新高考物理三轮冲刺突破练习专题05运动的合成与分解平抛运动（含解析）

这是一份新高考物理三轮冲刺突破练习专题05运动的合成与分解平抛运动（含解析），共16页。

运动的合成与分解、平抛运动规律及分析方法是高考重点考查的内容，绳、杆相关联物体的速度关系，物体做曲线运动的条件近年来也有出现，而单纯以选择题形式考查时难度较低．
考向一 速度关联问题
涉及绳(杆)牵连物体运动的分析技巧
(1)解题关键
找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键．
(2)基本思路
①先确定合速度的方向(物体实际运动方向)．
②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动．
③确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同.
【典例1】摄制组在某大楼旁边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶。如图所示，导演在某房顶离地H=16m处架设了滑轮（人和车均视为质点，且滑轮直径远小于H），若轨道车从A处以v=10m/s的速度匀速运动到B处，绳BO与水平方向的夹角为53°。由于绕在滑轮上细钢丝的拉动，使质量为m=50kg的特技演员从地面由静止开始向上运动。在车从A运动到B的过程中（取g=10m/s2，sin53°=0.8，cs53°=0.6）（ ）
A. 演员最大速度为6.0 m/sB. 演员上升高度为16 m
C. 演员一直处于超重状态D. 演员受到绳子拉力一直增大
【答案】AC
【解析】
A．演员在B点的速度最大，则 SKIPIF 1 < 0 选项A正确；
B．演员上升高度为 SKIPIF 1 < 0 选项B错误；
C．根据 SKIPIF 1 < 0 可知，随车的运动，θ减小，则人的速度增加，即人的加速度向上，处于超重状态，选项C正确；
D．当车向左匀速运动时，绳子与水平方向夹角逐渐减小，人的速度逐渐变大，最终趋近于小车的速度，可知人的加速度逐渐减小，则拉力的大小在减小，最终拉力大小趋近于人的重力，故D错误。
故选AC。
【典例2】(多选)如图所示，A、B两球分别套在两光滑无限长的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮(轴心固定不动)相连，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，A球向左的速度为v.下列说法正确的是( )
A．此时B球的速度为eq \f(cs α,cs β) v B．此时B球的速度为eq \f(cs β,cs α) v
C．当β增大到等于90°时，B球的速度达到最大 D．在β增大到90°的过程中，绳对B球的拉力一直做正功
【答案】ACD
【解析】： 对AB两球进行运动分解，如图所示
将A球的速度v沿轻绳方向和垂直于轻绳方向分解，沿轻绳方向分速度v1＝vcs α；将B球的速度vB沿轻绳方向和垂直于轻绳方向分解，沿轻绳方向分速度v2＝vBcs β；两小球沿轻绳方向的分速度相等，即vcs α＝vBcs β，解得此时B球的速度为vB＝eq \f(cs α,cs β) v，选项A正确，B错误；由vB＝eq \f(cs α,cs β) v知，当β增大到等于90°时，B球的速度达到最大，选项C正确；由于拉力与B球位移方向夹角小于90°，所以在β增大到90°的过程中，绳对B球的拉力一直做正功，选项D正确．
【典例3】如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是( )
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 eq \r(2)
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 eq \f(\r(2),2)
【答案】AC
【解析】：由题意，释放时小环向下加速运动，则重物将加速上升，对重物由牛顿第二定律可知绳中张力一定大于重力2mg，所以A正确；小环到达B处时，重物上升的高度应为绳子竖直部分缩短的长度，即Δh＝eq \r(2)d－d，所以B错误；根据题意，沿绳子方向的速度大小相等，将小环在B处的速度沿绳子方向与垂直于绳子方向正交分解有vBcs θ＝v重，即eq \f(vB,v重)＝eq \f(1,cs θ)＝eq \r(2)，所以C正确，D错误．
考向二 平抛运动的基本规律
1．建立坐标，分解运动
将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动(在某些情况下运动分解的方向不一定在竖直方向和水平方向上)．
2．各自独立，分别分析
3．平抛运动是匀变速曲线运动，在任意相等的时间内速度的变化量Δv相等，Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下．
4．两个分运动与合运动具有等时性，且t＝ eq \r(\f(2y,g))，由下降高度决定，与初速度v0无关．
5．任意时刻的速度与水平方向的夹角θ的正切值总等于该时刻的位移与水平方向的夹角φ的正切值的2倍，即tan θ＝2tan φ.
