2024年数学高考大一轮复习第六章 §6.6　数列中的综合问题

1．(2022·西安模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3，a5成等差数列，则a1等于(　　)

A．5－5  B．5＋5  C．5  D．5

2．(2023·兰州模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过____年其投入资金开始超过7 000万元(　　)

(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)

A．14  B．13  C．12  D．11

3．在正项等比数列{an}中，为a6与a14的等比中项，则a3＋3a17的最小值为(　　)

A．2  B．89  C．6  D．3

4．(2023·西宁模拟)在等比数列{an}中，a2＝－2a5，1<a3<2，则数列{a3n}的前5项和S5的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

5．(2023·贵阳模拟)已知函数f(x)＝lg x，则下列四个命题中，是假命题的为(　　)

A．f(2)，f()，f(5)成等差数列

B．f(2)，f(4)，f(8)成等差数列

C．f(2)，f(12)，f(72)成等比数列

D．f(2)，f(4)，f(16)成等比数列

6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝(n＝0,1,2，…) 是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417，不是质数．现设an＝log4(Fn－1)(n＝1,2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和．若32Sn＝63an，则n等于(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

7.宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中“落—形”就是每层为“三角形数”的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球，…，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为________．

8．已知数列{an}的通项公式为an＝ln n，若存在p∈R，使得an≤pn对任意的n∈N*都成立，则p的取值范围为________．

9．记关于x的不等式x2－4nx＋3n2≤0(n∈N*)的整数解的个数为an，数列{bn}的前n项和为Tn，满足4Tn＝3n＋1－an－2.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)设cn＝2bn－λn，若对任意n∈N*，都有cn<cn＋1成立，试求实数λ的取值范围．

10．设n∈N*，有三个条件：①an是2与Sn的等差中项；②a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)；③Sn＝2n＋1－2.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．

若数列{an}的前n项和为Sn，且________．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若{an·bn}是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．

11．(2022·北京)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

12．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，则(　　)

A．a1<a3，a2<a4

B．a1>a3，a2<a4

C．a1<a3，a2>a4

D．a1>a3，a2>a4

13．函数y＝f(x)，x∈[1，＋∞)，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，

①函数f(x)是增函数；

②数列{an}是递增数列．

写出一个满足①的函数f(x)的解析式______．

写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式________．

14．设函数f(x)＝数列{an}满足an＋1＝f(an)(n∈N*)，若{an}是等差数列．则a1的取值范围是__________．

15．若数列{an}对于任意的正整数n满足：an>0且anan＋1＝n＋1，则称数列{an}为“积增数列”．已知“积增数列”{an}中，a1＝1，数列{a＋a}的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有(　　)

A．Sn≤2n2＋3   B．Sn≥n2＋4n

C．Sn≤n2＋4n   D．Sn≥n2＋3n

16.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(n∈N*)，求证：b1＋b2＋b3＋…＋bn<1＋n.