还剩30页未读，
继续阅读
所属成套资源：备战2024年高考数学第一轮复习资料【艺体生专供】
成套系列资料，整套一键下载
- 备战2024年高考第一轮专题复习专题24 空间几何体的表面积与体积【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）原卷版 试卷 0 次下载
- 备战2024年高考第一轮专题复习专题25 异面直线所成角【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）原卷版 试卷 0 次下载
- 新高考卷03-备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版 试卷 0 次下载
- 新高考卷05-备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版 试卷 0 次下载
- 备战2024年高考第一轮专题复习专题03 平面向量【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）原卷版 试卷 0 次下载
备战2024年高考第一轮专题复习专题03 平面向量【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版
展开
这是一份备战2024年高考第一轮专题复习专题03 平面向量【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共8页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。
一、考向解读
考向：纵观近几年高考，平面向量重点考查向量的概念、共线、垂直、线性运算及标运算等知识，侧重考查数量积的坐标运算，难度较低，同时也有可能出现在解答题中，突出其工具功能。因此向量备考应重视基础知识，要求学生熟练掌握基本技能。
（1）向量的线性运算中，用已知的两个不共线的向量作为基底可以表示平面上的其他向量，将所求向量转化到平行四边形或三角形中去，利用平面图形的几何特征建立关系。数量积的基本运算中，经常涉及数量积的定义、模、夹角公式。
（2）向量是数形结合的产物，利用向量解决问题时，能建立直角坐标系，选择坐标运算往往更简单。
考点：线性运算、夹角计算、数量积、模的计算、向量的垂直与平行。
导师建议：平面向量在高考中考查的知识点比较广泛，运用基础的公式比较多，记忆的时候不要弄混淆，靠前要多识记。
二、知识点汇总
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.与的数量积(或内积)：
4.平面向量的坐标运算
(1)设=,=，则+=.
(2)设=,=，则-=.
(3)设A，B,则.
(4)设=，则=.
(5)设=,=，则·=.
5.平面向量的坐标运算
(1)设A，B,则.
(2)设=,=，则=.
(3)设=，则
6.两向量的夹角公式
设=,=，且，则
(=,=).
7.向量的平行与垂直
设=,=，且
.
.
三、题型专项训练
一、单选题
①平面向量线性运算
1．化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.
【详解】因为，故选：.
2．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的加法运算求解.
【详解】解：在平行四边形中，O为对角线的交点，
易知，所以．故选：D
3．在中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平行四边形性质及向量线性运算求解作答.
【详解】在中，令，则是对角线的中点，
.故选：C
4．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】以为基底表示，从而解出，即可求得.
【详解】，，
两式联立得，，，
所以.故选：C．
5．在中，，，若点M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.故选：A.
6．在中，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出并确定点的位置，即可以向量为基底表示出.
【详解】根据题意如下图所示：
根据向量加法法则可知，又，所以
即，
可得.故选：A
7．在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答.
【详解】平行四边形的对角线与交于点，如图，
则，而点为的中点，
有，由得：，
则有，
所以.故选：C
8．如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可.
【详解】在边长为2的等边中, BD为中线，则
故选：A
②平面向量共线垂直
9．已知向量，若，则实数m的值是（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】解：由，得，
解得.故选：A.
10．已知向量，且与互相平行，则的值（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，可直接求出结果.
【详解】∵向量，，
∴，，
∵与互相平行，
∴，解得．故选：C．
11．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.
【详解】向量，不共线，且，，，
，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.
故选：A
12．已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A．B．0或C．0或1D．0或3
【答案】A
【分析】根据向量共线的条件,代入化简,对应系数相等
【详解】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以.故选:A.
13．已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由题意得到，再利用向量的数量积运算分别求得选项中的向量与的数量积，从而可判断是否垂直.
【详解】因为，是单位向量，且夹角为，
所以，
对于A，因为，所以与不垂直，故A错误；
对于B，因为，所以与不垂直，故B错误；
对于C，因为，所以与不垂直，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.故选：D.
14．已知平面向量满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由得，
由得，即故选：B
15．已知，向量，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据两个向量垂直可得它们的数量积为零，求出，根据坐标表示模求出的值即可.