与斜面相结合的两类典型的平抛运动
【典例4】如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛后飞行的时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则下列图象中能正确表示平抛后飞行的时间t随v变化的函数关系的是( )
【答案】C
【解析】： 当小球落在斜面上时，有：tan θ＝eq \f(\f(1,2)gt2,vt)＝eq \f(gt,2v)，解得t＝eq \f(2vtan θ,g)，与速度v成正比．当小球落在地面上，根据h＝eq \f(1,2)gt2得，t＝eq \r(\f(2h,g))，知运动时间不变．可知t与v的关系图线先是过原点的一条倾斜直线，然后是平行于横轴的直线，故C正确，A、B、D错误．
【典例5】如图，在某一峡谷两侧存在与水平面成相同角度的山坡，某人站在左侧山坡上的 SKIPIF 1 < 0 点向对面山坡上水平抛出三个质量不等的石块，分别落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三处，不计空气阻力， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处在同一水平面上，则下列说法中正确的是（ ）
A. 落在 SKIPIF 1 < 0 处的石块在空中运动的时间最长
B. 落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度方向相同
C. 落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三处的石块落地速度方向相同
D. 落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度大小不可能相同
【答案】B
【解析】
A．平抛运动的运动时间取决于竖直分运动的位移大小，位移越大，运动时间越长，所以落在B处的石块在空中运动的时间最长，故A错误；B．设落在A处的石块落地速度方向与水平方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 即落地时的速度方向只与山坡倾角有关，与落地点无关，所以落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度方向相同，故B正确；C．落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度方向是不同的，因为直线PA和PC的倾角不同，故C错误；
D．落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度分别为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
由水平位移可知 SKIPIF 1 < 0 ，由竖直位移可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是有可能相等的，故D错误。故选B。
考向三 半圆模型中的平抛运动
在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝eq \f(1,2)gt2，R±eq \r(R2－h2)＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+csθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。

（3）巧用辅助线，构造三角形

【典例6】如图所示，几位同学利用课余时间测一干涸的半球形蓄水池的直径．身高为1.80 m的小张同学站在池边从头顶高处水平向池中投掷小石子，石子刚好落到池底的正中央，小李同学用手机的秒表记录的小石子运动时间为1.6 s，不计空气阻力，重力加速度取10 m/s2.可知水池的直径为( )
A．3.6 m B．11 m
C．12.8 m D．22 m
【答案】 D
【解析】 设水池的半径为R，人身高为h，根据平抛运动的规律，小石子竖直方向做自由落体运动，则h＋R＝eq \f(1,2)gt2，代入数据解得R＝11 m，则水池的直径为22 m，选项A、B、C错误，D正确．
【典例7】如图所示，OAB为四分之一圆柱体的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，则C点到B点的距离为(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)( )
A.eq \f(4R,15) B.eq \f(2R,15) C.eq \f(R,2) D.eq \f(R,3)
【答案】 B
【解析】 由题意知，小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有
vy＝v0tan 53°
小球从C到D，水平方向有
Rsin 53°＝v0t
竖直方向上有y＝eq \f(vy,2)t
联立解得y＝eq \f(8,15)R
根据几何关系得，C点到B点的距离
yCB＝y－R(1－cs 53°)＝eq \f(2,15)R
故B正确，A、C、D错误．
考向四 台阶平抛运动模型
【典例8】如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处．已知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3 s，每级台阶的宽度和高度均为18 cm.小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的eq \f(1,4)，取g＝10 m/s2，则小球( )
A．第一次落点与小球抛出点间的水平距离为0.144 m
B．第一次落点与小球抛出点间的竖直距离为0.72 m
C．抛出时的初速度为1.0 m/s
D．会与第5级台阶相撞
【答案】 A
【解析】 设第一次落在第1级台阶时，竖直方向的速度为vy1，水平方向的速度为v0，由于第一、二次与台阶相撞的时间间隔为Δt＝0.3 s，所以v0＝eq \f(0.36,0.3) m/s＝1.2 m/s，选项C错误；在竖直方向上，小球做匀变速直线运动，以向下为正方向，有－eq \f(1,4)vy1Δt＋eq \f(1,2)g(Δt)2＝2×0.18 m，即vy1＝1.2 m/s(与第1级台阶碰撞前在空中平抛的时间为0.12 s)，设第一次从抛出到落地过程下落高度为h，有vy12＝2gh，解得h＝0.072 m，水平位移x＝1.2×0.12 m＝0.144 m，选项A正确，B错误；设落到第3级台阶时竖直方向的速度为vy3，vy3＝－eq \f(1,4)vy1＋gΔt＝2.7 m/s.假设小球可以到达第5台阶右边缘处，第3台阶与第5台阶的竖直高度为0.36 m，两边缘处水平距离为0.36 m，即x′＝v0t＝0.36 m，解得t＝0.3 s，小球离开第3台阶后再运动0.3 s到达第5台阶，竖直位移y′＝－eq \f(vy3,4)t＋eq \f(1,2)gt2＝0.247 5 m＜0.36 m，所以小球不能到达第5台阶，D选项错误.
