四川省蓬溪中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

蓬溪中学高2025届第三学期第二次质量检测

数 学 试 题

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如果复数是纯虚数,则实数=   (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由纯虚数概念建立关系式求解即可.

【详解】由复数是纯虚数，

得，解得.

故选：C.

2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ）

A. 与互斥 B. ，

C.  D. ，为对立事件

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C．.

【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；

中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；

发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；

与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；

故选：ABC．

3. 过点和点的直线的倾斜角和斜率分别是 （     ）

A.  B. 不存在 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合点的位置，由直线的倾斜角和斜率的概念可得.

【详解】已知和点，由两点横坐标相等，

可知直线的倾斜角为，斜率不存在.

故选：B.

4. 在平行六面体中，M为与的交点．，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量线性运算的法则，对向量进行表示即可．

【详解】平行六面体中，

故选：A．

5. 已知甲、乙两人同时向目标射击，至少有一人命中的概率为70℅，已知甲射击的命中率为40℅，且甲、乙两人的命中率互不影响，则乙射击的命中率为（    ）

A. 50℅ B. 60℅ C. 75℅ D. 85℅

【答案】A

【解析】

【分析】先由对立事件概率和为，求出两人都未命中的概率，再结合相互独立事件同时发生的概率乘法公式列方程求解即可.

【详解】记事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“至少有一人命中”，

则“两人都未命中”，即，

已知70℅，则30℅，

已知40℅，则60℅，

由甲、乙两人的命中率互不影响，

得，

解得，

故选：A.

6. A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“B元件正常”，用分别表示A,B两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（    ）

①样本空间；   ②事件；

③事件“电路是断路”可以用（或）表示；

④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含3样本点.

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据事件的定义确定样本点，判断各个命题．

【详解】因为分别取值0和1，因此取值为，①正确；

事件中，而任取，因此②正确；

事件“电路是断路”中，至少有一个取0，因此事件“电路是断路”，

，，，从而“电路是断路”可表示为，③错；

事件“电路是通路”中，两个都取1，因此事件“电路是通路”，

，从而“电路是通路”可表示为，其中只有一个样本点，④错．

正确的个数是2，

故选：B．

7. 如图，在正三棱柱中，若,则与所成角的大小为  （      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别取的中点，连接，把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在中，结合余弦定理，即可求解.

【详解】如图所示，分别取的中点，连接，

可得且，

所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，

因为三棱柱为正三棱柱，

因为，

在直角中，可得，

在直角中，可得，

再取的中点，连接，可得，

因为底面，所以底面，

在直角中，

可得，

所以，所以，

所以异面直线与所成的角为.

故选：C.

8. 《中国建筑史》(梁思成著)载:"大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔。"该塔位于蓬溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼阁式砖石塔，塔身白色，共 十三层，自宋代始建以来至今已800余年，充分体现了中国传统建筑技术水平。某数学兴趣小组为了测得塔高，如图，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点44 的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（     ）（参考数据：）

A. 42m B. 45m C. 36m D. 38m

【答案】C

【解析】

【分析】在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD.

【详解】由题设，在中，

，

由正弦定理得， ，

则m，

在中，由，

则,

所以m.

故选：C.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 若，分别是平面α，β的法向量，则

B. 若，分别是平面α，β的法向量，则

C. 若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，l与平面α平行，则

D. 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A中平面α，β可能平行或重合；选项B，两个平面垂直则法向量互相垂直，选项是正确的；直线和平面平行，则直线和平面的法向量垂直，可得C也是正确的；D选项是B中命题的逆否命题，所以D也是正确的.

【详解】选项A中平面α，β可能平行或重合，所以选项A错误；

选项B，两个平面垂直则法向量互相垂直，即点积为0，反之也成立，故B正确；

选项C，直线和平面平行，则直线和平面的法向量垂直，即法向量点积为0，故C正确；

选项D，由B选项知，平面垂直和法向量垂直是等价的， D选项是其逆否命题，

故D是正确的.

