湖湘名校教育联合体2023-2024学年高一数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

湖湘名校教育联合体·2023年下学期高一10月联考

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，且，都是全集的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由韦恩图中阴影部分判断出表示的集合为，即可求解

【详解】因为，，所以.

故选：B

2. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. .，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】全称命题的否定变为特称命题.

【详解】“，”的否定为“，”，

故选:D.

3. 不等式的解集为（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】因式分解后可求不等式的解集.

【详解】原不等式可化为即，

故不等式的解集为或

故选：C.

4. 已知，为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由充分条件和必要条件定义求解即可.

【详解】可以推出；但，则不一定为0.

故选：A.

5. 已知集合，，则的真子集的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】先化简A，再结合交集的运算即可

【详解】因为，，所以，所以的真子集的个数为.

故选：D

6. 若，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】C

【解析】

【分析】代入特殊值以及不等式的性质即可求解.

【详解】当，，时，满足，不满足，故A错误；

当，，时，满足，不满足，故B错误；

因为，所以，因为，所以，

所以，故C正确；

当，，时，满足，不满足，故D错误.

故选：C.

7. 若关于不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先不等式的解集是,可知，且且,然后将不等式化为,则可得出不等式解集.

【详解】因为的解集是，所以且，由，得，即，解得，即关于的不等式的解集是.

故选：A.

8. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值；

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以

，

当时，取得最大值，最大值为.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若集合，，则

B. ，

C. ，

D. 若集合，，则

【答案】AB

【解析】

【分析】根据集合相等的定义判断A选项，根据平方的非负性判断B、C选项，根据真子集的定义判断D选项.

【详解】由集合的无序性知，故A选项正确；一个数的平方为非负数，故B选项正确；，故C选项错误；由集合的真子集的概念可知，故D选项错误.

故选：AB.

10. 下列命题中正确的是（    ）

A. “”是“”的必要不充分条件

B. “且”是“”的充分不必要条件

C. “”是“”的充要条件

D. “”是“”的充要条件

【答案】AB

【解析】

【分析】根据充要条件的性质即可判断求解也可以利用集合之间的关系更方便理解求解.

【详解】对于A：因为可以推出，但是不可以推出，

所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；

对于B：因为且可以推出，

但是不可以推出且，

所以“且”是“”的充分不必要条件，故B正确；

对于C：因为，解得或，

所以“”可以推出“”，

但是“”不可以推出“”

所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；

对于D：当时，，

所以“”不可以推出“”，

但是“”可以推出“”，

所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误.

故选：AB.

11. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（    ）

A. 不等式的解集可以是

B. 不等式的解集可以是

C. 不等式的解集可以是

D. 不等式的解集可以是

【答案】AC

【解析】

【分析】根据一元二次不等式，讨论参数及对应解集判断各项正误即可.

详解】当，时满足题意，故A正确；

当时不等式成立，解集必含元素0，不可能为空，故B、D错误；

当，时，解集恰为，满足题意，故C正确；

故选：AC

12. 已知，是正数，且，下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最大值为 D. 的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用基本不等式判断A、C、D，消元，结合二次函数的性质判断B.

【详解】因为，是正数，且，

对于A：，当且仅当，即，时等号成立，故A正确；

对于B：因为，所以，因为，是正数，所以，解得，

所以，

所以的最小值为，此时，，故B正确；

对于C：，

当且仅当，即，时等号成立，又，是正数，故等号不成立，故C错误；

对于D：，

当且仅当，即时等号成立，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合，，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据可得答案.

【详解】因为集合，，，

所以，解得，从而.

故答案为：.

14. 已知，满足，，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】变形得到，从而相加后得到取值范围.

【详解】显然有，

∵，，

∴相加得到.

故答案为：

15. 某单位建造一个长方体无盖水池，其容积为，深3m.若池底每平米的造价为150元，池壁每平米的造价为120元，则最低总造价为__________元.

【答案】8160

【解析】

【分析】利用基本不等式计算即可.

【详解】设长，宽，∴，

∴，

总造价.

当且仅当时取得等号.

故答案为：8160

16. 已知不等式的解集为，则________，的最小值是_________

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据不等式的解集可得之间的关系，然后将用表示，再用基本不等式求其最小值即可．

【详解】的解集为

，，，

，当且仅当，即时取等号

故的最小值为10．

故答案为：，10．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 已知集合，.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】由交并补的混合运算即可求解.

【小问1详解】

集合，，.

【小问2详解】

，.

18. 已知命题，，命题，.

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为对恒成立，即可求的取值范围；

（2）求命题q为真命题时的取值范围，再求两个集合的并集.

【小问1详解】

若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得.

因此，实数m的取值范围是.

【小问2详解】

若命题q为真命题，则，即，解得或.

因此，实数m的取值范围是或；

若命题p，q至少有一个为真命题，

可得或或

所以实数的取值范围或.

19. 已知集合，，.

（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）“”是“”的充分条件，转化为即可求解

（2）根据，只需保证包含即可.

【小问1详解】

由题知，集合，

，

∵“”是“”的充分条件，

∴，解得，

∴实数的取值范围是；

【小问2详解】

∵集合，

，，

∴，又，

∴，解得，

∴实数的取值范围是.

20. 已知，，且.

（1）求的最小值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）   

（2）9

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；

（2）利用基本不等式配凑定值计算即可.

【小问1详解】

由题意可知，所以，

当且仅当，即，时取得等号,

即的最小值为；

【小问2详解】

由题意可知，

结合（1）有及，，，可知，即，

故，

当且仅当，即时取得等号，

即的最小值为9.

21. 已知集合，，其中为实数.

（1）若，求；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）5

【解析】

【分析】（1）分别求出集合，再求；

（2）讨论，，得到集合，根据列不等式组求解.

【小问1详解】

由题意知或，

当时，，

所以；

【小问2详解】

由题意知，

当，即时，，所以，符合题意；

当，即时，，

又，所以解得，所以无解；

当，即时，，

又，所以所以无解.

综上，的值为5.

22. 若关于的不等式组的整数解的集合为.

（1）若，求集合；

（2）若集合，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别解出两不等式，即可求出不等式组的整数解的集合；

（2）由可得，分、、三种情况讨论，结合求出参数的取值范围.

【小问1详解】

因为，解得或.

若，则，解得，所以；

【小问2详解】

由，得，

当时，不等式无解，此时不满足，不符合题意；

当，即时，由，解得，

又或，

所以不等式组的解集为，此时不满足，不符合题意；

当，即时，由，解得，

要使，则，解得，

综上，a的取值范围是.