2024年高考数学第一轮复习专题23 复数经典问题（解析版）

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专题23 复数经典问题 【考点预测】一.基本概念（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.（2）形如的数叫复数，记作.①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.  ②两个复数相等（两复数对应同一点）③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.二.基本性质1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数.（3）.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.【典例例题】例1．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数，则的实部为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以的实部为.故选：A.例2．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（    ）A．1 B． C．0 D．【答案】C【解析】，所以，，的实部为0．故选：C例3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，则，其虚部为.故选：B例4．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）复数z满足：（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，由得，，解得，．故选：A．例5．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，，则，，∴.故选：B.例6．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）若复数是纯虚数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】为纯虚数，，，故选：.例7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知，且为实数，则实数（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因为为实数，所以.故选：A例8．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】复数是纯虚数，，且，故，.故复数在复平面内对应的点在第一象限，故选：A.例9．（2023·浙江·高三期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（    ）A．1 B． C．1或 D．或5【答案】C【解析】由题意得，则，所以，解得或，故选：C例10．（2023·四川乐山·统考一模）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（    ）A．   B． C． D．【答案】B【解析】复数z满足,即，其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等，即点的轨迹为和的垂直平分线，即z在复平面内对应的点在直线上，故，故选：B例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根.根据根与系数的关系可得即得,所以故选:A.例12．（2023·高三课时练习）若且，则的最小值为_______．【答案】3【解析】表示圆心为，半径为1的圆，而表示圆上的点到的距离，∴最小值为圆心到点的距离减1，即最小值为，如图所示．故答案为：3．例13．（2023·高三课时练习）已知复数，则______．【答案】【解析】，∴，∴.故答案为：. 【技能提升训练】一、单选题1．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ）．A． B．3 C． D．2【答案】D【解析】，则，则z的实部为.故选：D.2．（2023·湖南益阳·高三统考期末）设复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，∵，∴，即：，∴，∴∴.故选：D.3．（2023·山东德州·高三统考期末）已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设复数，代入，有，则，解得，∴.故选：D4．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a为实数，若存在实数t，使为实数(i为虚数单位)，则a的取值范围是（    ）A．  B．  C．  D．【答案】A【解析】，因为存在实数t，使为实数，a为实数，所以存在实数t，，故存在实数t，，所以，故选：A.5．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为复数为纯虚数，由，可知，所以，则，所以复数在复平面上对应的点为，位于第四象限.故选：D6．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知，（为虚数单位），则（    ）A． B．1 C． D．3【答案】A【解析】由题意知，，则.故选：A.7．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知复数，其中i是虚数单位，则在复平面内所对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为，所以，所以，故在复平面内所对应的点的坐标为，在第三象限.故选：C.8．（2023·全国·高三专题练习）若复数在复平面对应点在第三象限，则a，b满足（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，又因为复数在复平面对应点在第三象限，所以，解得.故选：D.9．（2023·浙江杭州·高三期末）若复数（其中i为虚数单位），则（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】因为，则.故选：C．10．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）已知复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】复数，故，所以，故选：C11．（2023·浙江嘉兴·高三统考期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】，，.故选：A.12．（2023·浙江绍兴·高三期末）已知复数z满足，则（    ）A． B．0 C．4 D．5【答案】D【解析】由，则有，所以.故选:D．13．（2023·山西长治·高三校联考阶段练习）已知复数的共轭复数为，且，则的值为（    ）A． B．1 C．或1 D．或2【答案】C【解析】或故选：C.14．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（    ）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】A【解析】设，则，解得：，故的虚部为-1.故选：A．15．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知复数z满足，则z的虚部是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，由，由，故选：D16．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若复数z满足，则的实部为（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】设复数，则，则由可得且，解得，故，其实部为.故选：C.17．（2023·江苏·高三统考期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，故选：D.18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i是虚数单位，复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴.故选：D19．（2023·河北保定·高三统考期末）若，则等于（    ）A．2 B．6 C． D．【答案】B【解析】,所以.故选：B20．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）设复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.21．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意．故选：C．22．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）若（是虚数单位），则（    ）A． B．0 C．1 D．3【答案】A【解析】因为,所以,则,所以,故选：A.23．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）复数的共轭复数是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以复数的共轭复数是.故选：A.24．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知复数在复平面内的对应点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为复数在复平面内的对应点为，所以，所以故选：D25．（2023·高三课时练习）若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（    ）A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，故该方程的另一个复数根是.故选：A.26．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，即，所以，所以，解得，所以，故选：C27．（2023·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由已知，则z的共轭复数为，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.28．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的虚部为A．-4 B．C．4 D．【答案】D【解析】设∴ ，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念二、多选题29．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（    ）A．B．C．若，则D．若，则【答案】AC【解析】A选项，，A选项正确.B选项，，B选项错误.C选项，，，若，则，解得，所以C选项正确.D选项，当时，，所以D选项错误.故选：AC30．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，则下列各项正确的为（    ）A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数C．复数的共轭复数对应点在第四象限 D．复数的模为5【答案】BC【解析】∵，则可得：复数的虚部为1，A错误；为纯虚数，B正确；复数的共轭复数为，其对应点为，在第四象限，C正确；复数的模为，D错误；故选：BC．三、填空题31．（2023·高三课时练习）复数的虚部是______．【答案】【解析】，∴的虚部为.故答案为：.32．（2023·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．【答案】-2【解析】，由，所以复数为实数，则，，此时，满足.故答案为：-233．（2023·上海静安·统考一模）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】，∴复数在复平面内对应的点为，由已知，在第二象限，∴，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.34．（2023·全国·高三专题练习）设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为___________【答案】9【解析】 故复数对应的点的坐标为 ，又因为点在直线 ，整理得： 当且仅当 时，即 时等号成立，即的最小值为9故答案为：935．（2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．【答案】2【解析】设复数z在复平面中对应的点为∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆表示点到点的距离，结合图形可得故答案为：．