高考数学第一轮复习第十二章 §12.2　参数方程

这是一份高考数学第一轮复习第十二章 §12.2　参数方程，共11页。试卷主要包含了了解参数方程，了解参数的意义，))等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是参数t的函数．( √ )
(2)方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝1＋2sin θ))(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )
(3)已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq \r(3).( × )
(4)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝5sin θ))(θ为参数且θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))))表示的曲线为椭圆．( × )
教材改编题
1．将参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
答案 C
解析 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，y∈[0,1]．
2．曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ))(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
答案 B
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝x＋1，,sin θ＝y－2.))
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心坐标为(－1,2)，在直线y＝－2x上．
3．已知直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(3)，则直线l的斜率为________．
答案 ±eq \f(\r(15),15)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，
得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1，
∴圆心到直线y＝kx的距离为
eq \r(12－\f(|AB|2,4))＝eq \f(1,2)＝eq \f(|2k|,\r(k2＋1))，
得k＝±eq \f(\r(15),15).
题型一 参数方程与普通方程的互化
例1 (2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
解 (1)因为⊙C的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs θ，,y＝1＋sin θ))(θ为参数)．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线距离为2>r，舍去；
当直线斜率存在时，设切线为y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，
故eq \f(|2k－1－4k＋1|,\r(1＋k2))＝1，即|2k|＝eq \r(1＋k2)，
4k2＝1＋k2，解得k＝±eq \f(\r(3),3).
故直线方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－4)＋1或y＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)＋1.
故两条切线的极坐标方程为
ρsin θ＝eq \f(\r(3),3)ρcs θ－eq \f(4\r(3),3)＋1或
ρsin θ＝－eq \f(\r(3),3)ρcs θ＋eq \f(4\r(3),3)＋1.
即ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(5π,6)))＝2－eq \f(\r(3),2)或ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝2＋eq \f(\r(3),2).
教师备选
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\r(5)＋\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝
4cs θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．
解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4.
直线l的普通方程为x－y＋2eq \r(5)＝0.
(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，
得(2x－2)2＋y2＝4，
即(x－1)2＋eq \f(y2,4)＝1，
再将所得曲线向左平移1个单位长度，
得曲线C1：x2＋eq \f(y2,4)＝1，
则曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)．
设曲线C1上任一点P(cs θ，2sin θ)，
则点P到直线l的距离
d＝eq \f(|cs θ－2sin θ＋2\r(5)|,\r(2))
＝eq \f(|2\r(5)－\r(5)sinθ＋φ|,\r(2))，
其中φ满足sin φ＝－eq \f(\r(5),5)，cs φ＝eq \f(2\r(5),5)，
由三角函数知，
当sin(θ＋φ)＝1时，d取最小值eq \f(\r(10),2)，
所以点P到直线l的距离的最小值为eq \f(\r(10),2).
思维升华 消去方程中的参数一般有三种方法
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．
(2)利用三角恒等式消去参数．
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．
跟踪训练1 已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－2a|,\r(5))≤4，
解得－2eq \r(5)≤a≤2eq \r(5).
即实数a的取值范围为[－2eq \r(5)，2eq \r(5) ]．
题型二 参数方程的应用
例2 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝2＋tsin α))(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解 (1)由曲线C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝\f(x,2)，,sin θ＝\f(y,4)，))
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,4)))2＝1，即eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.
当cs α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cs α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2cs α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－eq \f(42cs α＋sin α,1＋3cs2α)，
故2cs α＋sin α＝0，
于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
教师备选
(2022·安阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，直线l过点M(1,0)且倾斜角为α.
(1)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且eq \f(|MA|·|MB|,||MA|－|MB||)＝eq \f(\r(3),3)，求cs α的值．
解 (1)曲线C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，转换为普通方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1；
直线l过点M(1,0)且倾斜角为α，则参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)代入eq \f(x2,2)＋y2＝1.
得到(1＋sin2α)t2＋2tcs α－1＝0，
所以t1＋t2＝－eq \f(2cs α,1＋sin2α)，
t1t2＝－eq \f(1,1＋sin2α)(t1和t2分别为A和B对应的参数)，
t1t2<0，则t1，t2异号，||MA|－|MB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|，
由eq \f(|MA|·|MB|,||MA|－|MB||)＝eq \f(\r(3),3)，
整理得|t1＋t2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2cs α,1＋sin2α)))＝eq \r(3)|t1t2|＝eq \f(\r(3),1＋sin2α)，
解得cs α＝±eq \f(\r(3),2).
