2023-2024学年人教版（五四制）九年级上册数学期中复习试卷

这是一份2023-2024学年人教版（五四制）九年级上册数学期中复习试卷，共22页。试卷主要包含了下列函数中，是二次函数的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（2x﹣1）2B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝ax2D．y＝2x+3
2．在△ABC中，∠C＝90°，下列各式不一定成立的是（ ）
A．a＝b•csAB．a＝c•csBC．c＝D．b＝a•tanB
3．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为（ ）
A．55°B．70°C．110°D．140°
4．关于函数y＝3x2的图象特点，下列说法正确的是（ ）
A．关于x轴对称的抛物线，开口向上
B．关于y轴对称的抛物线，开口向上
C．关于x轴对称的抛物线，开口向下
D．关于y轴对称的抛物线，开口向下
5．把函数y＝x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3
6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上一点，∠ACB＝124°，则∠P的度数为（ ）
A．62°B．64°C．66°D．68°
7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cs∠ACB值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点
G，若DE：CE＝3：1，则AF：FG＝（ ）
A．3：4B．3：5C．9：16D．9：25
9．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，BE＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．CE的长为3B．AD的长为10C．CD的长为12D．AC的长为2
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②m+n＝3；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x≤4时，有y2＜y1，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②⑤D．②④⑤
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA＝ ．
12．抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标为 ．
13．如图，DE交△ABC边AC、BC的延长线分别于D、E两点，且DE∥AB，若＝，则△CDE与△ABC的面积比为 ．
14．抛物线y＝x2﹣2x+c（c＞0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B左侧，若x1＜m＜x2，则当x＝m+2时，y 0（填“＞”“＝”或“＜”号）
15．已知弓形的半径为13，高为1，那么弓形的弦长为 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB＝BC＝12，连接AC，与⊙O交于点E，连接BE，点D是上的任意一点（不与A，E重合），连接BD，与AC交于点F，ED与BA的延长线交于点M．
①若点D是的中点，则的长为 ；（用含π的代数式表示）
②无论点D在上的位置怎样变化，ED•EM＝ ．
17．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，csC＝．BC的垂直平分线交AB于点E，那么BE：AE的值是 ．
18．如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，设点M与点A间的距离为a，点M到直线l的距离为b．若⊙O的半径为1，则a﹣b的最大值为 ．
19．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为点H，AH＝4，BH＝10，CD＝4，则⊙O的半径为 ．
20．直角三角形斜边AB上的高CD＝3，延长DC到P使得CP＝2，过B作BF⊥AP交CD于E，交AP于F，则DE＝ ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．先化简，再求值：（a﹣3+）÷，其中a＝2sin60°+1．
22．图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在图①中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝AB，∠BAC＝90°；
（2）在图②中画出Rt△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB＝90°；
（3）在图③中画出△ABC，使三个顶点均在格点上且AC＝BC，∠ACB≠90°．
23．如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．
（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；
（2）求tan∠ACD的值．
24．如图⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝150°，弧BC为70°．
求∠ABD、∠AED的度数．
25．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如表数据：
（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
（3）为保证产品在实际试销中销售量不得低于30件，且工厂获得的利润不得低于400元，请直接写出单价x的取值范围．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，直径AE交BC于点H，点D在弧AC上，过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF的长；
（3）在（2）的条件下，直接写出CD的长．
27．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（4，0），与y轴的交点为C，且AB＝BC．
（1）求点C的坐标以及抛物线C1的表达式；
（2）将抛物线C1绕坐标平面内的某一点P旋转180°，得到的新抛物线与y轴的交点为点E，若新抛物线上存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是以BC为边的菱形，求点F的坐标；
（3）将（2）中点E在y轴正半轴时的新抛物线记为C2．
①直接写出此时旋转中心P的坐标；
