【期中真题】陕西省西安市32校联考2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题.zip

2022～2023学年度高二年级期中检测考试试卷

数学（理科）

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4．本卷命题范围：北师大版必修5.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接解不等式得到答案.

【详解】，即，故或，

即

故选：A.

2. 在中，角所对的边分别为，若，，，则（    ）

A.  B.  C. 或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦值，分别在和的情况下，利用余弦定理求得结果.

【详解】，，或；

当时，，解得：；

当时，，解得：.

综上所述：或.

故选：C.

3. 已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（    ）

A. 13 B.  C. 3或 D. 或13

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差中项得到，根据等比中项得到，计算得到答案.

【详解】a是4与6的等差中项，故，

b是与的等比中项，则，则，或.

故选：D

4. 若，则恒成立的不等式是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法可确定AB正误，利用反例可知CD错误.

详解】对于AB，，，，，

，即，A正确，B错误；

对于CD，当，时，满足，此时，CD错误.

故选：A.

5. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】排除的情况，根据等比数列求和公式解得，再根据计算得到答案.

【详解】当时，，即，，不成立；

当时，，即，解得.

，.

故选：B.

6. 已知点和点在直线的两侧，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据点与直线的位置关系列不等式可求a的取值范围.

【详解】因为点和点在直线两侧，

所以，所以，所以，所以a的取值范围是，

故选：D.

7. 在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用已知等式配凑出余弦定理的形式，可求得，进而得到，利用正弦定理可求得外接圆半径，由此可求得外接圆面积.

【详解】，，即，

，又，，

设外接圆半径为，则，，

外接圆的面积.

故选：A.

8. 已知x，y满足不等式组，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，作出可行域，根据截距式目标函数的几何意义，可得答案.

【详解】由题意，可作可行域，如下图所示：

联立可得，解得，即交点为，

当动直线过点时，取得最小值，即.

故选：C.

9. 在数列中，，，则（    ）

A. 958 B. 967 C. 977 D. 997

【答案】C

【解析】

【分析】首先通过累加法求得，再利用分组求和的方法求出，代入即可.

【详解】，，则

上述式子累加得

，

，

故选：C.

10. 甲、乙两名学生决定利用解三角形的相关知识估算一下友谊大厦的高度，甲同学在点A处测得友谊大厦顶端C的仰角是63.435°，随后，他沿着某一方向直行m后到达点B，测得友谊大厦顶端C的仰角为45°，乙同学站在友谊大厦底端的点D，测量发现甲同学在移动的过程中，∠ADB恰好为60°，若甲、乙两名同学始终在同一水平面上，则友谊大厦的高度大约是（    ）（参考数据：）

A. 270m B. 280m C. 290m D. 300m

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得到，，利用余弦定理计算得到答案.

【详解】如图所示：设友谊大厦的高度为，

在直角中，，即；

在直角中，，即，

在中，根据余弦定理：，解得，

故选：B

11. 已知，，实数成等差数列，成等比数列，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由等差和等比数列的性质可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由等差数列和等比数列性质知：，，

（当且仅当时取等号），

即的最小值为.

故选：B.

12. 已知数列的前n项和为，，，则（    ）

A. 138 B. 674 C. 675 D. 2023

【答案】C

【解析】

【分析】利用分组求和法结合等差数列公式计算得到答案.

详解】

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在数列中，，，且，则数列的通项公式是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据确定数列为等比数列，再利用等比数列公式计算得到答案.

【详解】，故是等比数列，，故.

故答案为：

14. 已知是等差数列的前项和，若，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据等差数列片段和性质可得，解方程即可求得结果.

【详解】由等差数列性质知：，，成等差数列，

，即，解得：.

故答案为：.

15. 若周长为15的三角形的三边成等差数列，最大内角为120°，则三角形的面积是__________．

【答案】

【解析】

【分析】先求出三角形的三边分别为：3、5、7，即可求出三角形的面积.

【详解】设等差数列的公差为.

由周长为15的三角形的三边成等差数列，可得三边分别为.

由余弦定理得：，解得：.

所以三角形的三边分别为：3、5、7.

所以三角形的面积是.

故答案为：.

