2023年浙江省丽水市庆元县荷地中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省丽水市庆元县荷地中学中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−12的相反数是( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
2.如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
3.不等式组2x>3xx+4>2的整数解是( )
A. 0B. −1C. −2D. 1
4.如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3,1)，(4,−2)，下列各地点中，离原点最近的是( )
A. 超市
B. 医院
C. 体育场
D. 学校
5.如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是
( )
A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 邻补角
6.化简(−a)3⋅(−b)的结果是( )
A. −3abB. 3abC. −a3bD. a3b
7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为( )
A. 9x+11=y6x+16=yB. 9x−11=y6x−16=yC. 9x+11=y6x−16=yD. 9x−11=y6x+16=y
8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”.将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
9.在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是( )
A. 22B. 20C. 22或20D. 18
10.如图，抛物线y=14(x+2)(x−8)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切.其中正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：
，则
表示的数是______．
12.二元一次方程组x+y2=2x−y3=x+2的解是______．
13.已知x1，x2是一元二次方程x2−x−4=0的两实根，则(x1+4)(x2+4)的值是______．
14.如图，直线y=−34x−3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是______．
15.如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y= 33x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则点A2022的横坐标是______．
16.如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点(不与端点重合)，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
①∠EAG=45°；
②若DE=13a，则AG//CF；
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为110a2；
④若CF=FG，则DE=( 2−1)a；
⑤BG⋅DE+AF⋅GE=a2．
其中正确的是______.(写出所有正确判断的序号)
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.计算：|−2|+(sin36°−12)0− 4+tan45°．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题6.0分)
解下列一元一次不等式组：3x+2>x12x≤2．
19.(本小题6.0分)
如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC/​/DF.求证：BC=EF．
20.(本小题8.0分)
2020年是脱贫攻坚年．为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场．经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中a=______，补全频数分布直方图；
(2)这批鸡中质量不小于1.7kg的大约有多少只？
(3)这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元/kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？
21.(本小题8.0分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD//AB交AC于点D．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若BC=8，tan∠ABC= 22，求⊙O的半径．
22.(本小题10.0分)
有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．
(1)求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？
(2)A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
23.(本小题10.0分)
如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
(1)求证：△PCE≌△EDQ；
(2)延长PC，QD交于点R．
①如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和ABPQ的值．
24.(本小题12.0分)
抛物线L：y=−x2+bx+c经过点A(0,1)，与它的对称轴直线x=1交于点B．

(1)直接写出抛物线L的解析式；
(2)如图1，过定点的直线y=kx−k+4(k0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−12的相反数是12，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：图中线段有AB、AC、BC这3条，
故选：C．
根据线段的概念求解．
本题主要考查线段的定义，掌握线段的定义和数线段的方法．
3.【答案】B
【解析】解：2x>3x ①x+4>2 ②
解不等式①得：x−2，
∴不等式组的解集为−22的整数解是−1，
故选：B．
先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．
本题考查了解一元一次不等式组得整数解．
4.【答案】A
【解析】解：如右图所示，
点O到超市的距离为： 22+12= 5，
点O到学校的距离为： 32+12= 10，
点O到体育场的距离为： 42+22= 20，
点O到医院的距离为： 12+32= 10，
∵ 5< 10= 10< 20，
∴点O到超市的距离最近，
故选：A．
根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．
本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
由内错角的定义(两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角)进行解答．
【解答】
解：两条直线a、b被直线c所截形成的角中，∠1与∠2都在a、b直线之间，并且在直线c的两旁，所以∠1与∠2是内错角．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：原式=−a3⋅(−b)
=a3b.