【详解】由，可知，
得，所以，所以，
解得，又，∴，故选：C．
③平面向量夹角问题
16．若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对两边同时平方可求出，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.
【详解】因为，以，
又，，所以，，
设与的夹角为，
则，因为，所以，即与的夹角为.故选：D.
17．若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设向量、的夹角为，由已知可得出，根据平面向量数量积的运算性质求出的值，结合角的取值范围可得出角的值.
【详解】设向量、的夹角为，由题意，，
又因为，因此，.故选：B.
18．已知单位向量，满足，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.
【详解】由单位向量，则，即，，.故选：B.
19．已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由化简得，由与的数量积建立方程即可求得参数.
【详解】由，得，，
∴，
∴，解得.故选：B
④平面向量模长问题
20．已知向量，都是单位向量，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律计算作答.
【详解】向量，都是单位向量，且，则，解得，
所以.故选：D
21．已知向量满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量模的公式得，再求模即可.
【详解】解：因为，，，
所以，，所以，.
又，所以.故选：C
22．已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求出，再求出即得解.
【详解】解：，
，
向量与向量的夹角为.故选：D.
23．已知平面单位向量，，满足，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据可得，替换，利用数量积的运算即可求解.
【详解】如图，设，，
因为，所以平行四边形为菱形，
则为正三角形，所以，且反向，
所以，所以，
因为，所以，故选:C.
④平面向量投影向量问题
24．若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出向量在向量上的投影，再乘以向量同向的单位向量即可得．
【详解】，，，
向量在向量上的投影为，与量同向的单位向量为，
所以向量在向量上的投影向量为．故选：C．
25．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解.
【详解】由已知条件得：，即，
又在方向上的投影向量为，故选：A.
⑤多选题与填空题
二、多选题
26．已知向量，则（ ）
A．B．向量的夹角为
C．D．在方向上的投影向量是
【答案】BD
【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.
【详解】已知则，
，，，，故A错误；
，所以向量的夹角为，故B正确；
，，故错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.故选：BD.
27．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】AB
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为，即C错误；由可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.
【详解】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；
若，可得，即，解得，所以B正确；
若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；
若，则，所以；
但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.故选：AB
28．已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．存在，使得
C．向量是与共线的单位向量
D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断；
B.利用数量积公式，可得，即可求解；
C.根据模的公式，计算，即可判断；
D.根据投影向量公式，即可计算求值.
【详解】对于选项，，
当，即时取最大值2，故A正确；
对于B选项，要使，则，
则，因为，所以，故存在，使得，故B正确；
对于C选项，因为，
所以向量不是单位向量，故C错误；
对于选项，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.故选：.
29．已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的值为
【答案】BD
【分析】根据向量的模长的计算公式可判断A，根据单位圆以及向量的加法平行四边形法则即可判断BC，由模长公式以及垂直关系即可判断D.
【详解】，，即有，故选项A错误；
不妨设，如图，设点、、的坐标为，，，即可得点，在单位圆上.
根据向量加法的平行四边形法则，四边形为正方形，据此不妨设，，从而可得：，，即可得选项B成立，选项C错误.
由可得：，可得：，，则可得：，故选项D成立.故选：BD
30．已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】显然不可能平行，因此只要计算出数量积为正即可．
【详解】由已知各选项中向量与向量不平行，
，
，
，
，
，只有BC选项符合题意．故选：BC．
31．如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用向量的加减法则进行判断.
【详解】根据向量减法可得，故A正确；
因为是的中点，所以，故B正确；
由题意知是的重心，
则，故C错误；
，故D错误.故选：AB.
32．已知正六边形ABCDEF的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】BCD
【分析】根据向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影数量的乘积，先求出向量在方向上的投影的数量的最值，从而得出的范围，对各选项判断即可．
【详解】由题意知，，
当P点与D重合时，向量在方向上的投影的数量最大，为，
当P点与A重合时，向量在方向上的投影的数量最小，为，
所以的最大值为，最小值．
可知，故A不满足，BCD都满足．故选：BCD．
33．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项．
【详解】，A正确；
由向量加法的平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误；
，C正确；
，
在上的投影为，又，
∴在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．
三、填空题
34．已知向量，，则_________．
【答案】
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
【详解】因为，，则，因此，.故答案为：.