16. 航天兴趣小组为了宣传祖国的航天成就，决定制作以“航天英雄”和“天空漫步”为主题的展板，已知制作一个“航天英雄”的展板需要材料，材料，制作一个“太空漫步”的展板需要材料，材料．现有材料，材料，按照以往经验，展板制作的越多，宣传的效果越好，那么为了达到最大的宣传效果，需要制作“航天英雄”展板__________个，“太空漫步”展板__________个．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】设制作“航天英雄”展板个，“太空漫步”展板个，根据题意可得到，作出可行域，将问题转化为在轴截距最大，采用数形结合的方式可确定结果.

【详解】设制作“航天英雄”展板个，“太空漫步”展板个，则；

记制作的展板总数为，由题意可知：若要达到最大的宣传效果，则取得最大值，

作出的可行域如下图阴影部分所示，

要使最大，则需在轴截距最大，

由图象可知：当过时，最大，

由得：，即，满足，，

，

即为了达到最大的宣传效果，，需制作“航天英雄”展板个，太空漫步”展板个.

故答案为：；.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1），.   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.

（2），利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.

【小问1详解】

，，解得，（舍去）.

故，.

【小问2详解】

，

故

18. 1.在中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）若，，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先用正弦定理进行边化角，进而通过两角和与差的正弦公式化简，最后求得答案；

（2）结合（1），运用余弦定理求出c，进而求出三角形的周长.

【小问1详解】

由正弦定理得，

即，则.

因为，所以，所以，得.

【小问2详解】

由（1）知，，又，，

所以由余弦定理可得

即，解得（舍）或.

所以三角形的周长为.

19. 已知关于的不等式的解集为或．

（1）求，的值

（2）解关于的不等式（为常数）．

【答案】（1），   

（2）答案见解析
 

【解析】

【分析】（1）根据不等式与方程的关系利用韦达定理计算即可.

（2）将不等式转化为，讨论和的大小关系，分情况计算答案.

【小问1详解】

不等式的解集为或，则且，解得.

【小问2详解】

，即，

当时，的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为.

综上所述：

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若△ABC的面积为，求a的最小值.

【答案】（1）或   

（2）
 

【解析】

【分析】（1）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理，即可得到角；（2）运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，可得的最小值．

【小问1详解】

由正弦定理得，

∴.

∵，

∴.

∴.

在△ABC中，，

∴，又，

∴或.

【小问2详解】

∵△ABC的面积为.

∴，

∴.

由余弦定理得（当且仅当时取等号）.

①若，则（当且仅当时取等号）；

②若，则（当且仅当时取等号）.

综上，a的最小值为

21. 在对某老旧小区污水分流改造时，需要给该小区重新建造一座底面为矩形且容积为立方米的三级污水处理池（平面图如图所示），有关部门为了建造此污水处理池拨款万元.已知池的深度为米，如果池四周围墙的建造单价为元/平方米，中间两道隔墙的建造单价为元/平方米，池底的建造单价为元/平方米，池盖的建造单价为元/平方米，建造此污水处理池相关人员的劳务费以及其他费用是元（水池所有墙的厚度以及池底池盖的厚度按相关规定执行，计算时忽略不计）

（1）如果将污水处理池的宽建成米，那么万元的拨款是否够用？

（2）能否通过合理的设计污水处理池的长和宽，使拨款够用？并说明你的理由.

【答案】（1）不够用    （2）将污水处理池建成长为米，宽为米时拨款刚好够用，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意结合单价直接计算即可得出；

（2）设污水处理池的宽为米，表示出总费用，利用基本不等式可求.

【小问1详解】

（1）如果将污水处理池的宽建成米，则长为（米）.

建造总费用为：

（元）.

因为，

所以如果污水处理池的宽建成米，那么万元的拨款是不够用的.

【小问2详解】

设污水处理池的宽为米，建造总费用为元，则污水处理池的长为米.

则

因为，等号仅当，即时成立，

所以时建造总费用取最小值，

所以将污水处理池建成长为米，宽为米时，建造总费用最低，最低为元，此时拨款刚好够用.

22. 已知数列的前n项和为，在各项均为正数的等比数列中，，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用与的关系公式求数列的通项，设等比数列的公比为，求出即得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求解.

【小问1详解】

时，；

时，，两式相减得，适合.

所以；

设等比数列的公比为，由题得，

所以.  所以.

【小问2详解】

由题得.

所以所以

两式相减得

所以.