[变式]一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是( )
A．eq \r(6) m/s＜v≤2eq \r(2) m/s B．2eq \r(2) m/s＜v≤3.5 m/s
C．eq \r(2) m/s＜v＜eq \r(6) m/s D．2eq \r(2) m/s＜v＜eq \r(6) m/s
【答案】A.
【解析】：根据平抛运动规律有：x＝vt，y＝eq \f(1,2)gt2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，则根据几何关系有：vt＝eq \f(1,2)gt2，得v＝eq \f(1,2)gt，如果落到第四台阶上，有：3×0.4＜eq \f(1,2)gt2≤4×0.4，代入v＝eq \f(1,2)gt，得 eq \r(6) m/s＜v ≤2eq \r(2) m/s，A正确．
考向五 平抛运动的生活运用
1． 平抛运动中的临界速度问题
h1
v2
s2
h2
s1
v1
从网上擦过的临界速度 SKIPIF 1 < 0
h1
s2
h2
s1
出界的临界速度 SKIPIF 1 < 0
2． 既擦网又压线的双临界问题
根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得比值： SKIPIF 1 < 0
【典例9】如图所示，某网球运动员正对球网跳起从同一高度O点向正前方先后水平击出两个速度不同的排球，排球轨迹如虚线Ⅰ和虚线Ⅱ所示．若不计空气阻力，则( )
A．两球下落相同高度所用的时间是相同的
B．两球下落相同高度时在竖直方向上的速度相同
C．两球通过同一水平距离，轨迹如虚线Ⅰ的排球所用的时间较少
D．两球在相同时间间隔内，轨迹如虚线Ⅱ的排球下降的高度较小
【答案】 AB
【解析】 根据平抛运动规律，竖直方向上：h＝eq \f(1,2)gt2，可知选项A正确，D错误；由vy2＝2gh可知，两球下落相同高度h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B正确；由平抛运动规律，水平方向上：x＝v0t，可知通过同一水平距离，初速度较大的球所用的时间较少，选项C错误．
【典例10】如图所示为乒乓球桌面示意图，球网上沿高出桌面h，网到桌边的水平距离为L.在某次乒乓球训练中，从桌面左侧距网水平距离为eq \f(1,2)L处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌面右侧边缘．设乒乓球的运动为平抛运动，下列说法正确的是( )
A．击球点的高度与网高度之比为2∶1
B．乒乓球在网左右两侧运动的时间之比为1∶3
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时的速率之比为1∶3
D．乒乓球在网左右两侧的速度变化量之比为1∶2
【答案】 D
【解析】 乒乓球在水平方向上做匀速直线运动，由于两球在网的左右两侧运动的水平位移之比为1∶2，则乒乓球在网左右两侧运动的时间之比为1∶2，在左侧和整个过程中运动的时间之比为1∶3，下降的高度之比为1∶9，即有eq \f(H－h,H)＝eq \f(1,9)，则击球点的高度与网高度之比H∶h＝9∶8，故A、B错误；根据平抛运动规律有H＝eq \f(1,2)gt2，eq \f(3,2)L＝v0t，解得v0＝eq \f(3L,2)eq \r(\f(g,2H))
乒乓球过网时速度为v1＝eq \r(v02＋\f(2,9)gH)＝eq \r(\f(9gL2,8H)＋\f(2gH,9))
乒乓球落到右侧桌边缘时速度v2＝eq \r(v02＋2gH)＝eq \r(\f(9gL2,8H)＋2gH)
所以有eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(\f(9gL2,8H)＋\f(2gH,9),\f(9gL2,8H)＋2gH))＞eq \r(\f(\f(2gH,9),2gH))＝eq \f(1,3)，故C错误；乒乓球在网左右两侧运动的时间之比为1∶2，平抛运动的加速度不变，根据Δv＝gt知速度变化量之比为1∶2，故D正确．
【巩固练习】
1、以大小为v0的初速度水平抛出一个小球，运动一段时间，小球的动能是初动能的2倍，不计空气阻力，重力加速度为g，则这段时间内( )
A．小球运动的时间为eq \f(v0,g) B．小球运动的时间为eq \f(\r(2)v0,g)
C．重力做功等于小球的初动能 D．重力做功的平均功率为eq \f(1,2)mgv0
【答案】 ACD
【解析】 当小球的动能是初动能的2倍时，小球的速度是初速度的eq \r(2)倍，根据速度的分解可知，小球的竖直分速度大小为v0，则小球运动的时间为eq \f(v0,g)，故A正确，B错误．根据动能定理可知，重力做功等于动能的变化量，大小等于小球的初动能，故C正确．重力做功的平均功率为P＝eq \f(W,t)＝eq \f(\f(1,2)mv\\al(02),\f(v0,g))＝eq \f(1,2)mgv0，故D正确．
2、从距地面h高度处水平抛出一个小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度大小为eq \r(2gh)tan θ
B．小球落地时的速度大小为eq \f(\r(2gh),sin θ)