故选：BCD．

10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 事件A与事件B互斥

C. 事件A与事件B相互独立 D.

【答案】CD

【解析】

【分析】A.利用古典概型的概率求解判断；B.利用互斥事件的定义判断；C.利用独立事件的概率求解判断；D.利用并事件的概率求解判断.

【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，

则，A不正确：

事件B含有的基本事件有8个：，，，，，，，，

其中事件，，，发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；

抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，，即事件A与事件B相互独立，C正确；

，D正确.

故选：CD.

11. CPI是居民消费价格即消费价格指数，是反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动的宏观经济指标.下图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国居民消费价格涨跌幅统计图，其中同比是与上年同期对比（如今年5月与上年5月），侧重数据长期趋势，环比是与上月对比（如今年5月与4月），侧重数据短期变化，则下列说过正确的是（    ）

A. 2022年5月至2023年5月同比涨幅极差为

B. 2023年1月至5月同比涨幅的分位数为

C. 从环比看，CPI由2023年2月至4月开始持续上涨

D. 随机从2023年1月至5月的同比数据选择两个研究，则选取4月和5月的概率为

【答案】AB

【解析】

【分析】根据极差概念求极差判断A，根据百分位数计算判断B，根据数据变化判断C，根据古典概型概率公式计算判断D.

【详解】A选项中的极差为，故A正确；

B选项中的数据由小到大排列为，

由，不是整数，所以分位数为第4个数，故B正确；

C选项中2月至4月均为负数，说明下降，故C错误；

D选项等价于从5个数字中随机选取2个，样本空间包含的样本点总数为10，

其中随机事件“选到4月和5月”包含的样本点数为1，

古典概型概率计算公式可得所求概率为，故D错误.

故选：AB.

12. 已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（    ）

A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行

C. 点与点到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得的截面面积为

【答案】BD

【解析】

【分析】确定直线与直线所成的角判断A；连接，由线面平行的判定判断B；由平面是否过的中点判断C；作出截面，再计算面积判断D作答.

【详解】对于A，在正方体中，，则为直线与直线所成的角或其补角，

连接AC，由平面ABCD，得，即在中，，

则不可能是直角，直线与直线不垂直，A错误；

对于B，连接，由，分别为，的中点，得，

又，则四边形是平行四边形，于是，

而四边形是正方体的对角面，点为中点，有，

即平面，平面，平面，所以平面，B正确；

对于C，连接交于，显然不是的中点，则平面不过的中点，

即点C与点G到平面的距离不相等，C错误；

对于D，由选项B知，，，即等腰梯形为平面截正方体所得的截面，

，等腰梯形的高，

所以等腰梯形面积为，D正确.

故选：BD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知复数满足，则复数的模长为________

【答案】

【解析】

【分析】先化简已知条件由复数除法运算求出，再求模长

【详解】由已知，

则

所以

故答案为：.

14. 已知直线l的方向向量的坐标为，则直线l的倾斜角为_________．

【答案】

【解析】

【分析】由方向向量得直线斜率，从而得倾斜角．

【详解】设直线的倾斜角为，，

由已知直线l的方向向量的坐标为，

得斜率，

∴．

故答案为：．

15. 二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 _____．

【答案】

【解析】

【分析】将分解为，再求模即可.

【详解】由题意，∵二面角为，，，∴与夹角为，

∴与夹角，

，

∴，即的长为.

故答案为：.

16. 已知正三棱柱的六个顶点在球上，又球与此三棱柱的个面都相切，则球与球的表面积之比为______.

【答案】##5

【解析】

【分析】由题意，可知球与球分别为正三棱柱的外接球与内切球，分别求出两个球的半径，进而可求出两球的表面积，从而可求出答案.

【详解】由题意可得两球、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面如图，

设正三棱柱底面边长为，两球半径分别为，

则，，

则正三棱柱的高，

在中，，

有,

，所以球与球的表面积之比.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中,角所对的边分别为.已知,,.