②再将C2向右平移至与C1只有一个公共点Q，请直接写出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、y＝（2x﹣1）2＝4x2﹣4x﹣1是二次函数，故本选项符合题意；
B、y＝（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；
C、y＝ax2当a等于0时，它不是二次函数，故本选项不合题意；
D、y＝2x+3是一次函数，故本选项不合题意．
故选：A．
2．解：在△ABC中，∠C＝90°，
则tanB＝，
∴b＝a•tanB，A选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意；
在△ABC中，∠C＝90°，
则csB＝，
∴a＝ccsB，B选项正确，不符合题意；
在△ABC中，∠C＝90°，
则sinA＝，
∴c＝，C选项正确，不符合题意；
故选：A．
3．解：如图，在优弧AB上上取点D，连接AD、BD，
由圆周角定理得：∠ADB＝∠AOB＝70°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝110°，
故选：C．
4．解：∵二次函数y＝3x2中，k＝3＞0，
∴此抛物线开口向上，关于y轴对称．
故选：B．
5．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴把函数y＝x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为：y＝（x﹣1﹣1）2+2，即y＝（x﹣2）2+2．
故选C．
6．解：在优弧AB取一点D，连接AD、BD、OA、OB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣124°＝56°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝112°，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB＝180°﹣112°＝68°．
故选：D．
7．解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴cs∠ACB＝＝，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴AD∥BG．
∴△ADE∽△GCE．
∴＝＝3．
∴AD＝BC＝3CG．
∴BG＝4CG．
∵AD∥BG，
∴△ADF∽△GBF．
∴＝＝＝．
故选：A．
9．解：连接OB，
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，AE＝BE＝4，
由勾股定理得：OB＝＝＝5，
即OC＝OD＝5，
∴CD＝10，
∵OE＝3，
∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，DE＝OE+OD＝3+5＝8，
∴AD＝＝＝4，
∴AC＝＝＝2，
即只有选项D正确，选项A、选项B、选项C都错误；
故选：D．
10．解：由抛物线对称轴为直线x＝﹣，从而b＝﹣2a，则2a+b＝0故①正确；
直线y2＝mx+n过点A，把A（1，3）代入得m+n＝3，故②正确；
由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故③错误；
方程ax2+bx+c＝3从函数角度可以看作是y＝ax2+bx+c与直线y＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点
故方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，因而④正确；
由图象可知，当1≤x≤4时，有y2≤y1 故当x＝1或4时y2＝y1 故⑤错误．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：过点B作BD⊥AC，
∵AB＝＝，BC＝3，AC＝＝2，
∴S△ABC＝×3×2＝×2×BD，
解得：BD＝，
在Rt△ABD中，sinA＝＝＝，
故答案为：
12．解：由y＝（x+1）2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）．
13．解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵＝，
∴＝＝，
故答案为：4：9．
14．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c（c＞0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
对称轴为x＝1，
∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∵x1＜m＜x2，
∴0＜m＜2，
∴2＜m+2＜4，
∴当x＝m+2时，y＞0，
故答案为：＞．
15．解：过圆心O作OD⊥AB，交弧与C．则CD＝1，连接OA．
在直角△AOD中，OA＝13，OD＝13﹣CD＝12，
则AD＝＝＝5，
∴AB＝2AD＝10．
故答案为：10．
16．解：①连接OD，OE，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴∠EBA＝45°，
∴∠EOA＝2∠EBA＝90°，
∵＝，
∴∠EOD＝∠AOD＝45°，
∵AB＝12，
∴OA＝6，
∴的长＝＝，
故答案为：；
②∵∠M+∠DBM＝∠EDB＝∠EAB＝45°，
∠EBD+∠DBM＝∠EBA＝45°，
∴∠EBD＝∠M，
∵∠EBD＝∠EAD，
∴∠M＝∠EAD，
∵∠DEA＝∠AEM，
∴△DEA∽△AEM，
∴＝，
∴DE•EM＝AE2，
在Rt△ABE中，AE＝AB•sin∠EBA＝12•sin45°＝6，
∴DE•EM＝72，
故答案为：72．
17．解：过点A作AH⊥BC于H，作BC的垂直平分线交AB于点E、交BC于F，
在Rt△AHC中，csC＝，AC＝2，
则＝，
解得：CH＝，
由勾股定理得：AH＝＝，
在Rt△ABH中，∠B＝45°，
则BH＝AH＝，
∴BC＝BH+CH＝，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF＝，
∴FH＝BH﹣BF＝，
∵EF⊥BC，AH⊥BC，
∴EF∥AH，
∴＝＝7，
故答案为：7．
18．解：如图所示，BM＝b，MA＝a，
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴连接OA交圆O于点C，
则∠CAB＝90°，
又∵∠MBA＝90°，
∴AC∥BM，
∴∠1＝∠2，
∵AC为直径，
∴∠CMA＝90°．
∴△AMB∽△CAM，
∴，CA＝2，
∴，
∴a2＝2b，，，＝
∴当a＝1时，a﹣b的最大值为．
故答案为：
19．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，得矩形MHNO，连接OD，
∵AM＝BM，CN＝DN，
