2022-2023学年浙江省杭州第九中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州第九中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数有意义即可求解.
【详解】解：，
，
解得：，
故的定义域为：.
故选：B.
2．若关于的不等式的解集是，则实数等于（ ）
A．－1B．－2C．1D．2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解.
【详解】由题意不等式的解集是，
所以方程的解是，则，解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与一元一次方程的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方程确定直线斜率，在利用斜率与倾斜角的关系即可得倾斜角的大小.
【详解】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为，且
所以，则.
故选：B.
4．若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出两向量的模及数量积，根据即可求解.
【详解】∵，
则，且，
∴.
故选：A.
5．已知，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可.
【详解】，
.
故选：B
6．在正方体中，与成异面直线的棱共有（ ）．
A．条B．条C．条D．条
【答案】A
【分析】剩下的条棱中，有条与相交，条与它平行，其余条异面
【详解】如图：
与成异面直线的棱有、、、共4条棱
故选
【点睛】本题主要考查的是异面直线的判定，通过观察图形即可得出答案，属于基础题．
7．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如图2）.已知，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案.
【详解】如示意图，
由题意，，则，
又，，所以，
所以.
故选：C.
8．棱长为2的正方体中，E为的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意结合对称性分析，周长取最小值时，P在上，作点关于的对称点分别为，求，即可得到周长的最小值．
【详解】过点P作的垂线，垂足为，则，
则周长，当P与重合时等号成立，即P在上，
作点关于的对称点分别为，则
∴，当四点共线时等号成立，
故周长.
故选：B.
二、多选题
9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】先判断奇偶性，再判断单调性．
【详解】ABC三个选项中函数都是奇函数，D既不是奇函数，也不是偶函数，A在定义域内不是单调的函数，排除AD，
BC都是减函数．
故选：BC
10．已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形分球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为，焦距为，当静止放在点A的小球（小球的半径不计），从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】结合椭圆的定义以及椭圆的光学性质，分情况讨论，求得正确答案.
【详解】当小球从A点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是，故A正确；
当小球从A点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是，故B正确；
当小球从点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，故C正确；
由上述分析知，D不正确.
故选：ABC
11．在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意利用直线的截距式方程运算求解，注意讨论截距是否为0.
【详解】设直线在x，y轴上截距分别为，则，
当时，则直线过原点，设直线方程为，
由题意可得：，即，
故直线方程为；
当时，则设直线方程为，
由题意可得：，则，
故直线方程为，即；
综上所述：直线方程为或.
故选：CD.
12．已知a，b是空间中两不同直线，是空间中两不同平面，下列命题中不正确的是（ ）
A．若直线，则B．若平面，则
C．若平面，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据线、面的位置关系逐项分析判断
【详解】对A：若直线，则或，A错误；
对B：若平面，则或，B错误；
对C：若平面，则或是异面直线，C错误；
对D：若，则，D正确.
故选：ABC.
三、填空题
13．幂函数的图像经过点，则______.
【答案】
【解析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得的值.
【详解】幂函数的图像经过点
代入可得
解得
所以幂函数解析式为
则
故答案为:
【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.
14．若方程表示圆，则实数m的取值范围是___________．
【答案】或
【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件列不等式，即可得实数m的取值范围.
【详解】解：若方程表示圆，则，解得或.
故答案为：或.
15．已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点求系数即可，结合椭圆的定义求出，进而可求出，从而可得到椭圆的标准方程.
【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知，
所以．
又因为，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
16．在平面直角坐标系中，已知点，沿x轴把坐标系折成的二面角，则此时线段的长度为________．
【答案】
【分析】作轴，轴，过作平行于轴，且与交于点，得到，连接，，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】
作轴，轴，过作平行于轴，且与交于点，则就是沿x轴把坐标系折成的二面角的平面角，所以；
连接，，则，，，
在中，，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于，作出二面角的平面角，再结合题中数据，即可求解.
四、解答题
17．若的三个顶点坐标为．
(1)求AB边上中线所在的直线方程；
(2)求角AOB的内角平分线所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求线段AB的中点坐标，进而可得斜率，根据斜截式求直线方程；
（2）先求三边的长度，进而可判断为等边三角形，根据三线合一求直线方程.
【详解】（1）由题意可得：线段AB的中点，
则AB边上中线所在的直线的斜率，
故AB边上中线所在的直线方程为.
（2）由题意可得：，
即，则为等边三角形，
∴角AOB的内角平分线所在的直线即为AB边上中线所在的直线，
故角AOB的内角平分线所在的直线方程为.
18．已知函数.
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)若关于x的方程两根之和为4，求ab的最大值.
【答案】(1)答案见详解
(2)1
【分析】（1）讨论两根的大小解一元二次不等式；（2）根据题意可得，利用基本不等式求ab的最大值.
【详解】（1）当时，则，
令，则或，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）由，
令，则或，
由题意可得：，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，
故ab的最大值为1.
19．已知函数.
(1)求的最大值；
(2)在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若求BC边上高AD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简整理可得，再根据正弦函数的有界性求最值.
（2）根据题意可求得，利用余弦定理可求得，再结合面积公式求高AD的长.
【详解】（1）由题意可得：
，
故当，即时，取到最大值.
（2）由题意可得：，即，
∵，则，
∴，则，
在中，由，可得，
又∵，即，
∴，
故BC边上高AD的长为.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，，．
(1)证明：平面平面ABCD；
(2)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面PDC，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面PDC⊥平面ABCD；
（2）由题意首先找到直线PB与平面ABCD所成角，然后利用几何关系结合三角形的性质即可求得其正弦值为.
【详解】（1）由于底面是矩形，故,
又由于，平面PDC
因此平面PDC，而平面，
所以平面平面.
（2）在平面内，过点P作交直线CD于点E，连接EB，如图，
由于平面平面，而直线CD是平面与平面的交线，
平面，
故平面，由此得为直线PB与平面所成的角，
在中,由于,
则，所以
所以.
在中,,,
且,
故在中,,
.
即直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
21．已知椭圆的长轴长为，左焦点，若过点的直线与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆G的标准方程；
(2)求面积S的最大值．
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)由条件列方程求可得椭圆方程；
（2）设，直线的方程为，联立方程组，得出根与系数的关系，再求出三角形面积表达式，利用换元法求其最值.
【详解】（1）∵椭圆的长轴长为，左焦点，
所以，所以，
∴，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由(1)知，则，
由，且直线与椭圆相交可知的斜率存在，
设直线的方程为，
代入椭圆方程得：，
由已知可得方程的判别式，所以，
设，则，
又因为的面积
所以
令 则
当，即（满足）时，取最大值，最大值为，
所以面积的最大值为.
22．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.
【详解】（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
【解析】1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.