故选：D．
先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】
解：设人数为x，买鸡的钱数为y，
可列方程组为：9x−11=y6x+16=y．
故选D．
8.【答案】A
【解析】解：在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．
将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16．
故选：A．
直接利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
9.【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AD//BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2(AB+AD)=2×(3+3+4)=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2(AB+AD)=2×(4+4+3)=22．
故选：C．
根据AE平分∠BAD及AD//BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；根据题意判断出AB=BE是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵在y=14(x+2)(x−8)中，当y=0时，x=−2或x=8，
∴点A(−2,0)、B(8,0)，
∴抛物线的对称轴为x=−2+82=3，故①正确；
∵⊙D的直径为8−(−2)=10，即半径为5，
∴⊙D的面积为25π，故②错误；
在y=14(x+2)(x−8)=14x2−32x−4中，当x=0时y=−4，
∴点C(0,−4)，
当y=−4时，14x2−32x−4=−4，
解得：x1=0、x2=6，
所以点E(6,−4)，
则CE=6，
∵AD=3−(−2)=5，
∴AD≠CE，
∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；
∵y=14x2−32x−4=14(x−3)2−254，
∴点M(3,−254)，
设直线CM解析式为y=kx+b，
将点C(0,−4)、M(3,−254)代入，得：b=−43k+b=−254，
解得：k=−34b=−4，
所以直线CM解析式为y=−34x−4；
设直线CD解析式为y=mx+n，
将点C(0,−4)、D(3,0)代入，得：n=−43m+n=0，
解得：m=43n=−4，
所以直线CD解析式为y=43x−4，
由−34×43=−1知CM⊥CD于点C，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选：B．
①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定；
②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，
③过点C作CE/​/AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；
④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．
本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．
11.【答案】9167
【解析】解：根据算筹计数法，表示的数是：9167
故答案为：9167．
根据算筹计数法来计数即可．
本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．
12.【答案】x=−5y=−1
【解析】解：原方程可化为：x+y2=x+22x−y3=x+2，
化简为x−y=−4x+y=−6，
解得：x=−5y=−1．
故答案为：x=−5y=−1；
根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
本题考查二元一次方程的解法，解题的关键是将原方程化为方程组，本题属于基础题型．
13.【答案】16
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−x−4=0的两实根，
∴x1+x2=1，x1x2=−4，
∴(x1+4)(x2+4)
=x1x2+4x1+4x2+16
=x1x2+4(x1+x2)+16
=−4+4×1+16
=−4+4+16
=16，
故答案为：16．
根据x1，x2是一元二次方程x2−x−4=0的两实根，可以求得x1+x2和x1x2的值，从而可以求得所求式子的值．
本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确x1+x2=−ba，x1x2=ca．
14.【答案】(−73,0)或(−173,0)
【解析】【分析】
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．根据函数解析式求得A(−4,0)，B(0.−3)，得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵直线y=−34x−3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=−3，令y=0，得x=−4，
∴A(−4,0)，B(0.−3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴PDOB=APAB，
∴13=AP5，
∴AP=53，
∴OP=73或OP=173，
∴P(−73,0)或(−173,0)，
故答案为：(−73,0)或(−173,0)．
15.【答案】(22023−2) 3
【解析】解：如图：
∵直线y= 33x+2，令x=0，则y=2，
令y=0，则 33x+2=0，
解得x=−2 3，
∴A(0,2)，C(−2 3,0)，
∴OA=2，OC=2 3，
∴∠OCA=30°，
∵△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，
∴∠AA1B1、∠AA2B2=60°，A1B1=AB1=AC=2OA=4，
……
∴△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形，
∴A1B1=4=22，A2B2=8=23，……，
∴OB1= 3A1B1−OC=4 3−2 3=2 3，OB2= 3A2B2−OC=8 3−2 3=6 3，
∴A1(2 3,4)，A2(6 3,8)，
……
∴An[(2n+1−2) 3,2n+1]，
∴点A2022的横坐标是(22023−2) 3，
故答案为：(22023−2) 3．
求出直线y= 33x+2与x轴、y轴的交点坐标，由题意可得∠OCA=30°，∠OB1A1=90°，则△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形，可得出A1B1=4=22，A2B2=8=23，……，可得A1(2 3,4)，A2(6 3,8)，由此得出规律，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，归纳出An的坐标规律是解题的关键．
16.【答案】①②④⑤
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=a，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中
AB=AFAG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=12×90°=45°，故①正确；
②∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，
设BG=GF=x，∵DE=13a，
∴EF=13a，
∴CG=a−x，
在Rt△EGC中，EG=x+13a，CE=23a，由勾股定理可得(x+13a)2=(a−x)2+(23a)2，
解得x=12a，此时BG=CG=12a，
∴GC=GF=12a，
∴∠GFC=∠GCF，
且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，
∴2∠AGB=2∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG/​/CF，
∴②正确；
③若E为CD的中点，则DE=CE=EF=12a，
设BG=GF=y，则CG=a−y，
CG2+CE2=EG2，
即(a−y)2+(12a)2=(12a+y)2，
解得，y=13a，
∴BG=GF=13a，CG=a−13a=23a，
∴GFEG=13a13a+12a=25，
∴S△CFG=25S△CEG=25×12×12a×23a=115a2，
故③错误；
④当CF=FG，则∠FGC=∠FCG，
∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，
∴∠FEC=∠FCE，
∴EF=CF=GF，
∴BG=GF=EF=DE，
∴EG=2DE，CG=CE=a−DE，
∴ 2CE=EG，即 2(a−DE)=2DE，
∴DE=( 2−1)a，
故④正确；
⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a−b，CE=a−c，
由勾股定理得，(b+c)2=(a−b)2+(a−c)2，整理得bc=a2−ab−ac，
