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新高考物理一轮复习重难点过关训练专题13 动能 动能定理（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习重难点过关训练专题13 动能 动能定理（含解析），共26页。试卷主要包含了5m等内容，欢迎下载使用。
专题13 动能 动能定理
1.理解动能定理，会用动能定理解决一些基本问题.
2.掌握解决动能定理与图像结合的问题的方法．
考点一 动能定理的理解和基本应用
1．动能
(1)定义：物体由于运动而具有的能量叫作动能．
(2)公式：Ek＝mv2，单位：焦耳(J).1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2.
(3)动能是标量、状态量．
2．动能定理
(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
(2)表达式：W＝ΔEk＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12.
(3)物理意义：合力做的功是物体动能变化的量度．
1．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
2．解题流程
3．动能定理的优越性
应用牛顿第二定律和运动学规律解题时，涉及到的有关物理量比较多，对运动过程的细节也要仔细研究，而应用动能定理解题只需考虑外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理．一般情况下，由牛顿第二定律和运动学规律能够解决的问题，用动能定理也可以求解，并且更为简捷．
4．注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(2)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理求解．
(3)动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能．
【典例1】（2022·全国·高三课时练习）改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变，下列几种情形中，汽车的动能不变的是（ ）
A．质量不变，速度增大到原来的2倍 B．速度不变，质量增大到原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的2倍 D．速度减半，质量增大到原来的4倍
【答案】D
【解析】A．由知，质量不变，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的4倍，故A错误；
B．由知，速度不变，质量增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍，故B错误；
C．由知，质量减半，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍，故C错误；
D．由知，速度减半，质量增大到原来的4倍，汽车的动能不变，故D正确。
故选D。
【典例2】（2022·浙江·高三阶段练习）某地有一个风力发电场，安装有20台风电机组，年发电量约为2400万千瓦时。已知发电机叶片长度为30米，空气的密度为1.3kg/m3，若风以15m/s的速度垂直叶片面吹来，空气的动能约有10%可以转化为电能，风电机组刚好满负荷发电，则该风电场一年之中能满负荷发电的时间约为（ ）
A．40天 B．80天 C．160天 D．320天
【答案】B
【解析】根据题意得
解得
由
故选B。
考点二 应用动能定理求变力做功
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W变＋W恒＝mv22－mv12，物体初、末速度已知，恒力做功W恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W变＝mv22－mv12－W恒，就可以求变力做的功了．
【典例3】（2021·内蒙古·满洲里远方中学高三阶段练习）如图，一颗0.1kg子弹以500m/s的速度打穿第一块固定木板后速度变为300m/s，则这个过程中子弹克服阻力所做的功为（ ）
A．8000J B．4500J C．3000J D．无法确定
【答案】A
【解析】在子弹穿木块的过程中，设它克服阻力做功为，根据动能定理得
代入数据得
=8000J
故选A。
考点三 动能定理与图像问题的结合
1．解决图像问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．
2．图像所围“面积”和图像斜率的含义
【典例4】（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）冬梦飞扬，冬奥梦圆。第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京开幕。跳台滑雪是一项深受勇敢者喜爱的滑雪运动。图（甲）为某跳台滑雪运动员从跳台a（长度可忽略不计）处沿水平方向飞出、经2s在斜坡b处着陆的示意图，图（乙）为运动员从a到b飞行时的动能Ek随飞行时间t变化的关系图像。不计空气阻力作用，重力加速度g取10m/s2，则下列说法错误的是（ ）
A．斜坡的倾角为30°
B．运动员在a处的速度大小为10m/s
C．运动员运动到b处时重力的瞬时功率为1.2×104W
D．运动员在1s末时离坡面的距离最大
【答案】A
【解析】B．根据图像可得
联立解得
故B正确；
A．t＝2s时，运动员落在斜坡上，斜坡的倾角满足
解得
故A错误；
C．根据动能公式
解得
t＝2s时，运动员运动到b处时重力的瞬时功率为
故C正确；
D．运动员离坡面距离最远时，速度方向与坡面平行，有
解得
故D正确。
由于本题选择错误的，故选A。
【典例5】（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）一质量为m的物体静止在光滑水平面上，某时刻起受到水平向右的大小随位移变化的力F的作用，F随位移变化的规律如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．物块的位移为x0时，物块的速度最大
