四川省广元中学2023-2024学年高二数学上学期10月第一次阶段性试题（Word版附解析）

这是一份四川省广元中学2023-2024学年高二数学上学期10月第一次阶段性试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广元中学高2022级高二上期第一次阶段性测试数  学  试  题考试时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】因为直线的倾斜角是，所以该直线的斜率为，故选：C2. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（   ）A. 四点必共面 B. 四点必共面C. 四点必共面 D. 五点必共面【答案】B【解析】【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.而，其中，所以四点共面.故选：B.3. 点关于平面对称的点的坐标是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知，点关于平面对称的点的坐标是.故选：A4. 直三棱柱中，若，，，则（    ）.  A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量对应线段位置关系，及向量加减的几何意义用表示出即可.【详解】根据向量的加减法运算法则得：.故选：A5. 已知随机事件和互斥，且,.则A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.【详解】与互斥        本题正确选项：【点睛】本题考查概率中互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.6. 如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，所以，，设和所成的角为，则，因为，所以.故选：B7. 已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（     ）A. 5 B. 6 C. 4 D. 8【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积公式即可求解.【详解】如图，平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，.，故选：A.8. 设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ）A. 或 B. 或C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：    依题意，，要想直线l过点且与线段AB相交，则或，故选：A二、多选题（本大题共4个小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列选项正确的是（    ）A. 若直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为B. 已知向量，则在上的投影向量为C. 若，则是锐角D. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2【答案】ABD【解析】【分析】由直线方向向量的概念即可判断A，由投影向量的定义，即可判断B，由平面向量数量积的定义即可判断C，由空间中点到直线的距离公式，即可判断D.【详解】因为直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为，故A正确；由投影向量的定义可知，在上的投影向量为，故B正确；若，则，故C错误；由条件可得，由，所以在方向上的投影为，则点到直线的距离为，故D正确；故选：ABD.10. 下列命题中，是假命题的是（    ）A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是D. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为【答案】ABD【解析】【分析】利用正切函数图象判断选项AC的真假；B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；举反例说明选项D错误.【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是，所以该选项正确；D. 若直线的斜率为，则但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.故选：ABD11. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（    ）A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是【答案】AC【解析】【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．【详解】对于A：，与不是共线向量，故A错误；对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；对于C：，∴，故C错误；对于D：，设平面的法向量为，则，取，得，故D正确．故选：AC．12. 如图所示，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）．  A. 平面平面B. 三棱锥的体积为C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，逐项判断即可.【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，  则对于A，连接，因为平面，平面，所以是平面的一个法向量，又，所以，则，又平面，所以平面则是平面的一个法向量，又，所以平面平面，故A正确；对于B，连接，因为，，所以，则，又平面，平面，所以平面，点在线段上的动点，点到平面的距离即点到平面的距离，设平面的法向量为，又，则，令，所以又，所以距离，在中，所以正三角形，故B不正确；对于C，点为线段上的动点（不含端点），则设所以，则，故C正确；对于D，因为，，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13. 已知直线与直线互相垂直，直线的斜率为-2，则直线的斜率为___________．【答案】##【解析】【分析】根据垂直直线的斜率关系列出方程，求解即可得出答案.【详解】设直线的斜率为，因为，直线的斜率为-2，所以，解得.故答案为：.14. 已知，，则线段AB的长为___________．【答案】【解析】【分析】根据空间中两点间距离公式，准确计算，即可求解.【详解】因为点，，根据空间中两点间距离公式，可得.故答案为：.15. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围．【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，．，，．点在线段上运动，，且．，，∵，∴，即，故答案为：．16. 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为__________.  【答案】【解析】【分析】取中点，由题可得平面，设点轨迹所在平面为，则轨迹为平面截三棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得.【详解】取中点，连接，则，，平面，所以平面，又因为，则，作于，设点轨迹所在平面为，则平面经过点，且，设三棱锥外接球的球心为，半径为，的中心分别为，可知平面平面，且四点共面，由题可得，在Rt中，可得，又因为，则，易知到平面的距离，故平面截外接球所得截面圆的半径为，所以截面圆的面积为.故答案为：.  【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若与相互垂直，求．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.小问1详解】，    ，，即，且，，解得；【小问2详解】，，                又，解得．18. 一个口袋中装有5个大小完全相同的球，其中3个红色，2个白色，若从中任取2个球．（1）求事件“恰有1个红色球”的概率；（2）求事件“两个都是红色球”的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】根据古典概型公式求解即可.【小问1详解】设3个红球分别是，两个白球分别为，从中任取2个球，基本事件为：，共10个．事件“恰有1个红色球” 的基本事件为：，共6个．所以．【小问2详解】事件“两个都是红色球”的基本事件为：，共3个．所以．19. 已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).（1）求点D的坐标；（2）试判定▱ABCD是否为菱形？【答案】（1）D(－1,6)    （2）为菱形【解析】【分析】（1）设点D坐标为(a，b)，根据四边形ABCD为平行四边形，由kAB＝kCD，kAD＝kBC求解；（2）根据kAC·kBD＝－1判断.【小问1详解】解：设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以解得所以D(－1,6).【小问2详解】因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形.20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．（1）求证：平面MBD；（2）若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.【小问1详解】连接AC交BD于点O，连接OM，由四边形ABCD为矩形，可知O为AC中点，M为PC中点，所以，又平面，平面，所以平面MBD.【小问2详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 ，所以，设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．21. 已知，函数.（1）求的周期和单调递减区间；（2）设锐角的三个角所对的边分别为a，b，c，若，且，求周长的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，    （2）【解析】【分析】(1)将利用平面向量数量积的坐标运算和三角恒等变换化简后可得；然后利用正弦函数的周期公式和单调性即可求出单调递减区间；（2）利用正弦定理表示出，利用三角恒等变换将化简，再根据角度范围求出结果.【小问1详解】
，则，函数的最小正周期为.的单调递减区间需要满足：，即，所以的单调递减区间为.【小问2详解】因为，所以，因为，所以，因为，则由正弦定理可得，所以，因为，所以，所以，所以，则，所以的取值范围为.所以周长的取值范围是22. 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的大小为．    （1）若，，，证明：平面；（2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解    （2），【解析】【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE∥AB交AC于E，连接PE即证面PEQ∥面AB1即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出与平面所成最大角时的P点位置，求其正切，再求二面角即可.【小问1详解】    如图所示，过Q作QE∥AB交AC于E，连接PE，过C1作C1F∥A1A，交AC于F，∵，结合圆台的特征知，又∵，解三角形得，故，即，∵， 由题意易知四边形为直角梯形，∴，，故， ∵面，面，∴QE∥面，同理PE∥面，又面PQE，∴面∥面，面，∴平面，得证；【小问2详解】    如图，结合圆台的特征，当时，此时两两垂直，故以A为中心，以AB、AC、AA1所在的直线分别为轴、轴、轴，则，设，则，，易知轴⊥面，不妨取作为面的一个法向量，设与平面所成角为，则，即当时，取得最大值，此时为最大角，，设此时面APQ的一个法向量为，易得，则，令，则，即，由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为，故，