思维升华 (1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决．
(2)对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1－t，,y＝2＋t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋ρ2sin2θ＝2，直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(π,4)))，求|PA|·|PB|的值．
解 (1)l的普通方程为x＋y－1＝0.
∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，
∴x2＋y2＋y2＝2，
即曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)方法一 Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))在直线l上，
直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)－\f(\r(2),2)t′，,y＝\f(1,2)＋\f(\r(2),2)t′))(t′为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(2),2)t′))2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(\r(2),2)t′))2－2＝0，
即eq \f(3,2)t′2＋eq \f(\r(2),2)t′－eq \f(5,4)＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t′1，t′2，则
|PA|·|PB|＝|t′1|·|t′2|＝|t′1t′2|＝eq \f(5,6).
方法二 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝1－x，,x2＋2y2＝2，))消去y，得3x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝eq \f(4,3).
不妨设A(0,1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，
又Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，
则|PA|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，
|PB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)－\f(1,2)))2)＝eq \f(5\r(2),6)，
|PA|·|PB|＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(5\r(2),6)＝eq \f(5,6).
题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例3 (2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)cs θ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(AM,\s\up6(→))，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
解 (1)由ρ＝2eq \r(2)cs θ，得ρ2＝2eq \r(2)ρcs θ，
即x2＋y2＝2eq \r(2)x，
整理得(x－eq \r(2))2＋y2＝2.
(2)设P的坐标为(x，y)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y)，因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(AM,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)x－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)y))，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)x－\f(\r(2),2)＋1，\f(\r(2),2)y))，
因为M为C上的动点，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)x－\f(\r(2),2)＋1－\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)y))2＝2，
化简得(x＋eq \r(2)－3)2＋y2＝4，
即P点的轨迹C1的方程为(x＋eq \r(2)－3)2＋y2＝4，
化成参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋2cs t－\r(2)，,y＝2sin t))(t为参数)，
圆心C1(3－eq \r(2)，0)，r1＝2，
C(eq \r(2)，0)，r＝eq \r(2)，
因为|3－eq \r(2)－eq \r(2)|<2－eq \r(2)，所以C与C1没有公共点．
教师备选
(2022·郑州模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，曲线C的极坐标方程为ρ2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋3sin2θ))＝4.
(1)写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点A(1,0)，若直线l与曲线C交于P，Q两点，PQ的中点为M，求eq \f(|AP|＋|AQ|,|AM|)的值．
解 (1)因为直线l：ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，
故ρcs θ－ρsin θ－1＝0，
即直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0，
因为曲线C：ρ2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋3sin2θ))＝4，
则曲线C的直角坐标方程为x2＋4y2＝4，
即eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)点A(1,0)在直线l上，
设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程得
5t2＋2eq \r(2)t－6＝0.
设P，Q对应的参数分别为t1，t2，
则t1t2＝－eq \f(6,5)，t1＋t2＝－eq \f(2\r(2),5)，
所以M对应的参数t0＝eq \f(t1＋t2,2)＝－eq \f(\r(2),5)，
故eq \f(|AP|＋|AQ|,|AM|)＝eq \f(|t1|＋|t2|,|t0|)＝eq \f(|t1－t2|,|t0|)＝eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)))),\f(\r(2),5))＝8.
思维升华 参数方程和极坐标的综合应用
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
跟踪训练3 (2022·石嘴山模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α，,y＝sin α))
(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上且满足|OA|·|OB|＝8，点B的轨迹为C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)设点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,2)))，求△ABM面积的最小值．
解 (1)由曲线C1的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)，
消去参数，可得普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，
又由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
代入可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cs θ，
设点B的极坐标为(ρ，θ)，点A点的极坐标为(ρ0，θ0)，
则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cs θ0，θ＝θ0，
因为|OA|·|OB|＝8，
所以ρ·ρ0＝8，
即eq \f(8,ρ)＝2cs θ，即ρcs θ＝4，
所以曲线C2的极坐标方程为ρcs θ＝4.
(2)由题意，可得|OM|＝2，
则S△ABM＝S△OBM－S△OAM＝eq \f(1,2)|OM|·|xB－xA|＝eq \f(1,2)×2×|4－2cs2θ|＝|4－2cs2θ|，
即S△ABM＝4－2cs2θ，
当cs2θ＝1时，可得S△ABM的最小值为2.
课时精练
1．(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－t－t2，,y＝2－3t＋t2))(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点．
(1)求|AB|；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
解 (1)令x＝0，则t2＋t－2＝0，
解得t＝－2或t＝1(舍去)，
则y＝2＋6＋4＝12，即A(0,12)．
令y＝0，则t2－3t＋2＝0，
解得t＝2或t＝1(舍去)，
则x＝2－2－4＝－4，
即B(－4,0)．
∴|AB|＝eq \r(0＋42＋12－02)＝4eq \r(10).