C．力F对物块做的总功为6F0x0
D．物块的最大速度为
【答案】D
【解析】AB．物体在光滑水平面上运动，受到的合外力为F，因为F为正，所以物体一直加速运动；那么，物体的位移为3x0时，物块的速度最大，故AB错误；
C．物体所受合外力F随位移的关系式可有图象得到，由图可知，合外力做功的大小为图中曲线与x轴围成的面积，所以力F对物块做的总功为
故C错误；
D．物体的位移为3x0时，物块的速度最大，由动能定理可得
所以最大速度为
故D正确。
故选D。
【典例6】（2021·山东·文登新一中高三阶段练习）质量为8×102kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15m／s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出图象，图中AB、BO均为直线，假设电动车行驶中所受的阻力恒定，则根据图象不能确定的是（ ）
A．电动车运动过程中所受的阻力 B．电动车的额定功率
C．电动车维持匀加速运动的时间 D．BC过程电动车运动的时间
【答案】D
【解析】A．由图线可知，AB段牵引力不变，该车先做匀加速直线运动，BC段图线的斜率不变，斜率表示电动机的功率，知功率不变，速度增大，牵引力减小，做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力等于阻力后，做匀速直线运动。根据图像可知，电动车运动过程中所受的阻力为400N，故A可确定；
B．在C点，电动车的额定功率
故B可确定；
C．根据牛顿第二定律得匀加速运动的加速度大小为
匀加速末速度
则匀加速运动的时间为
故C可确定；
D．因为不知道该段的位移，所以无法根据动能定理确定时间，故D不能确定。
故选D。
一、 单选题
1.（2021·河南·濮阳外国语学校高三阶段练习）一人用力踢质量为0.1kg的静止皮球，使球以20m/s的速度水平飞出。假设人踢球瞬间对球的平均作用力是200N，球在水平方向运动了20m停止。那么人对球所做的功为（ ）
A．5J B．20J C．50J D．400J
【答案】B
【解析】在踢球的过程中，人对球所做的功等于球动能的变化，则
故选B。
2．（2022·上海金山·二模）一物体在竖直向上的恒定外力作用下，从水平地面由静止开始向上做匀加速直线运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表离地的高度，以地面为零势能面，下列能正确反映各物理量之间关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】AB．设外力大小为F，物体的加速度大小为a，根据动能定理和运动学规律有
由上式可知Ek与h成正比例关系，Ek-h图像为过原点的倾斜直线；Ek与t成二次函数关系，Ek-t图像为过原点的开口向上的抛物线的右半部分，故A错误，B正确；
CD．设物体重力大小为G，根据重力势能的定义和运动学规律有
由上式可知Ep与h成正比例关系，Ep-h图像为过原点的倾斜直线；Ep与t成二次函数关系，Ep-t图像为过原点的开口向上的抛物线的右半部分，故CD错误。
故选B。
3．（2022·重庆市江津第八中学校模拟预测）如图所示，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为，其左边缘a点比右边缘b点高h。若摩托车经过a点时的动能为，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为；若经过a点时的动能为，该摩托车恰能越过坑到达b点，则等于（ ）
A．2 B．8 C．6 D．3
【答案】B
【解析】在竖直方向
解得
根据平抛运动的知识可得初速度
由此可得
代入数据可得
故B正确，ACD错误。
4．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）随着人们生活水平的不断提高，人们的健康意识持续增强，越来越多的人参与到网球运动中来。图为某小区的居民们在简易网球场。某次沿水平场地的轴线ABC发球接球的示意图。某时刻，网球在A点正上方的D点处被水平击出，网球擦网E点落地反弹后被对方球员在F点接住。已知， ，。当地重力加速度取。网球与地面碰撞反弹的过程中水平方向速度不变，竖直方向速率将减为碰撞前竖直方向速率的。网球质量，不计网球大小、网球与地面作用的时间及空气阻力。对于该过程，下列说法正确的是（ ）
A．网球被击出时的速度大小为20m/s
B．网球的落地点到C点的距离为6m
C．对方球员在F点接球时，网球的速度方向水平向右
D．网球落地反弹过程中损失的动能为
【答案】B
【解析】A．设从D点到E点的时间为t1
解得
网球被击出时的速度大小为30m/s，A错误；
B．设网球从抛出点D到落地点O的运动时间为t2
解得
落地点O到C点的距离为6m，B正确；
C．网球落地速度的竖直分量为
弹起的最大高度为
解得
对方球员在F点接球时，网球的速度向右上方，C错误；
D．网球落地反弹过程中损失的动能为
D错误。
故选B。
5．（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示，一物块置于足够长的水平传送带上，弹簧左端固定在竖直墙壁上，弹簧右端与物块接触但不栓接，墙壁与物块间系不可伸长的轻绳使水平方向的弹簧处于压缩状态，压缩量为0.2m（弹性限度内）。已知物块质量为0.5kg。物块与传送带间的动摩擦因数、重力加速度g = 10m/s2。若传送带不动，剪断轻绳，当弹簧刚好恢复原长时物块的速度为零；若传送带以v = 3m/s的速度顺时针匀速转动，则剪断轻绳后（ ）
A．在弹簧恢复原长的过程中，物块向右先做加速运动，后做减速运动
B．弹簧恢复原长时，物块速度大小为2m/s
C．物块在传送带上运动的过程中，摩擦力对物块做功为2.5J
D．弹簧恢复原长后，物块与传送带之间由于摩擦而产生的热量为2.75J
【答案】B
【解析】B．若传送带不动，弹簧压缩量为0.2m到恢复原长时物块的速度为零，由动能定理
弹簧弹力做功为
