2024年高考数学第一轮复习32_专题十101计数原理、排列与组合（专题试卷+讲解PPT）

专题十　计数原理

10.1　计数原理、排列与组合

考点　计数原理、排列、组合

1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有              (　　)

A.120种　　　　B.90种　　　　C.60种　　　　D.30种

答案　C　解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C(易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不用全排列).

2.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有              (　　)

A.12种　　　　B.24种　　　　C.36种　　　　D.48种

答案　B　丙和丁相邻共有种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有=24种站法,故选B.

3.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有              (　　)

A.60种　　　　B.120种　　　　C.240种　　　　D.480种

答案　C　先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有=10种分法,然后将4个项目全排列,共有=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有=240种,故选C.

易错警示　本题容易出现将5人分为4组,共有分法=60种的错误结果.

4.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(　　)

A.24　　　B.48　　　C.60　　　D.72

答案　D　奇数的个数为=72.

5.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(　　)

A.144个　　　B.120个　　　C.96个　　　D.72个

答案　B　数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2=48个;同理,以5开头的有3=72个.于是共有48+72=120个,故选B.

评析　本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.

考查学生分析问题、解决问题的能力.

6.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有(　　)

A.60种　　　B.70种　　　C.75种　　　D.150种

答案　C　从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有·=75种.故选C.

7.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A.144　　　B.120　　　C.72　　　D.24

答案　D　先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有=24种放法,故选D.

8.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(　　)

A.192种　　　B.216种　　　C.240种　　　D.288种

答案　B　若最左端排甲,其他位置共有=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有=24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.

9.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A.72　　　B.120　　　C.144　　　D.168

答案　B　先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有·=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有··=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.

10.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A.243　　　B.252　　　C.261　　　D.279

答案　B　由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.

评析　本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.

11.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(　　)

A.12种　　　B.10种　　　C.9种　　　D.8种

答案　A　2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有种方案,故不同的安排方案共有=12种,选A.

评析　本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.

12.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为(　　)

A.3×3!　　　　　B.3×(3!)3

C.(3!)4　　　　　D.9!

答案　C　第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;

第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.

评析　本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.

13.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(　　)

A.1或3　　　B.1或4　　　C.2或3　　　D.2或4

答案　D　由题意及=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A3 2人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D.

14.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A.24　　　B.18　　　C.12　　　D.9

答案　B　分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.

思路分析　小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步乘法计数原理即可得结果.

15.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有(　　)

A.18个　　　B.16个　　　C.14个　　　D.12个

答案　C　当m=4时,数列{an}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有=3种情况;③若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.

思路分析　根据题意可知a1=0,a8=1,进而对a2,a3,a4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.

16.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成　　　　个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 

答案　1 260

解析　本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.

含有数字0的没有重复数字的四位数共有=540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.

易错警示　数字排成数时,容易出错的地方:

(1)数字是否可以重复;

(2)数字0不能排首位.

17.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了　　　　条毕业留言.(用数字作答) 

答案　1 560

解析　∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1 560条毕业留言.

18.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是　　　　. 

答案　96

解析　5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4=96.

19.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　　　　种.(用数字作答) 

答案　480

解析　先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有=24种排法,再将甲、乙插入有=20种,所以6人排成一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.

20.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有　　　　种(用数字作答). 

答案　480

解析　从左往右看,若C排在第1位,共有排法=120种;若C排在第2位,共有排法·=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法·+·=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.

21.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有　　　　个.(用数字作答) 

答案　14

解析　解法一:数字2只出现一次的四位数有=4个;数字2出现两次的四位数有=6个;数字2出现三次的四位数有=4个.故总共有4+6+4=14个.

解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.

评析　本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.