C．若小球初速度大小减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D．若小球初速度大小减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角为2θ
【答案】B
【解析】：平抛的小球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，所以落地时竖直方向上的分速度为vy＝eq \r(2gh)，由落地时速度方向与水平方向的夹角为θ可知tan θ＝eq \f(vy,v0)，故v0＝eq \r(2gh)ct θ，选项A错误；根据速度的合成可得小球落地时的速度v＝eq \f(vy,sin θ)，即v＝eq \f(\r(2gh),sin θ)，选项B正确；平抛运动的时间只与高度有关，而与水平方向的初速度无关，故选项C错误；tan θ＝eq \f(vy,v0)，设初速度大小减半时，小球落地时的速度方向与水平方向的夹角为α，则有tan α＝eq \f(vy,\f(1,2)v0)＝eq \f(2vy,v0)＝2tan θ，但α≠2θ，选项D错误．
3、如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛后飞行的时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则下列图象中能正确表示平抛后飞行的时间t随v变化的函数关系的是( )
【答案】C
【解析】： 当小球落在斜面上时，有：tan θ＝eq \f(\f(1,2)gt2,vt)＝eq \f(gt,2v)，解得t＝eq \f(2vtan θ,g)，与速度v成正比．当小球落在地面上，根据h＝eq \f(1,2)gt2得，t＝eq \r(\f(2h,g))，知运动时间不变．可知t与v的关系图线先是过原点的一条倾斜直线，然后是平行于横轴的直线，故C正确，A、B、D错误．
4、如图，不计空气阻力，从O点水平抛出的小球抵达光滑斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，下列说法正确的是( )
A．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大
B．小球在斜面运动的过程中地面对斜面的支持力大于小球和斜面的总重力
C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速率将变大
D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将减小
【答案】D
【解析】： 设斜面倾角为θ，根据牛顿第二定律得，小球在斜面上运动的加速度a＝eq \f(mgsin θ,m)＝gsin θ，平抛运动的加速度为g，可知小球在斜面上运动的加速度小于平抛运动的加速度，故A错误；对小球和斜面整体分析，小球沿斜面向下加速的过程中，小球具有沿斜面向下的加速度，处于失重状态，可知地面对斜面的支持力小于小球和斜面的总重力，故B错误；根据动能定理得，mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，撤去斜面，h不变，落地的速率不变，故C错误；比较小球在斜面上与空中运动的时间．由于小球在斜面上运动的加速度为a＝gsin θ，竖直分加速度为ay＝asin θ＝gsin2θ5、如图，在某一峡谷两侧存在与水平面成相同角度的山坡，某人站在左侧山坡上的 SKIPIF 1 < 0 点向对面山坡上水平抛出三个质量不等的石块，分别落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三处，不计空气阻力， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处在同一水平面上，则下列说法中正确的是（ ）
A. 落在 SKIPIF 1 < 0 处的石块在空中运动的时间最长
B. 落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度方向相同
C. 落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三处的石块落地速度方向相同
D. 落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度大小不可能相同
【答案】B
【解析】
A．平抛运动的运动时间取决于竖直分运动的位移大小，位移越大，运动时间越长，所以落在B处的石块在空中运动的时间最长，故A错误；B．设落在A处的石块落地速度方向与水平方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 即落地时的速度方向只与山坡倾角有关，与落地点无关，所以落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度方向相同，故B正确；C．落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度方向是不同的，因为直线PA和PC的倾角不同，故C错误；