∴S△CEG=12(a−b)(a−c)=12(a2−ab−ac+bc)=12(bc+bc)=bc，
即S△CEG=BG⋅DE，
∵S△ABG=S△AFG，S△AEF=S△ADE，
∴S五边形ABGED=2S△AGE=2×12AF⋅EG=AF⋅EG，
∵S五边形ABGED+S△CEG=S正方形ABCD，
∴BG⋅DE+AF⋅EG=a2，
故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【分析】
本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用折叠得到线段相等及角相等、正方形的性质的运用是解题的关键．涉及内容多而复杂，难度较大．
①由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；
②设BG=GF=x，由勾股定理可得(x+13a)2=(a−x)2+(23a)2，求得BG=12a，进而得GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再证明∠AGB=∠GCF，便可判断正误；
③设BG=GF=y，则CG=a−y，由勾股定理得y的方程求得BG，GE，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；
④证明∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a−DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；
⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a−b，CE=a−c，由勾股定理得bc=a2−ab−ac，再得△CEG的面积为BG⋅DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．
17.【答案】解：原式=2+1−2+1=2．
【解析】本题考查实数的运算，解决此类题目的关键是熟记绝对值、零指数幂、二次根式、特殊角三角函数值．
首先对绝对值、零指数幂、二次根式、特殊角三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，
18.【答案】解：解不等式12x≤2，得：x≤4，
解不等式3x+2>x，得：x>−1，
则不等式组的解集为−154000，
∴能脱贫，
答：该村贫困户能脱贫．
【解析】【分析】
本题考查频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．
(1)根据频数之和为50，可求出a的值；进而补全频数分布直方图；
(2)样本估计总体，样本中，鸡的质量不小于1.7kg所占的百分比为850，因此估计总体3000只的850是鸡的质量不小于1.7kg的只数；
(3)计算样本平均数，估计总体平均数，计算出总收入，比较得出答案．
【解答】
解：(1)a=50−8−15−9−6=12(只)，补全频数分布直方图见答案；
故答案为：12；
(2)见答案；
(3)见答案．
21.【答案】(1)证明：如图1，连接OP，
∵PA=PB，
∴PA=PB，
∴OP⊥AB，
∵PD/​/AB，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
(2)如图2，过A作AH⊥BC于H，连接OA，OP，OP交AB于E，
∵AB=AC，
∴BH=12BC=12×8=4，
Rt△ABH中，tan∠ABC=AHBH=PEBE= 22，
∴AH=2 2，AB= 42+(2 2)2=2 6，
∴BE= 6，PE= 3，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OE=r− 3，
由勾股定理得：r2=(r− 3)2+( 6)2，
r=3 32，
即⊙O的半径是3 32．
【解析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数和勾股定理的计算，利用勾股定理列方程是解题的关键．
(1)先根据圆的性质得：PA=PB，由垂径定理可得：OP⊥AB，根据平行线可得：OP⊥PD，所以PD是⊙O的切线；
(2)如图2，作辅助线，构建直角三角形，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程可得r的值．
22.【答案】解：(1)设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，根据题意得：
a−b=4030b−20a=1800，
解得a=300b=260，
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度；
(2)设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧(90−x)吨垃圾，总发电量为y度，
则y=300x+260(90−x)=40x+23400，
∵x≤2(90−x)，∴x≤60，
∵y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y有最大值为：40×60+23400=25800(元)．
答：A厂和B厂总发电量的最大值是25800度．
【解析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，理清数量关系列出方程组是解答本题的关键．
(1)设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”列方程组解答即可；
(2)设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧(90−x)吨垃圾，总发电量为y度，得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
23.【答案】(1)证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE=OC，DE//OC，CE=OD，CE/​/OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE=∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠EDO=∠EDQ，
∵PC=12AO=OC=ED，CE=OD=12OB=DQ，
在△PCE与△EDQ中，PC=DE∠PCE=∠EDQCE=DQ，
∴△PCE≌△EDQ；
(2)①如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AR=OR=RB，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=∠ARO+∠BRO=2∠CRO+2∠ORD=2∠CRD=60°，
∴△ARB是等边三角形；
②由(1)得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，DE//OC，
∵DE/​/OC，
∴∠ACE=∠CED，
∴∠PEQ=∠CED−∠CEP−∠DEQ=∠ACE−∠CEP−∠CPE=∠ACE−∠RCE=∠ACR=90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB=∠PEQ=90°，
由①得∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD=12∠ARB=45°，
∴∠MON=135°，
此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB=90°，
∴AB=2PE=2× 22PQ= 2PQ，∴ABPQ= 2．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
(1)根据三角形中位线的性质得到DE=OC，DE//OC，CE=OD，CE/​/OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论
(2)①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD=30°，进而得出∠ARB=60°即可得到结论；
②由(1)得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到∠ARB=∠PEQ=90°，根据四边形的内角和得到∠MON=135°，求得∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
24.【答案】解：(1)由题意知−b2×(−1)=1c=1，
解得：b=2、c=1，
∴抛物线L的解析式为y=−x2+2x+1；
(2)如图1，
∵y=kx−k+4=k(x−1)+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为(1,4)，
∵y=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，
∴点B(1,2)，
则BG=2，
∵S△BMN=1，即S△BNG−S△BMG=12BG⋅xN−12BG⋅xM=1，
∴xN−xM=1，
由y=kx−k+4y=−x2+2x+1，得x2+(k−2)x−k+3=0，
解得：x=2−k± (k−2)2−4(3−k)2=2−k± k2−82，
则xN=2−k+ k2−82，xM=2−k− k2−82，
由xN−xM=1得 k2−8=1，
∴k=±3，
∵k