35．已知向量，若，则__________.
【答案】0
【分析】根据向量线性运算的坐标计算即可求解.
【详解】由题意知，又，所以，解得,故答案为：0
36．已知夹角为的非零向量满足，，则__________.
【答案】2
【分析】由得，化简代入结合数量积的定义即可得出答案.
【详解】因为的夹角为，且，
而，则，
所以，
则，解得：.故答案为：2.
37．已知向量，满足，，且，的夹角为45°，则______
【答案】
【分析】，结合数量积的公式代入数据计算即可.
【详解】因为向量，满足，，且，的夹角为45°，
所以.故答案为：
38．已知向量，若与垂直，则___________.
【答案】
【分析】由与垂直，解得，从而，由此能求出.
【详解】∵与垂直，∴，则，解得，
∴，则，
∴，故答案为：.
39．已知均为单位向量，若，则与的夹角为________．
【答案】
【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.
【详解】由､均为单位向量，，
得：，即，
所以，所以，
又，所以与的夹角为.故答案为：
40．平面向量满足,,则与的夹角为______.
【答案】
【分析】将两边平方,再将,代入,即可求得夹角.
【详解】解:由题知,所以两边平方可得,
化简可得,即,
即,因为与的夹角范围为:,
所以与的夹角为.故答案为:
41．已知，则向量在向量上的投影向量为__________．
【答案】
【分析】由题知，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】解：因为
所以，解得，
所以，向量在向量上的投影向量为故答案为：
四、高考真题及模拟题精选
一、单选题
1．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
2．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．故选：B．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.故选：D
4．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵∴9，∴故选：C.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,故选：C
二、填空题
6．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．故答案为：．
7．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则_________．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.故答案为：.
8．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
10．（2019·全国·统考高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
【答案】.
【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】因为，，所以，
，所以，所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
11．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则_________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵∴
∴.故答案为：.
12．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.故答案为：.
三、双空题
13．（2020·北京·统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
14．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】 1
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
五、题型精练，巩固基础
一、单选题
1．（2022·河南·统考一模）在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理以及向量的线性运算即可求解．
【详解】∵
∴．故选：D．
2．（2023·陕西西安·统考一模）在平行四边形ABCD中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，，将，，都用，表示，设，解出m，n.
【详解】
设，，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
，解得，，即.故选：C.
3．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在中，，则（ ）
A．9B．18C．6D．12
【答案】D
【分析】由可得，则，代入化简即可得出答案.
【详解】由可得：，
所以，所以，
，
因为，
所以.故选：D.
4．（2022·河南·统考一模）已知向量，若，则（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的共线定理可知，存在实数使得，再根据平面向量的坐标运算即可计算得出结果.
【详解】由，且都是非零向量，可知存在实数使得，
即满足
所以，得.故选：C.
5．（2023·云南红河·统考一模）已知向量，，且，则实数（ ）
A．2B．C．8D．
【答案】D
【分析】计算出和，利用垂直列出方程，求出实数的值.
【详解】由题意得，，
由．得，所以.故选：D．
6．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量，求得，再结合，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
又由向量与的夹角为，，
则.故选：D.
7．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若向量满足，，则（ ）
A．13B．12C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积坐标运算求解即可.
【详解】设向量，因为，，
所以，解得，所以，故，故选：C.
8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）平面向量，若，则（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】B
【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量模的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，所以，解得，
所以，因此.故选：B．
9．（2023·内蒙古·模拟预测）已知向量，，且，则向量的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.
【详解】，，
，又，.故选：D.
10．（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和向量数量积的运算得出，然后代入公式即可求解.
【详解】因为，所以，又，
所以，则在方向上的投影向量的模为，故选：B．
二、多选题
11．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的值为
C．若，则的值为
D．若，则与的夹角为锐角
【答案】AC
【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.
【详解】因为，所以选项A说法正确；
因为，所以，所以选项B说法不正确；
因为，所以，所以选项C说法正确；
当时，，所以，因此选项D说法不正确，故选：AC
12．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在中，已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.
