点Q的坐标为．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为D．

(1)求A、B两点的坐标；
(2)若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标；
【答案】(1)，；(2)．
【分析】（1）一次函数解析式为，令、分别求解即可；结合题意求得，，设解析式为，代入法即可求出解析式，当时可求出P点坐标．
【详解】（1）解：一次函数解析式为：，
令，即，解得，
令，得，
，．
（2）如图，作E关于直线对称点M，
连接，交于点P，
有最小值，
C为线段的中点，
由（1）可知，
解析式为，
在与，
，，，
，
，
，
点E关于直线对称点M，
，
设解析式为：，
则有，
解得：，
解析式为：，
当时，
．

3．如图，已知直线与x轴、y轴相交于点A、B，直线与x轴、y轴相交于点C、D．

(1)如果点A的坐标为，且，求直线AB的表达式；
(2)如果点在直线CD上，连接OP，且，求直线CD的表达式；
(3)如果点是直线AB与直线CD的交点，且，求直线AB的表达式．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由题意易得，然后根据可得，即点B坐标为，进而根据待定系数法进行求解函数解析式即可；
（2）由，得到；设，然后根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（3）由题意易得，，，然后可得直线CD的表达式为；进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵A的坐标为，
∴，
∵，即，
∴，即点B坐标为，
∴，
解得：，
∴直线AB的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴；
设，
∴，
解得：，
∴直线CD的表达式为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，，，
设，
∴，
解得：，
∴直线CD的表达式为；
∴，
∴点，
∴，
解得：，
∴直线AB的表达式为．
4．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，．

(1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标．
(2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据点坐标可以得出，，由轴，轴，可得∴，结合，可得，证明即可得出结论．
（2）作轴于，作轴于．如图2，若点在第一象限，则，．可证，则，．
则第四象限点为即可得出结论．
（3）由（2），可得即可求解．
【详解】（1）∵，∴，．
∵轴，轴，∴．
∵，∴．
∴．
∵，∴．
∴，．
∴点的坐标为．
（2）作轴于，作轴于．
如图2，若点在第一象限，则，．
由（1），同理可证．则，．
则第四象限点为．
同理，若点在第二象限，则第一象限点为．
若点在第三象限，则第二象限点为．
若点在第四象限，则第三象限点为．
综上，若点的坐标为，点的坐标为．
（3）由（2），可得

由①，解得．
把代入②，得．
解得．检验符合．
∴，．

5．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B．将沿直线CD对折，点恰好与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与交于点D．

(1)求点C的坐标；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数的性质先求出的坐标，从而得出的长度，根据折叠的性质可得，然后根据勾股定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理求出的长度，从而得出的长度，根据三角形面积求出的长度，然后根据即可得出答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴令，得，
∴点，
令，得，
∴点，
∴，
连接，

∵将沿直线CD对折，点恰好与点B重合，
∴与关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴点；
（2）根据勾股定理可得，
∴，
则根据，
即，
代入数据得：，
解得：，
∴


．
6．某超市以20元/千克的价格购进一批绿色食品，在整个销售旺季的40天里，设第天的销售单价为元/千克，与满足如下关系：，

(1)第几天时销售单价为24元/千克？
(2)如图，设第天的销售量为千克，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若超市第天销售该绿色食品获得的利润为元，求关于的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)第35天销售单价为24元/千克；
(2)，第20天的利润最大，最大利润是1250元
【分析】（1）把代入，解方程即可求得；
（2）根据图象求得与之间的关系，然后根据利润等于售价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答即可求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意知，
解得：，
第35天销售单价为24元/千克；
（2）当时，设，
把点代入得，

解得
，
由题意可知：当时，
，
当时，，w取得最大值1000元；
当时，
，
当时，，w取得最大值1250元；
综上可得：，
第20天的利润最大，最大利润是1250元．
7．为了加强公民的节水意识．某市规定用水收费标准如下．每户每月用水量不超过12时．按照每立方米3.5元收费：超过时，超出部分每立方米按4.5元收费．设每月用水量为，应缴水费为元．
(1)当月用水量不超过时，（元）与之间的关系式为________；当月用水量超过时，（元）与之间的关系式为________．
(2)若某户某月缴纳水费55.5元，则该户这个月的用水量为多少?
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意列出不超过时和超过时这两种情况的表达式即可；
（2）先与每月用水进行对比，然后再对应的代入表达式求解即可．
【详解】（1）由题意得：当时，，
当时，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴该户这个月的用水量超过，
令代入得：，
解得，
∴该户这个月的用水量为．
8．已知一次函数．
(1)若该函数的图像经过点，求b的值；
(2)在（1）的条件下，当时，x的取值范围为 ；
(3)若它的图像与两条坐标轴围成的图形的面积等于9，则b的值为 ．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）将点代入中，即可求解；
（2）当，即，解不等式即可；
（3）设函数图像与轴交于点，与轴交于点，分别求出，的坐标，即可解答．
【详解】（1）一次函数经过点

解得：
（2）
一次函数的解析式为：


解得：
故答案为：
（3）设函数图像与轴交于点，与轴交于点
一次函数解析式为：
令，有，解得，
，即
令，有，
，即


故答案为：
9．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且，过点A的直线交直线于点D，交y轴于点E，的面积为8．

(1)求点D的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)过点C作，交直线于点F交与G，求的面积．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）先确定点A、B、C的坐标，再依据待定系数法即可得到的解析式，再根据的面积即可得
到点D的坐标；
（2）利用待定系数法即可得到的解析式；
（3）如图：先根据题意确定点E的坐标，进而确定的长，再证明可得
，进而确定的长，求出两直线的交点坐标，确定的高，最后根据三角
形的面积公式即可解答．
【详解】（1）由题可得，，
设为，
则:，解得：，
∴的解析式为，
∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
当时，，解得．
∴点D的坐标为．
（2）设直线的表达式为，则
，解得：，
∴直线的表达式为．
（3）如图

∵直线与y轴交于点E，
∴令可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴
∵
∴
设直线的表达式为，则
，解得：，
∴直线的表达式为．
联立直线的表达式和直线的表达式，
，解得：，
∴的高为，
∴的面积为．
10．如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)，；(3)或
【分析】（1）根据平移设，将代入，求出m值即可；
（2）在中，时，，得到，时，，得到；
（3）设，根据，，得到，，根据，得到，根据，得到，得到，或，求得，或，得到，或．
【详解】（1）解：设将向下平移m个单位，得到直线，
则，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）在中，
令，则，
令，则，
∴，；
（3）存在，或，理由：
在中，令，则，令，则，
∴，，
设，
，，
，，
，
，
，
，
设、之间的距离为，
，
，
，或，
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