2023高考数学艺体生一轮复习 专题23 复数经典问题（原卷版）

专题23 复数经典问题

【考点预测】

一.基本概念

（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.

（2）形如的数叫复数，记作.

①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. 

②两个复数相等（两复数对应同一点）

③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.

二.基本性质

1、复数运算

（1）

（2）

其中，叫z的模；是的共轭复数.

（3）.

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.

2、复数的几何意义

（1）复数对应平面内的点；

（2）复数对应平面向量；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.

【典例例题】

例1．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数，则的实部为（    ）

A． B． C． D．

例2．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（    ）

A．1 B． C．0 D．

例3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

例4．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）复数z满足：（    ）

A． B． C． D．

例5．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（    ）

A． B． C． D．

例6．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）若复数是纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

例7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知，且为实数，则实数（    ）

A． B． C．1 D．2

例8．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

例9．（2023·浙江·高三期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（    ）

A．1 B． C．1或 D．或5

例10．（2023·四川乐山·统考一模）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（    ）

A．   B． C． D．

例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ）

A． B． C． D．

例12．（2023·高三课时练习）若且，则的最小值为_______．

例13．（2023·高三课时练习）已知复数，则______．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ）．

A． B．3 C． D．2

2．（2023·湖南益阳·高三统考期末）设复数，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·山东德州·高三统考期末）已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（    ）

A． B．

C． D．

4．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a为实数，若存在实数t，使为实数(i为虚数单位)，则a的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

A． B． C．1 D．2

5．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知，（为虚数单位），则（    ）

A． B．1 C． D．3

7．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知复数，其中i是虚数单位，则在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

8．（2023·全国·高三专题练习）若复数在复平面对应点在第三象限，则a，b满足（    ）

A． B．

C． D．

9．（2023·浙江杭州·高三期末）若复数（其中i为虚数单位），则（    ）

A． B．2 C． D．4

10．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

11．（2023·浙江嘉兴·高三统考期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ）

A． B．1 C． D．2

12．（2023·浙江绍兴·高三期末）已知复数z满足，则（    ）

A． B．0 C．4 D．5

13．（2023·山西长治·高三校联考阶段练习）已知复数的共轭复数为，且，则的值为（    ）

A． B．1 C．或1 D．或2

14．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（    ）

A．－1 B．－2 C．1 D．2

15．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知复数z满足，则z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

16．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若复数z满足，则的实部为（）

A． B． C．1 D．2

17．（2023·江苏·高三统考期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i是虚数单位，复数，则（    ）

A． B． C． D．

19．（2023·河北保定·高三统考期末）若，则等于（    ）

A．2 B．6 C． D．

20．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）设复数，则（    ）

A． B． C． D．

21．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

22．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）若（是虚数单位），则（    ）

A． B．0 C．1 D．3

23．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）复数的共轭复数是（    ）

A． B．

C． D．

24．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知复数在复平面内的对应点为，则（    ）

A． B． C． D．

25．（2023·高三课时练习）若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（    ）

A． B． C． D．无法确定

26．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ）

A．4 B． C． D．

27．（2023·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

28．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的虚部为

A．-4 B．

C．4 D．

二、多选题

29．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（    ）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

30．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，则下列各项正确的为（    ）

A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数

C．复数的共轭复数对应点在第四象限 D．复数的模为5

三、填空题

31．（2023·高三课时练习）复数的虚部是______．

32．（2023·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．

33．（2023·上海静安·统考一模）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________．

34．（2023·全国·高三专题练习）设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为___________

35．（2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．