【详解】如图所示：
因为，所以，所以，
故选项A正确，
因为，所以所以
，
故C选项错误，
由，
，
在，，
所以，即，所以，
所以，所以，即
即，故选项D正确，由，所以在中，因为，
所以，故B正确，故选：ABD.
13．（2023·安徽淮北·统考一模）已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.
【详解】是的边上的一点（不包含顶点），则有，
得，即，
又，∴，
可得，，，，，
所以A选项正确，B选项错误；
，当且仅当时等号成立，所以，C选项错误；
，D选项正确.故选：AD
14．（2023·全国·模拟预测）已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】CD
【分析】以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点P的坐标为,结合题意可得，又知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，整理得，变形结合基本不等式即可求解的取值范围，进而得解．
【详解】如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则，，则，，
所以，则点P的坐标为．
由题意可知，，则，
易知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，所以，
即，即，即，
易知，故．
因为，，所以，所以，得，
结合，可得．故选：CD．
三、填空题
15．（2023·全国·模拟预测）若平面向量，，且，则______.
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示求，根据向量的模的坐标表示求.
【详解】由，得，所以，得，所以，
则.故答案为：.
16．（2022·甘肃兰州·校考一模）已知向量，，且，则t=____.
【答案】
【分析】由可得：，进而计算求解.
【详解】因为，所以，则有，
又，，所以，解得：，故答案为：.
17．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知 ，， 若， 则__________
【答案】
【分析】根据题干条件，计算出，求出的值.
【详解】， 且，
∴，故故答案为：
18．（2023·河南郑州·统考一模）若两个非零向量，满足，则与的夹角为______．
【答案】
【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式求解即可.
【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得 ，
所以 且，则 ，
故 ，又，则.故答案为:.
四、双空题
19．（2022·广东广州·统考一模）已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【分析】①根据平面向量垂直的判定条件求解的值即可；
②首先根据投影的计算公式求出在方向上的投影，进而求出在方向上的投影向量.
【详解】①已知，，由于，所以，解得；
②由①知：，，得，
则，，
故在方向上的投影为，
得在方向上的投影向量为.故答案为：；
20．（2022·北京·北大附中校考三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.
【答案】
【详解】
解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，所以，，
设，所以，
因为，所以，所以，
又，所以.故答案为：；10.
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
一、考向解读
考向：纵观近几年高考，平面向量重点考查向量的概念、共线、垂直、线性运算及标运算等知识，侧重考查数量积的坐标运算，难度较低，同时也有可能出现在解答题中，突出其工具功能。因此向量备考应重视基础知识，要求学生熟练掌握基本技能。
（1）向量的线性运算中，用已知的两个不共线的向量作为基底可以表示平面上的其他向量，将所求向量转化到平行四边形或三角形中去，利用平面图形的几何特征建立关系。数量积的基本运算中，经常涉及数量积的定义、模、夹角公式。
（2）向量是数形结合的产物，利用向量解决问题时，能建立直角坐标系，选择坐标运算往往更简单。
考点：线性运算、夹角计算、数量积、模的计算、向量的垂直与平行。
导师建议：平面向量在高考中考查的知识点比较广泛，运用基础的公式比较多，记忆的时候不要弄混淆，靠前要多识记。
二、知识点汇总
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.与的数量积(或内积)：
4.平面向量的坐标运算
(1)设=,=，则+=.
(2)设=,=，则-=.
(3)设A，B,则.
(4)设=，则=.
(5)设=,=，则·=.
5.平面向量的坐标运算
(1)设A，B,则.
(2)设=,=，则=.
(3)设=，则
6.两向量的夹角公式
设=,=，且，则
(=,=).
7.向量的平行与垂直
设=,=，且
.
.
三、题型专项训练
一、单选题
①平面向量线性运算
1．化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.
【详解】因为，故选：.
2．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的加法运算求解.
【详解】解：在平行四边形中，O为对角线的交点，
易知，所以．故选：D
3．在中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平行四边形性质及向量线性运算求解作答.
【详解】在中，令，则是对角线的中点，
.故选：C
4．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】以为基底表示，从而解出，即可求得.
【详解】，，
两式联立得，，，
所以.故选：C．
5．在中，，，若点M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.故选：A.