若传送带以3m/s的速度顺时针匀速转动，剪断轻绳后。弹簧恢复原长时，弹簧弹力做功不变，摩擦力做正功，根据动能定理
弹簧恢复原长时，物块速度大小为
B正确；
A．由B选项分析可知，在弹簧恢复原长的过程中物块的速度一直小于传送带速度，物块所受的滑动摩擦力一直水平向右，弹力水平向右，则物块向右做加速运动，A错误；
C．物块与弹簧分离后，在摩擦力的作用下做匀加速直线运动，直至共速后做匀速直线运动，匀加速运动过程中，摩擦力做功为，由动能定理得
则物块在传送带上运动的过程中，摩擦力对物块做功为
C错误；
D．根据牛顿第二定律，物块匀加速运动的加速度大小为
匀加速至共速的时间为
这段时间内，物块运动距离为
传送带运动距离为
则弹簧恢复原长后，物块与传送带之间由于摩擦而产生的热量为
D错误。
故选B。
6.（2022·江苏·模拟预测）如图，一个质量为m的小滑块在高度为h的斜面顶端由静止释放；滑块与斜面间动摩擦因数恒定，以水平地面为零势能面。则滑块滑至斜面底端时的动能Ek随斜面倾角θ变化的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知小滑块在高度为h的斜面顶端由静止释放，则对于小滑块下滑的过程应用动能定理可得
（tanθ ≥ μ）
故当时，Ek = mgh；随着θ减小，tanθ逐渐减小，物块滑到斜面底端的动能逐渐减小，当重力沿斜面方向的分力小于等于最大静摩擦力时，有
mgsinθ ≤ μmgcosθ
解得
μ ≥ tanθ
此后继续减小θ，物块都不再下滑，则此后小滑块的动能一直为零。
故选A。
7．（2022·山东·高三专题练习）如图甲所示，一质量为2kg的物体静止在水平地面上，水平推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数为0.1，取g=，下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的最大速度为m/s
B．在运动中由于摩擦产生的热量为6J
C．物体在水平地面上运动的最大位移是4.5m
D．物体先做加速运动，推力撤去时开始做减速运动
【答案】C
【解析】A．物体所受滑动摩擦力大小为
当F大于Ff时，物体做加速运动，当F与Ff大小相等时，物体运动的速度最大，由图乙可知此时物体运动的位移为
F-x图像与坐标轴所围的面积表示F做的功，则F在物体运动位移为x1的过程中对物体所做的功为
设物体运动的最大速度为vm，根据动能定理有
解得
故A错误；
B．根据功能关系可知，整个运动过程中，由于摩擦产生的热量等于F做的总功，即
故B错误；
C．物体在水平地面上运动的最大位移是
故C正确；
D．当F大于Ff时，物体做加速度逐渐减小的加速运动，当F小于Ff时物体开始做减速运动，故D错误。
故选C。
8．（2022·福建省龙岩第一中学模拟预测）如图所示，斜面倾角为θ=37°，物体1放在斜面紧靠挡板处，物体1和斜面间动摩擦因数为μ=0.5，一根不可伸长的柔质轻绳跨过光滑轻质的小定滑轮，绳一端固定在物体1上，另一端固定在物体2上，斜面上方的轻绳与斜面平行物体2下端固定一长度为h的轻绳，轻绳下端拴在小物体3上，物体1、2、3的质量之比为4：1：5，开始时用手托住小物体3，小物体3到地面的高度也为h，此时各段轻绳刚好拉紧，已知物体触地后立即停止运动、不再反弹，重力加速度为g=10m/s²，物体3从静止突然放手后，物体1沿面上滑的最大距离为（ ）
A．3h B．h C．2h D．h
【答案】D
【解析】对物块1，开始向上滑动时，重力沿斜面方向的分力与摩擦力的合力
+
方向沿绳向下，设3触地时刻的速度为，因1，2，3在同一条绳上，从开始放手到3触地的过程，对系统应用动能定理有
3触地以后立刻停止，设2触地之前1停止运动，且在3触地以后运动的距离为s再次应用动能定理
解得
全过程
故ABC错误，D正确。
故选D。
9．（2022·山东·模拟预测）质量为2kg的物体以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦力的作用，其动能随位移变化的关系图线如图所示，重力加速度，以下说法中不正确的是（ ）
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.25
B．物体与水平面间的摩擦力大小为5N
C．物体滑行过程中的动能的变化量为100J
D．物体滑行的加速度大小为
【答案】C
【解析】AB．根据动能定理
由图像可知
解得
μ=0.25
选项AB正确；
C．物体滑行过程中的动能的变化量为-100J，选项C错误；
D．物体的初速度
加速度
选项D正确。
选不正确的，故选C。
10．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平，轨道的内表面粗糙。一质量为m的小滑块从P点正上方由静止释放，释放高度为R，小滑块恰好从P点进入轨道。小滑块滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度。用W表示小滑块第一次在轨道NQ段运动时克服摩擦力所做的功。则（ ）
A．W＝mgR B．W
【答案】B
【解析】A B．根据题述，小滑块滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，根据牛顿第三定律，轨道对小滑块的支持力
在最低点，由牛顿第二定律
解得
v2＝3gR
对小滑块由静止释放至运动到最低点N的过程，设小滑块克服摩擦力做的功为，由动能定理得
解得
由于小滑块在右侧圆弧轨道NQ段运动的速度大小与小滑块在左侧圆弧轨道PN段对称位置运动的速度大小相比较小，对轨道的压力就较小，对应受到的摩擦力较小，克服摩擦力做的功较小，所以小滑块第一次在轨道NQ段运动时克服摩擦力做的功
B正确，A错误；
CD．由于小滑块在轨道最低点N的动能为
大于小滑块运动到Q点所需克服重力做的功mgR和克服摩擦力做的功W之和，所以小滑块可以到达Q点后竖直上抛，CD错误。
故选B。
二、多选题
11．（2022·山西大同·高三阶段练习）在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到后，立即关闭发动机直至静止，图像如图所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为，全过程中牵引力做功为，克服摩擦力做功为，则（ ）。
