【期中真题】浙江省杭州第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题.zip

杭州二中2022学年度高二第一学期

数学期中考试

时量：120分  满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知，，则它们的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可，注意两直线的一般式的要一致.

【详解】由，得，

所以与的距离为.

故选：A.

2. 用分层抽样的方法，从某中学3000人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取若干人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（    ）

A. 24 B. 27 C. 30 D. 32

【答案】B

【解析】

【分析】由题意求出样本容量，再利用分层抽样的定义求解即可

【详解】解：设从三个年级中共抽取人，则，解得，

则从高二和高三年级共抽取的人数为，

故选：B

3. 已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得.

【详解】因为，所以由得，即，

因为O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，

所以，故.

故选：B.

4. 已知直线，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由直线的位置关系与充分必要条件的概念求解，

【详解】令得，

当时，，重合，

当时，，

故“”是“”的充要条件，

故选：C

5. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．

【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以，，，

设平面的法向量为，

则

令，则，，所以平面的一个法向量．

点到平面的距离为．

故选：D．

6. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 事件A与事件B互斥

C. 事件A与事件B相互独立 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.

【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；

事件B含有的基本事件有8个：，

其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；

抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，

即事件A与事件B相互独立，C正确；

，D不正确.

故选：C

7. 在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】解：，

则，

，

，

，

，

，

所以，

故选：D

8. 在正中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求.

【详解】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1，

不妨设正三角形的边长为 2，则,

设 则，

，

，即，即，

点轨迹为：，则，

所以，

当时, ，即；

当时, 令, 则表示与连线的斜率，如图2， 且，

设直线与圆 相切，直线化为，

则圆心到直线距离, 解得或，

，故，

则当时，取得最大值为，

的最大值为；

综上：的最大值为.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题的关键有两个，一个是建立直角坐标系，求得点轨迹方程，且将转化为关于的函数，另一个是利用直线斜率的几何意义求得的范围.

二、选择题：本题共小4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ）

A. 当时， B. 当时，

C. 当时， D. 当时，

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出，A错误；

B选项，根据向量平行列出方程组，求出；

C选项，根据向量运算法则计算出，利用模长公式列出方程，求出；

D选项，先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦，进而计算出正弦值.

【详解】当时，，解得：，故A错误；

令，则，，故B正确；

，所以，解得：，故C正确；

当，，

因，，故D正确．

故选：BCD

10. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ）

A. 恰有1名女生和恰有2名女生 B. 至少有1名男生和至少有1名女生

C. 至少有1名女生和全是女生 D. 至少有1名女生和全是男生

【答案】AD

【解析】

【分析】逐个选项分析事件之间是否有同时发生的可能性再判断即可.

【详解】A中两个事件是互斥事件,恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生,它与恰有2名女生不可能同时发生，A是；

B中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；

C中两个事件不是互斥事件,至少一名女生包含全是女生的情况，C不是；

D中两个事件是互斥事件,至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D是.

故选：AD

11. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的可能取值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】

由圆的方程求得圆心坐标与半径，可得圆心到的距离为5，得到圆上的点到点的距离的最大值为6，最小值为4，再由，可得，从而得到的取值范围，结合选项得答案

【详解】解：圆的圆心，半径为1，

因为圆心到的距离为5，所以圆上的点到点的距离的最大值为6，最小值为4，

因为圆上存在点，使得，所以以为直径的圆与圆有交点，

所以，所以，

所以选项BC符合题意，

故选：BC

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，解题的关键是求出圆上的点到点的距离的最大值为6，最小值为4，再由圆上存在点，使得，得以为直径的圆与圆有交点，从而可求出，考查转化思想，属于中档题

12. 已知实数x，y满足，记，则z的值可能是（    ）

A. 0 B.  C.  D. 1

【答案】CD

【解析】

【分析】构造函数，利用导数的性质，判断函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可.

【详解】依题可知，有，而，所以不能同时为零，

当时，显然，若，则，又，

所以，即，易知方程无负根或零根，所以z ≠ 0．

当时，，即z ≠ 0，

由，

，

因为，即，

所以，

设，则，

令，即（注意所得根），

整理得，故，

当，且时，单调递增，

当时，单调递减，

故当时，函数有最小值，最小值为．

当时，，所以存在使得．

故选：CD

【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数的性质是解题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 直线过且与圆相切，则直线的方程为_____________.

【答案】或

【解析】

【分析】由直线与圆相切得，分类讨论直线斜率存在与否两种情况，利用点线距离公式求得相应参数，由此求得直线的方程.

【详解】依题意，得圆的圆心为，半径为，

当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，故，即直线与圆相切，满足题意；

当直线斜率存在时，设直线方程为，即，

此时，解得，

所以直线方程为，即；

综上：直线方程为或.

故答案为：或.

14. 如图，大小为的二面角的棱上有两个点A，B，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，则_____________.

【答案】

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算可得，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.

