2023年浙江省湖州市长兴县等2地中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省湖州市长兴县等2地中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列有理数，，，中，最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  经文化和旅游部数据中心测算，年春节假期国内旅游出游亿人这里用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为(    )
 

A.
B.
C.
D.

4.  抛物线的顶点坐标是(    )

A.  ， B.  C.  D.

5.  某市五月份连续五天的日最高气温分别为、、、、单位：，这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上邮票背面完全相同，则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的外接圆，若，则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，矩形绕点旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点，过点作平行交，于，若，，则图中阴影部分的面积的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  九年级班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来米长的围栏，准备围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形底边靠墙、半圆形这三种方案，最佳方案是(    )

 

A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案

10.  二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  已知一组数据的方差为，则这组数据的标准差为______ ．

13.  一个扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长为______．

14.  石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径____米．
 

15.  如图，菱形中，对角线，相交于点，反比例函数的图象过点和点，则的值为______ ．

16.  数学活动课上，将底边的等腰三角形按图所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图方式进行拼搭，其中点，，，四点处在同一直线上，且点与点重合，点与点重合，点恰好在与交点处，则的长是______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，，，证明：．

20.  本小题分
某省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的图表如表，图所示．

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
表中和所表示的数分别为：______，______；
补全条形统计图；
如果该校共有名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？

21.  本小题分
如图，在中，，点是上一点，以为半径，与相交于点，与相切于点，连结．
求证：平分；
已知，，求的半径．

22.  本小题分
为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球如果分别用元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少个，已知足球的单价为篮球单价的．
求篮球、足球的单价分别为多少元？
学校计划购买篮球、足球共个，如果购买足球个，总费用为元，请写出与的函数关系式；
在的条件下学校计划总费用不多于元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？

23.  本小题分
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，两点，与轴交于点，其中，连结．
求点的坐标及此抛物线的表达式；
点为轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度；
当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出的取值范围．

24.  本小题分
【问题呈现】
如图，在中，，在上取点，过点作的垂线交于点若，，求的值；
【类比探究】
在的条件下，绕点逆时针旋转一定角度点在的内部，如图，连接，，求的值；
【拓展提升】
在的条件下，延长交于点，交于点，如图求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：有理数，，，中，最小的是．
故选：．
利用有理数的大小比较判断．
本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，准确确定、的值是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【解答】
解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
 

5.【答案】 

【解析】解：一组数据、、、、，
这组数据的众数是，
故选：．
根据题目中的数据，可以直接写出这组数据的众数，本题得以解决．
本题考查众数，解答本题的关键是明确众数的含义，可以写出一组数据的众数．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，一共有种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的只有种结果，
所以小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率为，
故选：．
一共有种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的只有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求得，由圆周角定理即可求出的度数．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：矩形绕点旋转得到矩形，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，，
四边形是平行四边形，
，
阴影部分的面积，
故选：．
由旋转的性质可得，由勾股定理可求，可求的面积，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方案：设米，则米，

则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为米；
方案：当时，菜园最大面积米；

方案：半圆的半径，
此时菜园最大面积米米；
故选：．
分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
本题考查了计算同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，由题意对称轴为直线，
观察图象可知，，
若，如图中，则，选项A不符合题意，

若，如图中，则，选项B不符合题意，

若，如图中，则，选项C符合题意，

若，如图中，则，选项D不符合题意，

故选：．
观察图象可知，，再结合题目一一判断即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据的方差是，
这组数据的标准差是；
故答案为：．
根据标准差是方差的算术平方根，即可得出答案．
本题考查了标准差，关键是掌握标准差和方差的关系，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
 

13.【答案】 

【解析】解：扇形弧长为，
故答案为．
根据弧长的计算公式直接解答即可．
本题考查了弧长的计算．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
米，
设米，则米，
在中，得：，
即，
解得：，
即桥拱所在圆的半径是米．
故答案为：．
利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．
此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．
 

15.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，则，
点，反比例函数的图象过点和点，
，
反比例函数为，
四边形是菱形，
是的中点，
，，
点的纵坐标为，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得负数舍去，
故答案为：．
由反比例函数的图象过点求得反比例函数为，根据菱形的性质为的中点，可知，，即可求得的横坐标为，从而求得，得到菱形边长为，利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得菱形的边长是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图及等腰三角形的性质可知，
，，，
如图，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质求出，，，，根据勾股定理求解即可．
此题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明≌解答．
 

20.【答案】   

【解析】解：被调查的学生共有：人，
，；
由知，“骑自行车”的学生有人，补全条形图如图：

人．
答：该校骑自行车上学的学生约有人．
故答案为：，．
根据“乘公交”的频数、频率可得总人数，依据：频率可分别求得、的值；
由可得“骑自行车”的人数，补全条形图即可；
用样本中“骑自行车”所占百分比乘以总人数即可．
本题考查的是条形统计图和频数分布表的综合运用，熟练掌握频数分布表中频率及条形统计图中每个项目的数据是解题的关键；
 

21.【答案】证明：连接，

切于点，
，
，
，
，
，
，
，即平分；

解：在中，，
，
，，
，
，
∽，
，即，
解得：． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，进而得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
根据余弦的定义求出，根据∽列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】解：设篮球每个元，足球每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为：元，
答：篮球每个元，足球每个元；
由题意得：，
即与的函数关系式为；
由题意可得：，
解得：，
，
由得：，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，
此时元，， 

【解析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验；
根据题意，可以写出与的函数关系式；
根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

23.【答案】解：对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交于点，代入得：
，
抛物线的解析式为，
由抛物线的表达式知，点；

，，
是等腰直角三角形，
则，
直线和直线的夹角为，
或，
在中，，
，
当时，如图所示：

，
则，
则；
当时，如图所示：

，
，
的长度为或；

当和在对称轴两侧时，
此时，抛物线在时，取得最小值，
当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，的值为最大值，
此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，
此时，
即，函数的最大值与最小值的差是一个定值． 

【解析】由待定系数法即可求解；
证明或，即可求解；
当和在对称轴两侧时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

24.【答案】解：，，
，

，
，
≌，
；
，
，
即，
，
∽，
；
由得：∽，
，
，
，
． 

【解析】根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
根据角的和差得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
由得：∽，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．