（1）求角；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理即可求解；

(2)利用二倍角的正弦公式、余弦公式以及两角差的正弦公式求解.

【小问1详解】

因为，由余弦定理可得，

可得，

因为，所以．

【小问2详解】

由，为三角形内角，则，

因为，

，

所以

.

18. （1）已知点和点，在轴上求一点的坐标，使为直角；

（2）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形

【答案】（1）或；（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设，由列方程，由此求得点的坐标.

（2）利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等.

【详解】（1）因为点在轴上，所以可设点，

由题意知，且，由已知点和点，

则直线的斜率，直线的斜率，

因为，所以，所以，

解得或，所以点的坐标为或.

（2）由，

则，，

由题意是四边形，知不共线，则，

又，，

故，

所以四边形是梯形.

19. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4”

（1）求事件A，B，C的概率；

（2）求的概率.

【答案】（1）；；.   （2）；

【解析】

【分析】

(1)求出事件A，B，C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可；

(2)求出事件的基本事件以及个数，得出，再由得出.

【详解】解：该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点

（1），有5个样本点，所以；

，有11个样本点，所以.

，有12个样本点，所以.

（2），有2个样本点，所以；

所以.

【点睛】本题主要考查了计算古典概型问题的概率，属于中档题.

20. 某场馆记录了某月（30天）的空气质量等级情况，如下表所示：

（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）；

（2）估计该场馆本月空气质量为“优或良”的概率，用它估计全年空气质量为“优或良”的概率是否合理？并说明理由．

（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：

求该场馆一年需要更换8个滤芯的概率．

【答案】（1）115    （2），用它估计全年空气质量为“优或良”的概率不合理，理由见解析；   

（3）

【解析】

【分析】（1）直接根据平均数的求解方法计算；

（2）根据表格可知一个月30天中达到优或良的天数为9，从而估计概率，再根据实际情况分析是否合理即可；

（3）分2套相互独立的大型空气净化系统中1套换3个，1套换5个，和2套均换4个，两种情况求解求和即可

【小问1详解】

由题意，该场馆日平均AQI的值为；

【小问2详解】

一个月30天中达到优或良的天数为9，故该场馆本月空气质量为“优或良”的概率为.因为空气质量受季节月份等因素有较大影响，故根据某一个月的数据估计全年的空气质量不合理.

【小问3详解】

由题意，该场馆一年需要更换8个滤芯可能是1套换3个，1套换5个，也可能是2套均换4个，故，即该场馆一年需要更换8个滤芯的概率为

21. 如图，在直三棱柱中，，，为线段，的中点，

（1）证明：⊥平面；

（2）若直线与平面所成的角大小为，求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，连结，可得，通过证明平面可得；

（2）利用等体积关系可得.

【小问1详解】

（1）证明：取的中点，连结，

∵在中，、分别为、的中点，∴且，

又在直三棱柱中，E是的中点，

∴且，∴且，

∴四边形为平行四边形，∴，

∵在中，M为AC的中点，且，

∴，且，

∵平面，平面，∴，

又，平面，且平面，

∴平面，∴平面；

【小问2详解】

由（1）知，，，

因为直线与平面所成角大小为，∵平面，

则在平面的射影为，

即为直线与平面所成的角，

，

因为中，，

，

，

，

，

，

设点到平面的距离为，

，，

即，解得.

故所求点到平面的距离为.

22. 如图，在正四棱柱中，，.点、、、分别在棱、、、上，，，.

（1）证明：四点共面

（2）当点在棱上运动时（包括端点），求平面与平面夹角余弦值的的取值范围.

【答案】（1）证明见解析．   

（2）．

【解析】

【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，证明与平行即可证得四点共面；

（2）用空间向量法求二面角．

【小问1详解】

分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

∴，，，

∴，

所以共面，即四点共面；

【小问2详解】

设，，，又，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，

，

，则，所以，

∴平面与平面夹角余弦值的的取值范围是．