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】AC．由图像可知，在0~2s时间内的位移为
在2s~6s时间内的位移为
由动能定理可得
解得
A正确，C错误；
BD．由图像，对汽车运动的全程由动能定理可得
解得
B正确，D错误。
故选AB。
12．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）重锤式打桩机的原理可简化为以下情境：木桩质量不计，长为L，竖直立于地面上。质量为m的重锤用卷扬机缓慢吊起，到木桩顶部距离也为L时，由静止释放，重锤落到木桩上后和木柱一起向下运动，木桩恰好有一半打入土中，已知木桩受到土的阻力与进入土中的深度成正比，空气阻力忽略不计，若再来一次，把木桩的剩余部分刚好全部打入土中，下列说法正确的是（ ）
A．若重锤到木桩顶部距离仍为L，重锤质量需变为2m
B．若重锤到木桩顶部距离仍为L，重锤质量需变为3m
C．若重锤质量不变，重锤到木桩顶部距离需变为3L
D．若重锤质量不变，重锤到木桩顶部距离需变为4L
【答案】BD
【解析】由于木桩受到土的阻力与进入土中的深度成正比，则阻力
如图所示
图像与坐标轴围成的面积表示克服阻力做的功。质量为m的重锤到木桩顶部距离为L由静止释放时，重锤落到木桩上后，木桩恰好有一半打入土中，根据功能关系可得
解得
AB．若重锤到木桩顶部距离仍为L，设第二次重锤质量需变为M，则有
解得
故A错误，B正确；
CD．若重锤质量不变，设第二次重锤到木桩顶部距离变为H，则有
解得
故C错误，D正确。
故选BD。
三、解答题
13.（2022·海南·昌江黎族自治县矿区中学二模）如图所示，四分之一光滑圆轨道AB固定在竖直平面内，粗糙水平轨道BC与圆弧AB相切于B点。现将一质量为m=1kg，可视为质点的物块从与圆心等高的A点静止释放，物块滑至圆弧轨道最低点B时的速度大小为，之后物块向右滑上动摩擦因素的粗糙水平轨道BC，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。
（1）求光滑圆轨道AB的半径大小R；
（2）物块滑至圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小F；
（3）物体最终停下来，求物体在水平面上通过的位移x。
【答案】（1）0.2m；（2）30N；（3）0.4m
【解析】（1）物块从A点到B点运动的过程中，由动能定理可得
解得
R=0.2m
（2）物块在B点时
解得
FN=30N
由牛顿第三定律得
F=30N
（3）物块从释放到在水平轨道上静止的全过程中，由动能定理可得
解得
0.4m
14．（2022·全国·高三课时练习）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα＝。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达B点时对圆弧轨道的压力大小。
【答案】（1）mg，；（2）mg
【解析】（1）设水平恒力的大小为F0，小球所受重力和水平恒力的合力的大小为F，小球到达C点时速度的大小为vC，则
＝tanα
F＝
由牛顿第二定律得
F＝m
联立解得
F0＝mg
vC＝
（2）设小球到达B点时速度的大小为vB，小球由B到C的过程中由动能定理可得
－2FR＝mvC2－mvB2
解得
vB＝
小球在B点时有
FN－F＝m
解得
FN＝mg
由牛顿第三定律可知，小球在B点时对圆弧轨道的压力大小为
FN′＝mg
15．（2022·江苏·模拟预测）如图所示，竖直面内半径为R的轻质圆形支架上穿有一小球；两弹性轻绳一端固定在与圆心O等高的A点，另一端穿过支架上的光滑小环P、Q后连接小球，其弹力均遵循胡克定律，原长均为。初始时刻小球恰好静止在与圆心O等高的B点。现使整个装置以PQ为轴缓慢加速转动，小球到达C处时不再下滑。小球由B刚滑至C过程中外界对支架做功为W。已知小球质量为m，重力加速度为g，两弹性绳的劲度系数，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。求：
（1）小球与支架间的动摩擦因数μ；
（2）小球刚到达C处时装置的角速度ω；
（3）小球由B刚滑至C过程中摩擦力对小球做的功Wf。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）小球在B处时，受力如图，由平衡条件有
其中：两绳上弹力
解得
（2）下移时小球受力如图，两段绳子弹力
考虑到恒成立，可知F1、F2合力，方向始终指向圆心O。设F0与水平方向的夹角为θ。随着ω的增大，小球缓慢下滑时，FN、f不断减小，当刚滑至C处时FN、f均为0。由牛顿运动定律
解得
（3）由于下滑时，两绳弹力的合力始终指向圆心，不做功。对小球由动能定理
其中
解得
16．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）一转动装置如图所示，两根轻杆OA和AB与一小球以及一轻质套筒通过铰链连接，两轻杆长度均为L，球的质量为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与套筒之间，原长为L，弹簧劲度系数为，转动该装置并缓慢增大转速，套筒缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）平衡时弹簧的长度；
（2）AB杆中弹力为0时，装置转动的角速度ω0；
（3）弹簧从小球平衡至缩短为原长的一半的过程中，外界对转动装置所做的功W。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设两杆与竖直方向的夹角为θ，对球根据平衡条件得
根据胡克定律得
解得
弹簧的长度为
（2）AB杆中弹力为0时，弹簧恢复原长，根据牛顿第二定律得
解得
（3）弹簧缩短为原长的一半时，设OA与竖直方向的夹角为α，竖直方向根据平衡条件得
水平方向根据牛顿第二定律得
根据直角三角形得
解得
弹簧长度从至弹性势能不变，根据动能定理得
解得
专题13 动能 动能定理
1.理解动能定理，会用动能定理解决一些基本问题.