6．在中，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出并确定点的位置，即可以向量为基底表示出.
【详解】根据题意如下图所示：
根据向量加法法则可知，又，所以
即，
可得.故选：A
7．在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答.
【详解】平行四边形的对角线与交于点，如图，
则，而点为的中点，
有，由得：，
则有，
所以.故选：C
8．如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可.
【详解】在边长为2的等边中, BD为中线，则
故选：A
②平面向量共线垂直
9．已知向量，若，则实数m的值是（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】解：由，得，
解得.故选：A.
10．已知向量，且与互相平行，则的值（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，可直接求出结果.
【详解】∵向量，，
∴，，
∵与互相平行，
∴，解得．故选：C．
11．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.
【详解】向量，不共线，且，，，
，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.
故选：A
12．已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A．B．0或C．0或1D．0或3
【答案】A
【分析】根据向量共线的条件,代入化简,对应系数相等
【详解】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以.故选:A.
13．已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由题意得到，再利用向量的数量积运算分别求得选项中的向量与的数量积，从而可判断是否垂直.
【详解】因为，是单位向量，且夹角为，
所以，
对于A，因为，所以与不垂直，故A错误；
对于B，因为，所以与不垂直，故B错误；
对于C，因为，所以与不垂直，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.故选：D.
14．已知平面向量满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由得，
由得，即故选：B
15．已知，向量，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据两个向量垂直可得它们的数量积为零，求出，根据坐标表示模求出的值即可.
【详解】由，可知，
得，所以，所以，
解得，又，∴，故选：C．
③平面向量夹角问题
16．若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对两边同时平方可求出，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.
【详解】因为，以，
又，，所以，，
设与的夹角为，
则，因为，所以，即与的夹角为.故选：D.
17．若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设向量、的夹角为，由已知可得出，根据平面向量数量积的运算性质求出的值，结合角的取值范围可得出角的值.
【详解】设向量、的夹角为，由题意，，
又因为，因此，.故选：B.
18．已知单位向量，满足，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.
【详解】由单位向量，则，即，，.故选：B.
19．已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由化简得，由与的数量积建立方程即可求得参数.
【详解】由，得，，
∴，
∴，解得.故选：B
④平面向量模长问题
20．已知向量，都是单位向量，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律计算作答.
【详解】向量，都是单位向量，且，则，解得，
所以.故选：D
21．已知向量满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量模的公式得，再求模即可.
【详解】解：因为，，，
所以，，所以，.
又，所以.故选：C
22．已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求出，再求出即得解.
【详解】解：，
，
向量与向量的夹角为.故选：D.
23．已知平面单位向量，，满足，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据可得，替换，利用数量积的运算即可求解.
【详解】如图，设，，
因为，所以平行四边形为菱形，
则为正三角形，所以，且反向，
所以，所以，
因为，所以，故选:C.
④平面向量投影向量问题
24．若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出向量在向量上的投影，再乘以向量同向的单位向量即可得．
【详解】，，，
向量在向量上的投影为，与量同向的单位向量为，
所以向量在向量上的投影向量为．故选：C．
25．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解.
【详解】由已知条件得：，即，
又在方向上的投影向量为，故选：A.
⑤多选题与填空题
二、多选题
26．已知向量，则（ ）
A．B．向量的夹角为
C．D．在方向上的投影向量是
【答案】BD
【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.
【详解】已知则，
，，，，故A错误；
，所以向量的夹角为，故B正确；
，，故错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.故选：BD.
27．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】AB
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为，即C错误；由可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.
【详解】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；
若，可得，即，解得，所以B正确；
若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；
若，则，所以；
但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.故选：AB
28．已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．存在，使得
C．向量是与共线的单位向量
D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断；
B.利用数量积公式，可得，即可求解；
C.根据模的公式，计算，即可判断；
D.根据投影向量公式，即可计算求值.
【详解】对于选项，，
当，即时取最大值2，故A正确；
对于B选项，要使，则，
则，因为，所以，故存在，使得，故B正确；
对于C选项，因为，
所以向量不是单位向量，故C错误；
对于选项，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.故选：.