∵AH＝4，BH＝10，CD＝4，
∴AB＝14，
∴AM＝7，DN＝2，
∴MH＝AM﹣AH＝7﹣4＝3，
∵四边形MONH是矩形，
∴ON＝MH＝3，
在Rt△ODN中，OD＝＝＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为．
20．解：如图所示：
∵CD是高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠AC+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∵CD＝3，
∴AD•BD＝CD2＝9，
∵CD⊥AB，BF⊥AP，
∴∠ADP＝∠BDE＝∠EFP＝90°，
∵∠APD＝∠EPF，∠ADP+∠APD+∠DAP＝180°，∠E+∠EPF+∠EFP＝180°，
∴∠DAP＝∠E，
∵∠ADP＝∠EDB＝90°，
∴△ADP∽△EDB，
∴＝，
∴DP•DE＝AD•BD，
∵DP＝2，AD•DB＝9，
∴2DE＝9，
∴DE＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：原式＝÷＝•＝，
当a＝2×+1＝+1时，原式＝．
22．解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABC即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．
23．证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴BD＝2BO，
∵CF＝2BO，
∴CF＝BD，
∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，
∴∠DBE＝∠FCE，
又∵∠BED＝∠CEF，
∴△BDE≌△CFE（AAS），
∴BE＝CE，
又∵BE⊥CD，
∴△BEC是等腰直角三角形；
（2）如图，连接DF，
∵△BDE≌△CFE，
∴DE＝EF，
∴DF＝EF，
∵AC垂直平分BD，
∴BF＝DF＝EF，
∴BE＝BF+EF＝（+1）EF，
∴CE＝（+1）EF，
∴tan∠ACD＝＝﹣1．
24．解：如图，连接OB，OC，
∵∠ABD＝∠AOD，∠AOD＝150°，
∴∠ABD＝75°，
∵的度数为70°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠BDC＝∠BOC＝35°，
∵∠ABD＝∠BDC+∠AED，
∴∠AED＝75°﹣35°＝40°．
25．解：设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
将（30，40），（34，32）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+100；
（2）设工厂获得利润为w元，
w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵﹣2＜0，
∴x＝35时，w有最大值450，
∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元；
（3）（3）根据题意得：
，
解得：30≤x≤35，
∴单价x的取值范围是30≤x≤35．
26．（1）证明：∵AB＝AC，
∴，
∵AE是直径，
∴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
又∵EF∥BC，
∴EF⊥AE，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r，
∵AE⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝1，
∴HG＝HC+CG＝4，
∴AG＝＝＝5，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得：r＝，
∴AE＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴，
∴EF＝；
（3）解：∵AH＝3，BH＝1，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDG＝180°，
∴∠B＝∠CDG，
又∵∠DGC＝∠AGB，
∴△DCG∽△BAG，
∴，
∴，
∴CD＝．
27．解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OB＝4，AB＝5，
∵AB＝BC，
∴BC＝5，
∵∠BOC＝90°，
∴OC＝＝＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线C1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（4，0），
∴设y＝a（x+1）（x﹣4），将C（0，3）代入得：﹣4a＝3，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+3，
∴点C的坐标为（0，3），抛物线C1的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）设E（0，t），F（m，n），如图1，
∵以B，C，E，F为顶点的四边形是以BC为边的菱形，
∴CE＝BC＝5或BE＝BC＝5，
∵点E在y轴上，
∴E1（0，8），E2（0，﹣2），E3（0，﹣3），
∵BF∥CE，BF＝CE＝5，或CF∥BE，CF＝BE＝5，
∴F1（4，5），F2（4，﹣5），F3（﹣4，0）；
（3）①当点E在y轴正半轴时，E（0，8），
∵原抛物线C1的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+，顶点坐标为D1（，），
设新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣h）2+k，将E（0，8），F（4，5）代入，得：
，
解得：，
∴新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣）2+，顶点坐标为D2（，），
设旋转中心为P（m，n），∵点P为D1D2的中点，
∴，
∴，
∴旋转中心P的坐标为（2，4）；
②设抛物线C2向右平移d个单位得抛物线C3：y＝（x﹣﹣d）2+，
∵抛物线C3与C1只有一个公共点Q，
∴关于x的一元二次方程（x﹣﹣d）2+＝﹣（x﹣）2+有两个相等的实数根，
整理得：12x2﹣（48+12d）x+6（d+）2+＝0，
∴Δ＝[﹣（48+12d）]2﹣4×12×[6（d+）2+]＝0，
∴3d2+6d﹣8＝0，
解得：d1＝﹣1﹣（舍去），d2＝﹣1+，
∴抛物线C3的解析式为y＝（x﹣）2+，
由（x﹣）2+＝﹣（x﹣）2+，
解得：x1＝x2＝，
∴y＝（﹣）2+＝4，
∴Q（，4）．
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16