2.掌握解决动能定理与图像结合的问题的方法．
考点一 动能定理的理解和基本应用
1．动能
(1)定义：物体由于运动而具有的能量叫作动能．
(2)公式：Ek＝mv2，单位：焦耳(J).1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2.
(3)动能是标量、状态量．
2．动能定理
(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
(2)表达式：W＝ΔEk＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12.
(3)物理意义：合力做的功是物体动能变化的量度．
1．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
2．解题流程
3．动能定理的优越性
应用牛顿第二定律和运动学规律解题时，涉及到的有关物理量比较多，对运动过程的细节也要仔细研究，而应用动能定理解题只需考虑外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理．一般情况下，由牛顿第二定律和运动学规律能够解决的问题，用动能定理也可以求解，并且更为简捷．
4．注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(2)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理求解．
(3)动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能．
【典例1】（2022·全国·高三课时练习）改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变，下列几种情形中，汽车的动能不变的是（ ）
A．质量不变，速度增大到原来的2倍 B．速度不变，质量增大到原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的2倍 D．速度减半，质量增大到原来的4倍
【答案】D
【解析】A．由知，质量不变，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的4倍，故A错误；
B．由知，速度不变，质量增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍，故B错误；
C．由知，质量减半，速度增大到原来的2倍，动能变为原来的2倍，故C错误；
D．由知，速度减半，质量增大到原来的4倍，汽车的动能不变，故D正确。
故选D。
【典例2】（2022·浙江·高三阶段练习）某地有一个风力发电场，安装有20台风电机组，年发电量约为2400万千瓦时。已知发电机叶片长度为30米，空气的密度为1.3kg/m3，若风以15m/s的速度垂直叶片面吹来，空气的动能约有10%可以转化为电能，风电机组刚好满负荷发电，则该风电场一年之中能满负荷发电的时间约为（ ）
A．40天 B．80天 C．160天 D．320天
【答案】B
【解析】根据题意得
解得
由
故选B。
考点二 应用动能定理求变力做功
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W变＋W恒＝mv22－mv12，物体初、末速度已知，恒力做功W恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W变＝mv22－mv12－W恒，就可以求变力做的功了．
【典例3】（2021·内蒙古·满洲里远方中学高三阶段练习）如图，一颗0.1kg子弹以500m/s的速度打穿第一块固定木板后速度变为300m/s，则这个过程中子弹克服阻力所做的功为（ ）
A．8000J B．4500J C．3000J D．无法确定
【答案】A
【解析】在子弹穿木块的过程中，设它克服阻力做功为，根据动能定理得
代入数据得
=8000J
故选A。
考点三 动能定理与图像问题的结合
1．解决图像问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．
2．图像所围“面积”和图像斜率的含义
【典例4】（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）冬梦飞扬，冬奥梦圆。第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京开幕。跳台滑雪是一项深受勇敢者喜爱的滑雪运动。图（甲）为某跳台滑雪运动员从跳台a（长度可忽略不计）处沿水平方向飞出、经2s在斜坡b处着陆的示意图，图（乙）为运动员从a到b飞行时的动能Ek随飞行时间t变化的关系图像。不计空气阻力作用，重力加速度g取10m/s2，则下列说法错误的是（ ）
A．斜坡的倾角为30°
B．运动员在a处的速度大小为10m/s
C．运动员运动到b处时重力的瞬时功率为1.2×104W
D．运动员在1s末时离坡面的距离最大
【答案】A
【解析】B．根据图像可得
联立解得
故B正确；
A．t＝2s时，运动员落在斜坡上，斜坡的倾角满足
解得
故A错误；
C．根据动能公式
解得
t＝2s时，运动员运动到b处时重力的瞬时功率为
故C正确；
D．运动员离坡面距离最远时，速度方向与坡面平行，有
解得
故D正确。
由于本题选择错误的，故选A。
【典例5】（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）一质量为m的物体静止在光滑水平面上，某时刻起受到水平向右的大小随位移变化的力F的作用，F随位移变化的规律如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．物块的位移为x0时，物块的速度最大
C．力F对物块做的总功为6F0x0
D．物块的最大速度为
【答案】D
【解析】AB．物体在光滑水平面上运动，受到的合外力为F，因为F为正，所以物体一直加速运动；那么，物体的位移为3x0时，物块的速度最大，故AB错误；