D．落在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处的石块落地速度分别为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
由水平位移可知 SKIPIF 1 < 0 ，由竖直位移可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是有可能相等的，故D错误。故选B。
6、在同一水平线上相距L的两位置沿相同方向水平拋出两小球甲和乙，两球在空中相遇，且相遇位置距乙球抛出点的水平距离为L，两球的运动轨迹如图4所示．不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．相遇时甲球的竖直分速度较大 B．甲、乙两球的速度变化量相同
C．相遇时甲球的动能比乙球的大 D．甲、乙两球的动能变化量不相等
【答案】 B
【解析】 相遇点与两球抛出点的竖直高度相等，根据t＝eq \r(\f(2h,g))可知，相遇时两球运动的时间相同，根据vy＝gt可知，两球的竖直分速度相等，选项A错误；根据Δv＝gt可知，相遇时甲、乙两球的速度变化量相同，选项B正确；由题图可知，甲球的水平分速度较大，两球竖直分速度相等，可知相遇时甲球的速度较大，但是两球的质量关系不确定，则不能比较两球动能关系，也不能比较两球的动能变化量关系，选项C、D错误．
7、如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面体的高AB为2 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为( )
A.eq \f(4\r(2),3) m B.eq \f(2\r(2),3) m
C.eq \f(3\r(2),4) m D.eq \f(4,3) m
【答案】 A
【解析】 设AB为h，则从A点抛出的小球运动的时间t1＝eq \r(\f(2h,g))，从D点抛出的小球运动的时间t2＝eq \r(\f(h,g))，在水平方向上有v0t1－v0t2＝eq \f(h,2tan θ)，x＝v0t1－eq \f(h,tan θ)，代入数据得x＝eq \f(4\r(2),3) m，故A正确．
8、如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为eq \r(6)∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为eq \r(2)∶1
【答案】 B
【解析】 由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，A选项错误；设圆弧形槽半径为R，对A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝ eq \r(\f(2R,g))，则v1＝Req \r(\f(g,2R))＝ eq \r(\f(1,2)gR)，
对C点抛出的小球，Rsin 60°＝v2tC，tC＝eq \r(\f(R－Rcs 60°×2,g))＝eq \r(\f(R,g))，则v2＝eq \f(\r(3)R,2)eq \r(\f(g,R))＝ eq \r(\f(3,4)gR)，v1∶v2＝eq \r(6)∶3，B选项正确；
设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝eq \f(v0,vy)
由v1∶v2＝eq \r(6)∶3
vy1∶vy2＝tA∶tC＝eq \r(2)∶1
tan θ1≠tan θ2，C选项错误；
设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝eq \r(v\\al(12,)＋v\\al(y12,))＝eq \r(\f(5,2)gR)，vC＝eq \r(v\\al(22,)＋v\\al(y22,))＝eq \r(\f(7,4)gR)，则vA∶vC＝eq \r(10)∶eq \r(7)，D选项错误．
9、如图，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 ( )
A．tan α B．cs α
C．tan αeq \r(tan α) D．cs αeq \r(tan α)
【答案】 C
【解析】 设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2.对球1：Rsin α＝v1t1，Rcs α＝eq \f(1,2)gteq \\al(12,)，对球2：Rcs α＝v2t2，Rsin α＝eq \f(1,2)gteq \\al(22,)，解四式可得：eq \f(v1,v2)＝tan αeq \r(tan α)，C正确．
10、如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则( )
A.eq \f(tan θ2,tan θ1)＝2 B.eq \f(1,tan θ1tan θ2)＝2
C.tan θ1tan θ2＝2 D.eq \f(tan θ1,tan θ2)＝2
【答案】 C
【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动.由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C.
