2024年数学高考大一轮复习第九章 §9.1　直线的方程（附答单独案解析）

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考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，____________与直线l________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为______________________．
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝____________________.
3．直线方程的五种形式
常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．( )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( )
(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．( )
教材改编题
1．已知点A(2,0)，B(3，eq \r(3))，则直线AB的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[－eq \r(3)，1]
B．(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，1))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)
听课记录：____________________________________________________________________
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延伸探究 本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
(2)直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是________.
听课记录：____________________________________________________________________
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思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．
跟踪训练1 (1)若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是____________．
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，________.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－eq \f(1,4)；
(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；
(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.
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思维升华 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
跟踪训练2 (1)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
(2)已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M逆时针旋转45°，得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
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延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
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2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
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思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．
(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________．名称
方程
适用范围
点斜式
不含直线x＝x0
斜截式
不含垂直于x轴的直线
两点式
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0