C．物体所受合外力F随位移的关系式可有图象得到，由图可知，合外力做功的大小为图中曲线与x轴围成的面积，所以力F对物块做的总功为
故C错误；
D．物体的位移为3x0时，物块的速度最大，由动能定理可得
所以最大速度为
故D正确。
故选D。
【典例6】（2021·山东·文登新一中高三阶段练习）质量为8×102kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15m／s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出图象，图中AB、BO均为直线，假设电动车行驶中所受的阻力恒定，则根据图象不能确定的是（ ）
A．电动车运动过程中所受的阻力 B．电动车的额定功率
C．电动车维持匀加速运动的时间 D．BC过程电动车运动的时间
【答案】D
【解析】A．由图线可知，AB段牵引力不变，该车先做匀加速直线运动，BC段图线的斜率不变，斜率表示电动机的功率，知功率不变，速度增大，牵引力减小，做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力等于阻力后，做匀速直线运动。根据图像可知，电动车运动过程中所受的阻力为400N，故A可确定；
B．在C点，电动车的额定功率
故B可确定；
C．根据牛顿第二定律得匀加速运动的加速度大小为
匀加速末速度
则匀加速运动的时间为
故C可确定；
D．因为不知道该段的位移，所以无法根据动能定理确定时间，故D不能确定。
故选D。
一、 单选题
1.（2021·河南·濮阳外国语学校高三阶段练习）一人用力踢质量为0.1kg的静止皮球，使球以20m/s的速度水平飞出。假设人踢球瞬间对球的平均作用力是200N，球在水平方向运动了20m停止。那么人对球所做的功为（ ）
A．5J B．20J C．50J D．400J
【答案】B
【解析】在踢球的过程中，人对球所做的功等于球动能的变化，则
故选B。
2．（2022·上海金山·二模）一物体在竖直向上的恒定外力作用下，从水平地面由静止开始向上做匀加速直线运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表离地的高度，以地面为零势能面，下列能正确反映各物理量之间关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】AB．设外力大小为F，物体的加速度大小为a，根据动能定理和运动学规律有
由上式可知Ek与h成正比例关系，Ek-h图像为过原点的倾斜直线；Ek与t成二次函数关系，Ek-t图像为过原点的开口向上的抛物线的右半部分，故A错误，B正确；
CD．设物体重力大小为G，根据重力势能的定义和运动学规律有
由上式可知Ep与h成正比例关系，Ep-h图像为过原点的倾斜直线；Ep与t成二次函数关系，Ep-t图像为过原点的开口向上的抛物线的右半部分，故CD错误。
故选B。
3．（2022·重庆市江津第八中学校模拟预测）如图所示，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为，其左边缘a点比右边缘b点高h。若摩托车经过a点时的动能为，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为；若经过a点时的动能为，该摩托车恰能越过坑到达b点，则等于（ ）
A．2 B．8 C．6 D．3
【答案】B
【解析】在竖直方向
解得
根据平抛运动的知识可得初速度
由此可得
代入数据可得
故B正确，ACD错误。
4．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）随着人们生活水平的不断提高，人们的健康意识持续增强，越来越多的人参与到网球运动中来。图为某小区的居民们在简易网球场。某次沿水平场地的轴线ABC发球接球的示意图。某时刻，网球在A点正上方的D点处被水平击出，网球擦网E点落地反弹后被对方球员在F点接住。已知， ，。当地重力加速度取。网球与地面碰撞反弹的过程中水平方向速度不变，竖直方向速率将减为碰撞前竖直方向速率的。网球质量，不计网球大小、网球与地面作用的时间及空气阻力。对于该过程，下列说法正确的是（ ）
A．网球被击出时的速度大小为20m/s
B．网球的落地点到C点的距离为6m
C．对方球员在F点接球时，网球的速度方向水平向右
D．网球落地反弹过程中损失的动能为
【答案】B
【解析】A．设从D点到E点的时间为t1
解得
网球被击出时的速度大小为30m/s，A错误；
B．设网球从抛出点D到落地点O的运动时间为t2
解得
落地点O到C点的距离为6m，B正确；
C．网球落地速度的竖直分量为
弹起的最大高度为
解得
对方球员在F点接球时，网球的速度向右上方，C错误；
D．网球落地反弹过程中损失的动能为
D错误。
故选B。
5．（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示，一物块置于足够长的水平传送带上，弹簧左端固定在竖直墙壁上，弹簧右端与物块接触但不栓接，墙壁与物块间系不可伸长的轻绳使水平方向的弹簧处于压缩状态，压缩量为0.2m（弹性限度内）。已知物块质量为0.5kg。物块与传送带间的动摩擦因数、重力加速度g = 10m/s2。若传送带不动，剪断轻绳，当弹簧刚好恢复原长时物块的速度为零；若传送带以v = 3m/s的速度顺时针匀速转动，则剪断轻绳后（ ）
A．在弹簧恢复原长的过程中，物块向右先做加速运动，后做减速运动
B．弹簧恢复原长时，物块速度大小为2m/s
C．物块在传送带上运动的过程中，摩擦力对物块做功为2.5J
D．弹簧恢复原长后，物块与传送带之间由于摩擦而产生的热量为2.75J
【答案】B
【解析】B．若传送带不动，弹簧压缩量为0.2m到恢复原长时物块的速度为零，由动能定理
弹簧弹力做功为
若传送带以3m/s的速度顺时针匀速转动，剪断轻绳后。弹簧恢复原长时，弹簧弹力做功不变，摩擦力做正功，根据动能定理
弹簧恢复原长时，物块速度大小为
B正确；
A．由B选项分析可知，在弹簧恢复原长的过程中物块的速度一直小于传送带速度，物块所受的滑动摩擦力一直水平向右，弹力水平向右，则物块向右做加速运动，A错误；
