2024年数学高考大一轮复习第十二章 §12.4　二项分布与正态分布

§12.4　二项分布与正态分布

考试要求　1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

知识梳理

1．条件概率及其性质

(1)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝________________.

(2)条件概率具有的性质

①0≤P(B|A)≤1.

②如果B和C是两个互斥事件，

则P(B∪C|A)＝______________________.

2．相互独立事件

(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______.

(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．

(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔________________________________.

3．独立重复试验与二项分布

(1)一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝________________________________________，此时称随机变量X服从二项分布，记为________________________，并称p为成功概率．

4．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝________，D(X)＝________________.

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________________.

5．正态分布

(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．

②曲线是单峰的，它关于直线________对称．

③曲线在________处达到峰值.

④曲线与x轴之间的面积为________．

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(3)正态分布的定义及表示

一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布，记作________．

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．(　　)

(2)若X表示n次独立重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　　)

(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)

(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(　　)

教材改编题

1．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是(　　)

A．32  B．16  C．8  D．20

题型一　条件概率

例1 (1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

听课记录：_______________________________________________________________________

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(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

听课记录：_______________________________________________________________________

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思维升华 求条件概率的常用方法

(1)定义法：P(B|A)＝.

(2)基本事件法：P(B|A)＝.

(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．

跟踪训练1 (1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)某射击运动员每次击中目标的概率为，现连续射击两次．

①已知第一次击中，则第二次击中的概率是______；

②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是________．

题型二　相互独立事件与二项分布

命题点1　相互独立事件

例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)

A．甲与丙相互独立   B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立   D．丙与丁相互独立

(2)参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．

命题点2　二项分布

例3 (2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0<P0<1)，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．

(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概率为.求P0的大小；

(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？

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思维升华 二项分布问题的解题关键

(1)定型：

①在每一次试验中，事件发生的概率相同．

②各次试验中的事件是相互独立的．

③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．

(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．

跟踪训练2 某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．

(1)求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；

(2)记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．

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题型三　正态分布

例4 (1)(2023·赤峰模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

①甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值；

②甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值；

③甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性；

④甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性．

A．①③  B．②④  C．①④  D．②③

(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为(　　)

A．2 800  B．4 200  C．5 600  D．7 000

思维升华 解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴为x＝μ.

(2)标准差为σ.

(3)分布区间．

利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.

跟踪训练3 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.

(2)(2022·西安模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段(m，n]内抽取学生，并确定m＝67，且P(m<X≤n)＝0.818 6.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示．若该班抽取学生分数在分数段(m，n]内的人数为k，则k＝________；这k名学生的平均分为________．

(附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3)