湖南省名校2023-2024学年高三上学期阶段检测数学试题

这是一份湖南省名校2023-2024学年高三上学期阶段检测数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，定义矩阵运算则，已知向量，，，，则，若某正方体的棱长为，则等内容，欢迎下载使用。
高三阶段检测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：高考全部范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的虚部为（    ）A．1 B．i C．3 D．3i2．若集合，，则（    ）A． B． C． D．3．圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．4．2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示：地区南宁市柳州市桂林市梧州市玉林市防城港市钦州市男、女性别比\%106.71107.74103.33106.77107.81119.01110.66地区贵港市北海市百色市贺州市河池市来宾市崇左市男、女性别比\%108.29108.48104.69105.66104.18107.52108.90根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是（    ）A．柳州市 B．玉林市 C．北海市 D．南宁市5．若，则的展开式中的系数的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．定义矩阵运算则（    ）A． B． C． D．7．若某圆台上底面和下底面的半径分别为1，3，且圆台的体积为，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为（    ）A． B． C． D．8．若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量，，，，则（    ）A．  B．C．  D．在上的投影向量为10．若某正方体的棱长为，则（    ）A．该正方体的体积为5 B．该正方体的内切球的体积为C．该正方体的表面积为30 D．该正方体的外接球的表面积为11．山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”．阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成．已知每盒某阿胶产品的质量M（单位：g）服从正态分布，且，．A．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于249g的概率为0.75B．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在251g~253g内的概率为0.15C．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于253g的盒数的方差为47.5D．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在251g~253g内的盒数的数学期望为20012．已知实数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ）A．B．若，则的最小值为C．的最大值为D．若，则c的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若是奇函数，且，则________．14．在数列中，，，若，，成等差数列，，，．成等比数列，则________．15．若曲线在处的切线的斜率为3，则该切线在x轴上的截距为________．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为60°的直线l与C交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则C的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度（结果精确到0.1m，取）．18．（12分）已知数列，满足，，．（1）求的通项公式；（2）求的前n项和．19．（12分）某工厂的工人生产内径为28.50mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸（单位：mm）如下：            这里用表示有n个尺寸为xmm的零件，p，q均为正整数．若从这60个零件中随机抽取1个，则这个零件的内径尺寸小于28.49mm的概率为．（1）求p，q的值．（2）已知这60个零件内径尺寸的平均数为，标准差为smm，且，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是菱形，△PAD是正三角形，，E是AB的中点．（1）证明：．（2）求二面角的余弦值．21．（12分）已知双曲线过点和点．（1）求双曲线的方程．（2）过的直线与双曲线交于P，Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A，B两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．22．（12分）已知函数，其中n为正整数．（1）求的单调区间；（2）证明：．高三阶段检测数学参考答案1．C，虚部为3．2．C因为，，所以．3．A圆的圆心坐标为，则，得，所以该抛物线的焦点坐标为．4．B将这14个数据（单位：%）按照从小到大的顺序排列为103．33，104．18，104．69，105．66，106．71，106．77，107．52，107．74，107．81，108．29，108．48，108．90，110．66，119．01，因为，所以这14个数据的第60百分位数是排序后的第9个数据，即107.81，对应的地区是玉林市．5．D的展开式中的系数为，因为，所以．6．B．7．D设圆台的高为h，则，得．故该圆台的母线与底面所成角的正切值为．8．D由，得，因为，，所以，依题意可得，，解得．9．AC，A正确．因为，所以，则，所以，B错误．因为，所以，C正确．在上的投影向量为，D错误．10．BCD因为该正方体的棱长为，所以其体积为，表面积为，A错误，C正确．该正方体的内切球的直径为，所以内切球的体积为，B正确．该正方体的外接球的直径为，所以外接球的表面积为，D正确．11．ACD因为，所以，A正确．因为，所以，所以，B错误．因为，所以，若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于253g的盒数，所以，C正确．，若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在251g~253g内的盒数，所以，D正确．12．ABD因为，所以，即，因为，所以，则，所以，A正确．若，则，且a，b均为正数，则，则，当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为，B正确．因为，所以，因为，所以，所以，C错误．由，则，则，由，得，则c的最小值为，D正确．13．4因为是奇函数，所以．14．32依题意可得的前8项为0，2，4，8，12，18，24，32．15．因为，所以，由，得或（舍去）．所以该切线的方程为，所以该切线在x轴上的截距为．16．如图，由的面积是面积的2倍，可得，不妨设，，，则，．在中，由，得，整理得．在中，由，得，整理得，则，整理得，即．故C的离心率为．17．解：，……1分在△BCD中，由正弦定理得，……4分则．……7分在Rt△ABD中，，，……8分所以，故黄河楼的实际高度约为70.7m．……10分18．解：（1）由，，得，……1分因为，所以，且是首项为，公比为2的等比数列，……3分所以．……5分（2）由（1）知，……6分所以……8分……10分．……12分19．解：（1）依题意可得……2分解得……4分（2）将每个数据都减去28．50后所得新数据的平均数为，……6分所以，……7分所以，．……9分所以这60个零件内径尺寸在内的个数为，……11分因为，所以这次抽检的零件不合格．……12分20．（1）证明：取AD的中点F，连接EF，PF，BD．因为△PAD是正三角形，所以．……1分又平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD．……2分因为平面ABCD，所以．……3分因为E是AB的中点，所以．又底面ABCD是菱形，所以，从而．……4分因为，所以平面PEF．……5分因为平面PEF，所以．……6分（2）解：连接BF，因为，所以△ABD是正三角形，所以．……7分以F为坐标原点，FA，FB，FP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．令，则，，，则，．……8分设平面CEP的法向量为，则令，得．……9分由题可知，是平面ACE的一个法向量．……10分，……11分由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为．……12分21．解：（1）将点和点的坐标代入，得……1分解得……3分所以双曲线的方程为．……4分（2）依题意可得直线PQ的斜率存在，设PQ：．联立得，设，，则，……6分所以．……7分，直线AB：．设，．联立得，则……9分则，……11分所以，所以为定值，定值为．……12分22．（1）解：，……1分当时，；当时，．……3分所以的单调递减区间为，单调递增区间为．……5分（2）证明：要证，只需证，即证．……6分设函数，则，的导函数，则在上单调递减，在上单调递增，……7分所以，当时，，……8分所以在上存在唯一零点m．因为，，所以．……9分所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又，所以，所以．……10分设函数，则在上单调递减，所以，……11分因为n为正整数，所以，所以，所以．……12分