29．已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的值为
【答案】BD
【分析】根据向量的模长的计算公式可判断A，根据单位圆以及向量的加法平行四边形法则即可判断BC，由模长公式以及垂直关系即可判断D.
【详解】，，即有，故选项A错误；
不妨设，如图，设点、、的坐标为，，，即可得点，在单位圆上.
根据向量加法的平行四边形法则，四边形为正方形，据此不妨设，，从而可得：，，即可得选项B成立，选项C错误.
由可得：，可得：，，则可得：，故选项D成立.故选：BD
30．已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】显然不可能平行，因此只要计算出数量积为正即可．
【详解】由已知各选项中向量与向量不平行，
，
，
，
，
，只有BC选项符合题意．故选：BC．
31．如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用向量的加减法则进行判断.
【详解】根据向量减法可得，故A正确；
因为是的中点，所以，故B正确；
由题意知是的重心，
则，故C错误；
，故D错误.故选：AB.
32．已知正六边形ABCDEF的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】BCD
【分析】根据向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影数量的乘积，先求出向量在方向上的投影的数量的最值，从而得出的范围，对各选项判断即可．
【详解】由题意知，，
当P点与D重合时，向量在方向上的投影的数量最大，为，
当P点与A重合时，向量在方向上的投影的数量最小，为，
所以的最大值为，最小值．
可知，故A不满足，BCD都满足．故选：BCD．
33．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项．
【详解】，A正确；
由向量加法的平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误；
，C正确；
，
在上的投影为，又，
∴在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．
三、填空题
34．已知向量，，则_________．
【答案】
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
【详解】因为，，则，因此，.故答案为：.
35．已知向量，若，则__________.
【答案】0
【分析】根据向量线性运算的坐标计算即可求解.
【详解】由题意知，又，所以，解得,故答案为：0
36．已知夹角为的非零向量满足，，则__________.
【答案】2
【分析】由得，化简代入结合数量积的定义即可得出答案.
【详解】因为的夹角为，且，
而，则，
所以，
则，解得：.故答案为：2.
37．已知向量，满足，，且，的夹角为45°，则______
【答案】
【分析】，结合数量积的公式代入数据计算即可.
【详解】因为向量，满足，，且，的夹角为45°，
所以.故答案为：
38．已知向量，若与垂直，则___________.
【答案】
【分析】由与垂直，解得，从而，由此能求出.
【详解】∵与垂直，∴，则，解得，
∴，则，
∴，故答案为：.
39．已知均为单位向量，若，则与的夹角为________．
【答案】
【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.
【详解】由､均为单位向量，，
得：，即，
所以，所以，
又，所以与的夹角为.故答案为：
40．平面向量满足,,则与的夹角为______.
【答案】
【分析】将两边平方,再将,代入,即可求得夹角.
【详解】解:由题知,所以两边平方可得,
化简可得,即,
即,因为与的夹角范围为:,
所以与的夹角为.故答案为:
41．已知，则向量在向量上的投影向量为__________．
【答案】
【分析】由题知，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】解：因为
所以，解得，
所以，向量在向量上的投影向量为故答案为：
四、高考真题及模拟题精选
一、单选题
1．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
2．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．故选：B．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.故选：D
4．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵∴9，∴故选：C.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,故选：C
二、填空题
6．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．故答案为：．
7．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则_________．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.故答案为：.
8．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
10．（2019·全国·统考高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
【答案】.
【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】因为，，所以，
，所以，所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
11．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则_________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵∴
∴.故答案为：.
12．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.故答案为：.
三、双空题
13．（2020·北京·统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
14．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】 1
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
五、题型精练，巩固基础
一、单选题
1．（2022·河南·统考一模）在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理以及向量的线性运算即可求解．
【详解】∵
∴．故选：D．
2．（2023·陕西西安·统考一模）在平行四边形ABCD中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，，将，，都用，表示，设，解出m，n.
【详解】
设，，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
，解得，，即.故选：C.
3．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在中，，则（ ）
A．9B．18C．6D．12
【答案】D
【分析】由可得，则，代入化简即可得出答案.
【详解】由可得：，
所以，所以，
，
因为，
所以.故选：D.
4．（2022·河南·统考一模）已知向量，若，则（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的共线定理可知，存在实数使得，再根据平面向量的坐标运算即可计算得出结果.