【详解】根据题意，，

由二面角大小为，可得，

，

所以，

故答案为：

15. 某电池厂有A，B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的平均数及方差，结果如下：

则20个产品组成的总样本的平均数为__________，方差为__________.

【答案】    ①. 204    ②. 28

【解析】

【分析】先由平均数的定义求得，再利用方差与平均数的公式分别求得，进而求得.

【详解】依题意，设A生产线产品的样本为，平均数为，B生产线产品的样本为，平均数为，两生产线的样本为，平均数为，

则，

又，，

所以，

所以.

故答案为：.

16. 关于x的不等式恒成立，则k的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】先由题设条件求得，再将不等式转化为上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，结合图像，可得，由此可得k的取值范围.

【详解】由题意可得，得，

则原不等式可转化为在上恒成立，

设直线，上半圆，即，半径为，

则由点线距离公式可知，表示上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，且直线过定点，如图，

设圆心（原点）到直线的距离为，由于上半圆上的点到直线的最大距离为，所以，即，即，解得或，

所以k的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知的三个顶点分别为、、.

（1）求AC的垂直平分线的一般式方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）；   

（2）5.

【解析】

【分析】（1）求得的中点坐标，结合直线垂直求得垂直平分线的斜率，即可求得直线方程；

（2）根据的长度以及点到直线的距离，即可求得三角形面积.

【小问1详解】

根据中点坐标公式，中点的坐标，又，

所以垂直平分线的斜率为，所以其方程为，

即.

【小问2详解】

根据（1）中所求可得直线的方程为：，

整理得：，

又

点到直线的距离，

故三角形的面积.

18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点．

（1）证明：平面PCD．

（2）求直线PA与平面CEF所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行判定定理即可求证，

（2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角.

【小问1详解】

如图，设M为PC的中点，连接FM，MD．               

因为F，M分别为PB，PC的中点，所以．

在正方形ABCD中，，所以．

所以四边形DEFM为平行四边形，．                

因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．

【小问2详解】

以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，          

．                

设平面CEF的法向量为，

则即令，则．           

设直线PA与平面CEF所成角为，

则，

故直线PA与平面CEF所成角的正弦值为．

19. 为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）

（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.

【答案】（1），中位数为，平均数为72   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解；

（2）根据分层抽样在[60，70）内的有人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C，从中任意抽取2人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，进行计算即可得解.

【小问1详解】

由图可知，，解得.

设中位数为x，则，所以.

这100人问答成绩的平均数约为.

【小问2详解】

用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，

则问答成绩在[60，70）内的有人，分别记为A，B；

问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C.

从中任意抽取2人，则实验的样本空间

{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10个样本点.

设事件A为2人的问答成绩均在[70，80）内的概率，

则，

所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率.

20.   如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.

（1）证明：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）通过证明面，即可由线面垂直证明线线垂直；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点和向量的坐标，求得两个平面的法向量，再求两平面夹角的余弦值即可.

【小问1详解】

证明：因为平面，平面，所以；

因为，所以；

因为，面，所以面；

又因为平面，所以.

【小问2详解】

以为原点，建立空间直角坐标系如下所示：

则，，，，，，，

，，，，.

设平面的法向量为，

则，所以，不妨取；

设平面的法向量为，

则，所以，不妨取；

设平面与平面夹角为，

则，

即平面与平面夹角的余弦值为.

21. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲､乙､丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲､乙､丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是.

（1）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；

（2）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；

（3）求甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）甲､乙两位考生中有且只有一位获得录取资格，求即可.

（2）只需求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件的概率即可.

（3）由独立事件的乘法公式即可求解.

【小问1详解】

设事件A表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，

事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，

则，

甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：

.

【小问2详解】

设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，

则，

三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的

对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，

三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：

.

【小问3详解】

记为甲､乙､丙三名考生中获得该高校综合评价录取资格的人数，

则甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率，

又，.

，

所以.

22. 已知圆以及圆.

（1）求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；

（2）设，过点D作斜率非0的直线，交圆M于P、Q两点.

（i）过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；

（ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

【答案】（1）   

（2）（i）；（ii）

【解析】

【分析】（1）联立两圆求交点，根据几何法求圆心和半径，可得答案；

（2）（i）由题意设出直线方程，利用弦长公式，求得弦长，利用基本不等式，可得答案；

（ii）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，利用两直线求交点，求点的横坐标表示，可得答案.

【小问1详解】

联立两圆方程，可得，消去整理可得：，解得，则，

则所求圆所过点分别为，，，

由的中垂线为轴，则可设圆心，

由，则，解得，

故所求圆的半径，故圆的标准方程为.

【小问2详解】

（i）由，则圆心，半径，

由直线过点D且斜率非0，则可设，

即点到直线的距离，故，

由，且直线过点D，则可设，

即点到直线的距离，故，

故，

当且仅当，即时，取等号，

故四边形EPFQ的面积为S最大值为.

（ii）设，设直线，

联立，消得，则，即，

直线的方程为，直线的直线方程为，

联立，消得，

解得，

由，则，即，

N在定直线.