C．物块与弹簧分离后，在摩擦力的作用下做匀加速直线运动，直至共速后做匀速直线运动，匀加速运动过程中，摩擦力做功为，由动能定理得
则物块在传送带上运动的过程中，摩擦力对物块做功为
C错误；
D．根据牛顿第二定律，物块匀加速运动的加速度大小为
匀加速至共速的时间为
这段时间内，物块运动距离为
传送带运动距离为
则弹簧恢复原长后，物块与传送带之间由于摩擦而产生的热量为
D错误。
故选B。
6.（2022·江苏·模拟预测）如图，一个质量为m的小滑块在高度为h的斜面顶端由静止释放；滑块与斜面间动摩擦因数恒定，以水平地面为零势能面。则滑块滑至斜面底端时的动能Ek随斜面倾角θ变化的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知小滑块在高度为h的斜面顶端由静止释放，则对于小滑块下滑的过程应用动能定理可得
（tanθ ≥ μ）
故当时，Ek = mgh；随着θ减小，tanθ逐渐减小，物块滑到斜面底端的动能逐渐减小，当重力沿斜面方向的分力小于等于最大静摩擦力时，有
mgsinθ ≤ μmgcosθ
解得
μ ≥ tanθ
此后继续减小θ，物块都不再下滑，则此后小滑块的动能一直为零。
故选A。
7．（2022·山东·高三专题练习）如图甲所示，一质量为2kg的物体静止在水平地面上，水平推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数为0.1，取g=，下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的最大速度为m/s
B．在运动中由于摩擦产生的热量为6J
C．物体在水平地面上运动的最大位移是4.5m
D．物体先做加速运动，推力撤去时开始做减速运动
【答案】C
【解析】A．物体所受滑动摩擦力大小为
当F大于Ff时，物体做加速运动，当F与Ff大小相等时，物体运动的速度最大，由图乙可知此时物体运动的位移为
F-x图像与坐标轴所围的面积表示F做的功，则F在物体运动位移为x1的过程中对物体所做的功为
设物体运动的最大速度为vm，根据动能定理有
解得
故A错误；
B．根据功能关系可知，整个运动过程中，由于摩擦产生的热量等于F做的总功，即
故B错误；
C．物体在水平地面上运动的最大位移是
故C正确；
D．当F大于Ff时，物体做加速度逐渐减小的加速运动，当F小于Ff时物体开始做减速运动，故D错误。
故选C。
8．（2022·福建省龙岩第一中学模拟预测）如图所示，斜面倾角为θ=37°，物体1放在斜面紧靠挡板处，物体1和斜面间动摩擦因数为μ=0.5，一根不可伸长的柔质轻绳跨过光滑轻质的小定滑轮，绳一端固定在物体1上，另一端固定在物体2上，斜面上方的轻绳与斜面平行物体2下端固定一长度为h的轻绳，轻绳下端拴在小物体3上，物体1、2、3的质量之比为4：1：5，开始时用手托住小物体3，小物体3到地面的高度也为h，此时各段轻绳刚好拉紧，已知物体触地后立即停止运动、不再反弹，重力加速度为g=10m/s²，物体3从静止突然放手后，物体1沿面上滑的最大距离为（ ）
A．3h B．h C．2h D．h
【答案】D
【解析】对物块1，开始向上滑动时，重力沿斜面方向的分力与摩擦力的合力
+
方向沿绳向下，设3触地时刻的速度为，因1，2，3在同一条绳上，从开始放手到3触地的过程，对系统应用动能定理有
3触地以后立刻停止，设2触地之前1停止运动，且在3触地以后运动的距离为s再次应用动能定理
解得
全过程
故ABC错误，D正确。
故选D。
9．（2022·山东·模拟预测）质量为2kg的物体以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦力的作用，其动能随位移变化的关系图线如图所示，重力加速度，以下说法中不正确的是（ ）
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.25
B．物体与水平面间的摩擦力大小为5N
C．物体滑行过程中的动能的变化量为100J
D．物体滑行的加速度大小为
【答案】C
【解析】AB．根据动能定理
由图像可知
解得
μ=0.25
选项AB正确；
C．物体滑行过程中的动能的变化量为-100J，选项C错误；
D．物体的初速度
加速度
选项D正确。
选不正确的，故选C。
10．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平，轨道的内表面粗糙。一质量为m的小滑块从P点正上方由静止释放，释放高度为R，小滑块恰好从P点进入轨道。小滑块滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度。用W表示小滑块第一次在轨道NQ段运动时克服摩擦力所做的功。则（ ）
A．W＝mgR B．W
【答案】B
【解析】A B．根据题述，小滑块滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，根据牛顿第三定律，轨道对小滑块的支持力
在最低点，由牛顿第二定律
解得
v2＝3gR
对小滑块由静止释放至运动到最低点N的过程，设小滑块克服摩擦力做的功为，由动能定理得
解得
由于小滑块在右侧圆弧轨道NQ段运动的速度大小与小滑块在左侧圆弧轨道PN段对称位置运动的速度大小相比较小，对轨道的压力就较小，对应受到的摩擦力较小，克服摩擦力做的功较小，所以小滑块第一次在轨道NQ段运动时克服摩擦力做的功
B正确，A错误；
CD．由于小滑块在轨道最低点N的动能为
大于小滑块运动到Q点所需克服重力做的功mgR和克服摩擦力做的功W之和，所以小滑块可以到达Q点后竖直上抛，CD错误。
故选B。
二、多选题
11．（2022·山西大同·高三阶段练习）在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到后，立即关闭发动机直至静止，图像如图所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为，全过程中牵引力做功为，克服摩擦力做功为，则（ ）。