【详解】由，且都是非零向量，可知存在实数使得，
即满足
所以，得.故选：C.
5．（2023·云南红河·统考一模）已知向量，，且，则实数（ ）
A．2B．C．8D．
【答案】D
【分析】计算出和，利用垂直列出方程，求出实数的值.
【详解】由题意得，，
由．得，所以.故选：D．
6．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量，求得，再结合，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
又由向量与的夹角为，，
则.故选：D.
7．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若向量满足，，则（ ）
A．13B．12C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积坐标运算求解即可.
【详解】设向量，因为，，
所以，解得，所以，故，故选：C.
8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）平面向量，若，则（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】B
【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量模的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，所以，解得，
所以，因此.故选：B．
9．（2023·内蒙古·模拟预测）已知向量，，且，则向量的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.
【详解】，，
，又，.故选：D.
10．（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和向量数量积的运算得出，然后代入公式即可求解.
【详解】因为，所以，又，
所以，则在方向上的投影向量的模为，故选：B．
二、多选题
11．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的值为
C．若，则的值为
D．若，则与的夹角为锐角
【答案】AC
【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.
【详解】因为，所以选项A说法正确；
因为，所以，所以选项B说法不正确；
因为，所以，所以选项C说法正确；
当时，，所以，因此选项D说法不正确，故选：AC
12．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在中，已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.
【详解】如图所示：
因为，所以，所以，
故选项A正确，
因为，所以所以
，
故C选项错误，
由，
，
在，，
所以，即，所以，
所以，所以，即
即，故选项D正确，由，所以在中，因为，
所以，故B正确，故选：ABD.
13．（2023·安徽淮北·统考一模）已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.
【详解】是的边上的一点（不包含顶点），则有，
得，即，
又，∴，
可得，，，，，
所以A选项正确，B选项错误；
，当且仅当时等号成立，所以，C选项错误；
，D选项正确.故选：AD
14．（2023·全国·模拟预测）已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】CD
【分析】以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点P的坐标为,结合题意可得，又知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，整理得，变形结合基本不等式即可求解的取值范围，进而得解．
【详解】如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则，，则，，
所以，则点P的坐标为．
由题意可知，，则，
易知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，所以，
即，即，即，
易知，故．
因为，，所以，所以，得，
结合，可得．故选：CD．
三、填空题
15．（2023·全国·模拟预测）若平面向量，，且，则______.
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示求，根据向量的模的坐标表示求.
【详解】由，得，所以，得，所以，
则.故答案为：.
16．（2022·甘肃兰州·校考一模）已知向量，，且，则t=____.
【答案】
【分析】由可得：，进而计算求解.
【详解】因为，所以，则有，
又，，所以，解得：，故答案为：.
17．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知 ，， 若， 则__________
【答案】
【分析】根据题干条件，计算出，求出的值.
【详解】， 且，
∴，故故答案为：
18．（2023·河南郑州·统考一模）若两个非零向量，满足，则与的夹角为______．
【答案】
【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式求解即可.
【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得 ，
所以 且，则 ，
故 ，又，则.故答案为:.
四、双空题
19．（2022·广东广州·统考一模）已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【分析】①根据平面向量垂直的判定条件求解的值即可；
②首先根据投影的计算公式求出在方向上的投影，进而求出在方向上的投影向量.
【详解】①已知，，由于，所以，解得；
②由①知：，，得，
则，，
故在方向上的投影为，
得在方向上的投影向量为.故答案为：；
20．（2022·北京·北大附中校考三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.
【答案】
【详解】
解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，所以，，
设，所以，
因为，所以，所以，
又，所以.故答案为：；10.
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
相关试卷
备战2024年高考第一轮专题复习专题03 平面向量【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）原卷版： 这是一份备战2024年高考第一轮专题复习专题03 平面向量【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）原卷版，共25页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。
备战2024年高考第一轮专题复习专题23 导数与切线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版： 这是一份备战2024年高考第一轮专题复习专题23 导数与切线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共28页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。
备战2024年高考第一轮专题复习专题22 抛物线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版： 这是一份备战2024年高考第一轮专题复习专题22 抛物线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共7页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。
