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2024郴州高三上学期第一次教学质量监测试卷（10月）数学含答案
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这是一份2024郴州高三上学期第一次教学质量监测试卷（10月）数学含答案，共35页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，本试题卷共5页，有三个数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
4.考试时间为120分钟，满分为150分.
5.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.
姓名__________.
准考证号__________.
郴州市2024届高三第一次教学质量监测试卷
数学
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数是方程的一个根，则实数的值是（ ）
A.0 B.8 C.24 D.26
3.“”是“直线与圆相切”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.设数列满足且是前项和，且，则（ ）
A.2024 B.2023 C.1012 D.1011
6.有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（共4个小题，每小题5分，计20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A.若随机变量服从正态分布，且，则
B.一组数据的第60百分位数为14
C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D.对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4
10.已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（ ）
A.的最小正周期为
B.点是图像的一个对称中心
C.在的值域为
D.函数在上单调递增
11.定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.为的对称轴
C. D.
12.在圆锥中，母线，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ）
A.当时，则圆锥的体积为
B.当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C.当时，圆锥的外接球表面积为
D.当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知函数是偶函数，则__________.
14.在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中常数项为__________.
15.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为__________.
16.若存在，使得函数与的图象有公共点，且在公共点处的切线也相同，则的最大值为__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.（10分）
在数列中，为数列的前项和，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若.求数列的前项和.
18.（12分）
如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，以为直径的圆经过点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（12分）
已知向量，函数.
（1）若，求的值；
（2）已知为锐角三角形，为的内角的对边，，且，求面积的取值范围.
20.（12分）
已知函数.
（1）若曲线在处切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极大值，求的取值范围.
21.（12分）
随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.
（1）求同学甲第二天选择套餐的概率；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.
22.（12分）
已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.
（1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.
郴州市2024届高三第一次教学质量监测试卷
数学参考答案及评分细则
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1-5CDABC 6-8ABC
二､多选题（共4个小题，每小题5分，计20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.ACD 10.BC 11.BCD 12.AC
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.1 14. 15.9 16.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）当时，，解得.
当时，
即，所以.
所以是以为首项，以2为公比的等比数列.
故.
（2），
18.解答分析
（1）因为以为直径的圆经过点，所以.
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
因为平面，所以，
又因为平面平面平面，
所以平面，
（2）因为平面，
又因为平面平面，所以，
又因为，所以，则两两互相垂直，
以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
所以在Rt中，由勾股定理得，
则点，
则，
.
设平面的法向量为，平面
的法向为
则得取分
设平面与平面的夹角为，
则
所以平面与平面夹角的余弦值为
19.解（1），则；
，
（2）
，即；
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以
解得，则
故，
即面积的取值范围为
20.解：（1）
曲线在处切线与轴平行，
，解得.
（2）的定义域为.
①当时，令得，令得.
在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值.
②当时，令得，令得.
在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值.
③当时，
（i）当时，在上单调递增，无极值，不符合题意.
（ii）当时，，令得，
令得或.
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
在处取得极小值，不符合题意.
（iii）当时，，令得，
令得或.
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
在处取得极大值.
综上所述，的取值范围为.
21.解（1）设“第1天选择套餐”，“第2天选择套餐”，
则“第1天不选择套餐”.
根据题意.
由全概率公式，得.
（2）设“第天选择B套餐”，则，
根据题意.
由全概率公式，得
因此.因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）第二天选择A类套餐的概率
由题意可得，同学甲第二天选择类套餐的概率为，则不选择类套餐的概率为
所以，即有，
当取最大值时，则，
即
解得，
且，所以.
22.（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为
设直线的方程为：，
联立方程：
或
由韦达定理得：
根据抛物线定义：
设的中点坐标为，则，
的垂直平分线方程为：，
将代入整理得：
故的垂直平分线过定点.
由（1）得.
点到直线的距离
的面积为
，
设，则
令，令
在上单调递增，在上单调递减
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
4.考试时间为120分钟，满分为150分.
5.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.
姓名__________.
准考证号__________.
郴州市2024届高三第一次教学质量监测试卷
数学
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数是方程的一个根，则实数的值是（ ）
A.0 B.8 C.24 D.26
3.“”是“直线与圆相切”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.设数列满足且是前项和，且，则（ ）
A.2024 B.2023 C.1012 D.1011
6.有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（共4个小题，每小题5分，计20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A.若随机变量服从正态分布，且，则
B.一组数据的第60百分位数为14
C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D.对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4
10.已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（ ）
A.的最小正周期为
B.点是图像的一个对称中心
C.在的值域为
D.函数在上单调递增
11.定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.为的对称轴
C. D.
12.在圆锥中，母线，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ）
A.当时，则圆锥的体积为
B.当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C.当时，圆锥的外接球表面积为
D.当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知函数是偶函数，则__________.
14.在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中常数项为__________.
15.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为__________.
16.若存在，使得函数与的图象有公共点，且在公共点处的切线也相同，则的最大值为__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.（10分）
在数列中，为数列的前项和，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若.求数列的前项和.
18.（12分）
如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，以为直径的圆经过点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（12分）
已知向量，函数.
（1）若，求的值；
（2）已知为锐角三角形，为的内角的对边，，且，求面积的取值范围.
20.（12分）
已知函数.
（1）若曲线在处切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极大值，求的取值范围.
21.（12分）
随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.
（1）求同学甲第二天选择套餐的概率；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.
22.（12分）
已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.
（1）求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.
郴州市2024届高三第一次教学质量监测试卷
数学参考答案及评分细则
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1-5CDABC 6-8ABC
二､多选题（共4个小题，每小题5分，计20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.ACD 10.BC 11.BCD 12.AC
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.1 14. 15.9 16.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）当时，，解得.
当时，
即，所以.
所以是以为首项，以2为公比的等比数列.
故.
（2），
18.解答分析
（1）因为以为直径的圆经过点，所以.
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
因为平面，所以，
又因为平面平面平面，
所以平面，
（2）因为平面，
又因为平面平面，所以，
又因为，所以，则两两互相垂直，
以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
所以在Rt中，由勾股定理得，
则点，
则，
.
设平面的法向量为，平面
的法向为
则得取分
设平面与平面的夹角为，
则
所以平面与平面夹角的余弦值为
19.解（1），则；
，
（2）
，即；
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以
解得，则
故，
即面积的取值范围为
20.解：（1）
曲线在处切线与轴平行，
，解得.
（2）的定义域为.
①当时，令得，令得.
在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值.
②当时，令得，令得.
在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值.
③当时，
（i）当时，在上单调递增，无极值，不符合题意.
（ii）当时，，令得，
令得或.
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
在处取得极小值，不符合题意.
（iii）当时，，令得，
令得或.
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
在处取得极大值.
综上所述，的取值范围为.
21.解（1）设“第1天选择套餐”，“第2天选择套餐”，
则“第1天不选择套餐”.
根据题意.
由全概率公式，得.
（2）设“第天选择B套餐”，则，
根据题意.
由全概率公式，得
因此.因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）第二天选择A类套餐的概率
由题意可得，同学甲第二天选择类套餐的概率为，则不选择类套餐的概率为
所以，即有，
当取最大值时，则，
即
解得，
且，所以.
22.（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为
设直线的方程为：，
联立方程：
或
由韦达定理得：
根据抛物线定义：
设的中点坐标为，则，
的垂直平分线方程为：，
将代入整理得：
故的垂直平分线过定点.
由（1）得.
点到直线的距离
的面积为
，
设，则
令，令
在上单调递增，在上单调递减
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