(2)由(1)可知kAB＝eq \f(12－0,0－－4)＝3，
则直线AB的方程为y＝3(x＋4)，
即3x－y＋12＝0.
由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ可得，
直线AB的极坐标方程为3ρcs θ－ρsin θ＋12＝0.
2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数，α∈[0，π))，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若|PQ|＝eq \r(15)，求直线l的斜率．
解 (1)∵ρ＝4sin θ，
∴ρ2＝4ρsin θ，
由ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，
得x2＋y2＝4y.
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
(2)把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝1＋tsin α))代入x2＋y2＝4y，
整理得t2－2tsin α－3＝0，
设P，Q两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－3，
∴|PQ|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(4sin2α＋12)＝eq \r(15)，
得sin α＝eq \f(\r(3),2)，α＝eq \f(π,3)或α＝eq \f(2π,3)，
∴直线l的斜率为±eq \r(3).
3．(2022·曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，半径r＝eq \r(3).
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)已知过点P(0,1)且倾斜角为α的直线l交圆C于A，B两点，且|PA|＋|PB|＝eq \r(11)，求角α.
解 (1)圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))的直角坐标为C(1,1)，圆C的半径r＝eq \r(3)，
则圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3.
将公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入(x－1)2＋(y－1)2＝3中，
整理得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－2ρsin θ－1＝0.
(2)过点P(0,1)且倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝1＋tsin α))(t是参数)，
代入圆C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－1)2＝3中整理得t2－2tcs α－2＝0.
设交点A，B对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝2cs α，t1t2＝－2<0，
则|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝eq \r(11)，
平方得(t1＋t2)2－4t1t2＝11，
则4cs2α＋8＝11，
所以cs α＝±eq \f(\r(3),2)(0≤α<π)，α＝eq \f(π,6)或α＝eq \f(5π,6).
4．(2022·宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ＋cs α，,y＝3sin θ＋sin α))(θ∈R，α为参数)．
(1)求曲线C1的普通方程并说明曲线C1的形状；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝0，求曲线C1的对称中心到曲线C2的距离的最大值．
解 (1)由曲线C1的方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ＋cs α，,y＝3sin θ＋sin α))(θ∈R，α为参数)可知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4cs θ＝cs α，,y－3sin θ＝sin α))(θ∈R，α为参数)，
消去参数α得曲线C1的普通方程为(x－4cs θ)2＋(y－3sin θ)2＝1，
∴曲线C1是以C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4cs θ，3sin θ))为圆心，1为半径的圆．
(2)将曲线C2的极坐标方程ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝0，
即ρsin θ－ρcs θ＝0，
化为直角坐标方程为x－y＝0.
曲线C1的对称中心即为圆心C1(4cs θ，3sin θ)，
∴曲线C1的对称中心到曲线C2的距离
d＝eq \f(|4cs θ－3sin θ|,\r(2))＝eq \f(|5sinθ－φ|,\r(2))，
其中φ满足sin φ＝－eq \f(4,5)，cs φ＝－eq \f(3,5)，
∵－1≤sin(θ－φ)≤1，
∴曲线C1的对称中心到曲线C2的距离的最大值为eq \f(5\r(2),2).
5．(2022·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，P为曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝sin α))(α为参数)上的动点，将P点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)得Q点，记Q点的轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)A，B是曲线C2上异于极点的两点，且∠AOB＝eq \f(π,6)，求|OA|－eq \r(3)|OB|的取值范围．
解 (1)曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝sin α))化为普通方程为eq \f(x－22,4)＋y2＝1，
设P点坐标为(x，y)，Q点坐标为(x′，y′)，
则有eq \f(x－22,4)＋y2＝1，x′＝eq \f(x,2)，y′＝y，
消去x，y有(x′－1)2＋y′2＝1，
即x′2＋y′2＝2x′，此式即为C2的普通方程．
∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
(2)设A(ρ1，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ＋\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,3)))))，
∴|OA|－eq \r(3)|OB|＝ρ1－eq \r(3)ρ2
＝2cs θ－2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))
＝eq \r(3)sin θ－cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))，
∵θ－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(π,6)))，
∴|OA|－eq \r(3)|OB|的取值范围是[－2,1)．点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α·(x－x0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcs θ，,y＝rsin θ))(θ为参数)
椭圆
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(φ为参数)
抛物线
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)