11、一个带正电的小球沿光滑绝缘的水平桌面向右运动，速度方向垂直于一个水平向里的匀强磁场，如图所示，小球飞离桌面后落到地板上，飞行时间为 SKIPIF 1 < 0 ，水平射程为 SKIPIF 1 < 0 ，着地速度为 SKIPIF 1 < 0 ．撤去磁场，其余的条件不变，小球的飞行时间为 SKIPIF 1 < 0 ，水平射程为 SKIPIF 1 < 0 ，着地速度为 SKIPIF 1 < 0 ．下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 大小相等
D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 方向相同
【答案】ABC
【详解】于带正电，有磁场时，小球下落过程中要受重力和洛仑兹力共同作用，重力方向竖直向下，大小方向都不变；洛仑兹力的大小和方向都随速度的变化而变化，但在能落到地面的前提下洛仑兹力的方向跟速度方向垂直，总是指向右上方某个方向，其水平分力fx水平向右，竖直分力fy竖直向上．
如图所示，小球水平方向将加速运动，竖直方向的加速度仍向下，但小于重力加速度g．撤去磁场的时候，小球做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，加速度为g．从而，有磁场时水平距离比撤去磁场后要大，即x1＞x2，故A正确；有磁场时运动时间比撤去磁场后要长，即t1＞t2，故B正确；
由于洛仑兹力的方向每时每刻都跟速度方向垂直，不对粒子做功，不改变粒子的动能．所以，有磁场和无磁场都只有重力作功，小球机械能守恒，动能的增加等于重力势能的减少，等于小球重力与桌面高度的乘积，是相同的，即v1和v2大小相等，有故C正确；
有磁场和无磁场，小球落地时速度方向并不相同，故D错误．故选ABC．
12、如图所示，竖直平面内有一光滑管道口径很小的圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高。一质量m＝0.8 kg可看做质点的小球从平台边缘的A处平抛，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：
(1)小球从A点开始平抛运动到P点所需的时间t；
(2)小球从A点水平抛出的速度大小v0和A点到圆弧轨道入射点P之间的水平距离l；
(3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小；
(4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出弹力的大小。
【答案】 (1)0.4 s (2)3 m/s 1.2 m (3)eq \r(29) m/s (4)外壁 6.4 N
【解析】 (1)从A到P过程中，小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，
有R＋Rcs 53°＝eq \f(1,2)gt2，
解得t＝0.4 s。
(2)根据分运动公式，有vy＝gt，tan 53°＝eq \f(vy,v0)，
解得v0＝3 m/s，
在水平方向上，有l＝v0t，解得l＝1.2 m。
(3)从A到圆弧轨道最低点，根据机械能守恒定律，有
eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝2mgR＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，
解得v1＝eq \r(29) m/s。
(4)小球从A到达Q时，根据机械能守恒定律可知
vQ＝v0＝3 m/s；
在Q点，根据牛顿第二定律，有
FN＋mg＝meq \f(veq \\al(2,Q),R)，得FN＝6.4 N
根据牛顿第三定律可得
小球对外壁有弹力FN′＝FN＝6.4 N。
两种类型
解题方法
方法应用
分解速度，
构建速度
矢量三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
方向：tan θ＝eq \f(vx,vy)
分解位移，
构建位移
矢量三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝eq \f(1,2)gt2
合位移：s＝ eq \r(x2＋y2)
方向：tan θ＝eq \f(y,x)
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
示意图
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