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】AC．由图像可知，在0~2s时间内的位移为
在2s~6s时间内的位移为
由动能定理可得
解得
A正确，C错误；
BD．由图像，对汽车运动的全程由动能定理可得
解得
B正确，D错误。
故选AB。
12．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）重锤式打桩机的原理可简化为以下情境：木桩质量不计，长为L，竖直立于地面上。质量为m的重锤用卷扬机缓慢吊起，到木桩顶部距离也为L时，由静止释放，重锤落到木桩上后和木柱一起向下运动，木桩恰好有一半打入土中，已知木桩受到土的阻力与进入土中的深度成正比，空气阻力忽略不计，若再来一次，把木桩的剩余部分刚好全部打入土中，下列说法正确的是（ ）
A．若重锤到木桩顶部距离仍为L，重锤质量需变为2m
B．若重锤到木桩顶部距离仍为L，重锤质量需变为3m
C．若重锤质量不变，重锤到木桩顶部距离需变为3L
D．若重锤质量不变，重锤到木桩顶部距离需变为4L
【答案】BD
【解析】由于木桩受到土的阻力与进入土中的深度成正比，则阻力
如图所示
图像与坐标轴围成的面积表示克服阻力做的功。质量为m的重锤到木桩顶部距离为L由静止释放时，重锤落到木桩上后，木桩恰好有一半打入土中，根据功能关系可得
解得
AB．若重锤到木桩顶部距离仍为L，设第二次重锤质量需变为M，则有
解得
故A错误，B正确；
CD．若重锤质量不变，设第二次重锤到木桩顶部距离变为H，则有
解得
故C错误，D正确。
故选BD。
三、解答题
13.（2022·海南·昌江黎族自治县矿区中学二模）如图所示，四分之一光滑圆轨道AB固定在竖直平面内，粗糙水平轨道BC与圆弧AB相切于B点。现将一质量为m=1kg，可视为质点的物块从与圆心等高的A点静止释放，物块滑至圆弧轨道最低点B时的速度大小为，之后物块向右滑上动摩擦因素的粗糙水平轨道BC，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。
（1）求光滑圆轨道AB的半径大小R；
（2）物块滑至圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小F；
（3）物体最终停下来，求物体在水平面上通过的位移x。
【答案】（1）0.2m；（2）30N；（3）0.4m
【解析】（1）物块从A点到B点运动的过程中，由动能定理可得
解得
R=0.2m
（2）物块在B点时
解得
FN=30N
由牛顿第三定律得
F=30N
（3）物块从释放到在水平轨道上静止的全过程中，由动能定理可得
解得
0.4m
14．（2022·全国·高三课时练习）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα＝。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达B点时对圆弧轨道的压力大小。
【答案】（1）mg，；（2）mg
【解析】（1）设水平恒力的大小为F0，小球所受重力和水平恒力的合力的大小为F，小球到达C点时速度的大小为vC，则
＝tanα
F＝
由牛顿第二定律得
F＝m
联立解得
F0＝mg
vC＝
（2）设小球到达B点时速度的大小为vB，小球由B到C的过程中由动能定理可得
－2FR＝mvC2－mvB2
解得
vB＝
小球在B点时有
FN－F＝m
解得
FN＝mg
由牛顿第三定律可知，小球在B点时对圆弧轨道的压力大小为
FN′＝mg
15．（2022·江苏·模拟预测）如图所示，竖直面内半径为R的轻质圆形支架上穿有一小球；两弹性轻绳一端固定在与圆心O等高的A点，另一端穿过支架上的光滑小环P、Q后连接小球，其弹力均遵循胡克定律，原长均为。初始时刻小球恰好静止在与圆心O等高的B点。现使整个装置以PQ为轴缓慢加速转动，小球到达C处时不再下滑。小球由B刚滑至C过程中外界对支架做功为W。已知小球质量为m，重力加速度为g，两弹性绳的劲度系数，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。求：
（1）小球与支架间的动摩擦因数μ；
（2）小球刚到达C处时装置的角速度ω；
（3）小球由B刚滑至C过程中摩擦力对小球做的功Wf。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）小球在B处时，受力如图，由平衡条件有
其中：两绳上弹力
解得
（2）下移时小球受力如图，两段绳子弹力
考虑到恒成立，可知F1、F2合力，方向始终指向圆心O。设F0与水平方向的夹角为θ。随着ω的增大，小球缓慢下滑时，FN、f不断减小，当刚滑至C处时FN、f均为0。由牛顿运动定律
解得
（3）由于下滑时，两绳弹力的合力始终指向圆心，不做功。对小球由动能定理
其中
解得
16．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）一转动装置如图所示，两根轻杆OA和AB与一小球以及一轻质套筒通过铰链连接，两轻杆长度均为L，球的质量为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与套筒之间，原长为L，弹簧劲度系数为，转动该装置并缓慢增大转速，套筒缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）平衡时弹簧的长度；
（2）AB杆中弹力为0时，装置转动的角速度ω0；
（3）弹簧从小球平衡至缩短为原长的一半的过程中，外界对转动装置所做的功W。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设两杆与竖直方向的夹角为θ，对球根据平衡条件得
根据胡克定律得
解得
弹簧的长度为
（2）AB杆中弹力为0时，弹簧恢复原长，根据牛顿第二定律得
解得
（3）弹簧缩短为原长的一半时，设OA与竖直方向的夹角为α，竖直方向根据平衡条件得
水平方向根据牛顿第二定律得
根据直角三角形得
解得
弹簧长度从至弹性势能不变，根据动能定理得
解得
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